“数学认知结构的研究”教学案例(9) 石河子大学师范学院刘超 背景介绍：数学认知结构是学生进一步学习和发展各种能力的基础，所以近来就 如何优化学生的认知结构，使学生形成良好的认知结构出现了很多研究。这些研 究的结果如何？方法是怎样的？这些都是应该知道的，只有这样才可以进一步研 究。 案例描述： 对数学认知结构的涵义和定义进行了阐述。对当前出现的关于认知结构的研 究结果进行了介绍。对出现的数学认知结构的研究也进行了介绍。关键对于他们 使用的方法进行了详细介绍。对这些研究中出现的问题和有待研究的问题进行了 分析。 目前，人们对数学认知结构的认识只限于学生头脑中的数学知识结构和数学 认识结构。而根据元认知理论的一些最新发展，我们认为，数学认知结构应包括 元认知成分。这一观点主要基于以下两方面的原因：一方面，在数学活动中，人 不是消极被动的，而是利用原认知结构积极主动地吸收外来知识，逐步形成和丰 富自己的数学认知结构。另一方面，数学学习过程并不仅仅是对数学材料的识别 加工和理解的认知过程，同时，它也是一个对该过程进行积极反馈与调节的动态 的自我意识和自我监控的过程。认知过程进行的有效性如何在很大程度上取决于 元认知的发展水平。因此，数学元认知结构应该成为数学认知结构的子结构。 我们认为，所谓数学认知结构，它是数学知识结构与学生个体心理结构相互 作用的产物，是学生通过感知、记忆、表象、思维、想象等认知操作，在元认知 的监控调节下把数学知识内化到头脑中所形成的一个具有内部规律的整体结构。 从系统论的观点来看，数学认知结构应包含三个子系统：数学知识经验系统、数 学认知操作系统和数学元认知系统。（如表2一1所示）
“数学认知结构的研究”教学案例（9） 石河子大学师范学院 刘超 背景介绍：数学认知结构是学生进一步学习和发展各种能力的基础，所以近来就 如何优化学生的认知结构，使学生形成良好的认知结构出现了很多研究。这些研 究的结果如何？方法是怎样的？这些都是应该知道的，只有这样才可以进一步研 究。 案例描述： 对数学认知结构的涵义和定义进行了阐述。对当前出现的关于认知结构的研 究结果进行了介绍。对出现的数学认知结构的研究也进行了介绍。关键对于他们 使用的方法进行了详细介绍。对这些研究中出现的问题和有待研究的问题进行了 分析。 目前，人们对数学认知结构的认识只限于学生头脑中的数学知识结构和数学 认识结构。而根据元认知理论的一些最新发展，我们认为，数学认知结构应包括 元认知成分。这一观点主要基于以下两方面的原因：一方面，在数学活动中，人 不是消极被动的，而是利用原认知结构积极主动地吸收外来知识，逐步形成和丰 富自己的数学认知结构。另一方面，数学学习过程并不仅仅是对数学材料的识别、 加工和理解的认知过程，同时，它也是一个对该过程进行积极反馈与调节的动态 的自我意识和自我监控的过程。认知过程进行的有效性如何在很大程度上取决于 元认知的发展水平。因此，数学元认知结构应该成为数学认知结构的子结构。 我们认为，所谓数学认知结构，它是数学知识结构与学生个体心理结构相互 作用的产物，是学生通过感知、记忆、表象、思维、想象等认知操作，在元认知 的监控调节下把数学知识内化到头脑中所形成的一个具有内部规律的整体结构。 从系统论的观点来看，数学认知结构应包含三个子系统：数学知识经验系统、数 学认知操作系统和数学元认知系统。（如表 2—1 所示）
子系 组成 内 容 在数学认知活动中的作用 数学概念、事实、 进行有效数学活动的“物质基 数学理论性知识 原理及其组织网络 础”，数学认知结构的“硬件” 数学认知结构中的“软件”，是数 数学 数学思想方法 学理论性知识的精神和灵魂，起 知识 数学前提性知识 统帅指导作用 经验 数学思维模式 起规范作用 系统 具有提高数学信息加工效率的作 数学策略性知识 用 数学程序性知识 起控制作用 数学经验性知识 数学情境性知识 具有支持引导作用 结数学 认知 感知、注意、记忆 影响数学认知结构的建构，数学认知操作系统水平的 操作 思维、想象等认知 提高可以促进数学认知结构的发展 系统 操作 数学 数学元认知知识 是数学认知结构中处于最高层次和最高水平的一种结 元认 数学元认知体验 构形态，起定向、控制和调节的作用，始终处于支配 知系 数学元认知监控地位 统 与调节 表2一1 1.数学知识经验系统 它包括数学理论性知识、数学前提性知识和数学经验性知识三个要素。 1山数学理论性知识主要指数学概念、数学事实（数学语言、原始概念、公理、符号等，数学原理（定理、 命题、定律、公式等)及它们的组织网络。数学理论性知识是数学认知结构的“硬件”，是进行有效数学活动的“物
数 学 认 知 结 构 子 系 统 组 成 内 容 在数学认知活动中的作用 数学 知识 经验 系统 数学理论性知识 数学概念、事实、 原理及其组织网络 进行有效数学活动的“物质基 础”，数学认知结构的“硬件” 数学前提性知识 数学思想方法 数学认知结构中的“软件”，是数 学理论性知识的精神和灵魂，起 统帅指导作用 数学思维模式 起规范作用 数学策略性知识 具有提高数学信息加工效率的作 用 数学经验性知识 数学程序性知识 起控制作用 数学情境性知识 具有支持引导作用 数 学 认 知 操 作 系统 感知、注意、记忆、 思维、想象等认知 操作 影响数学认知结构的建构，数学认知操作系统水平的 提高可以促进数学认知结构的发展 数 学 元 认 知 系 统 数学元认知知识 是数学认知结构中处于最高层次和最高水平的一种结 构形态，起定向、控制和调节的作用，始终处于支配 地位 数学元认知体验 数学元认知监控 与调节 表 2—1 1.数学知识经验系统 它包括数学理论性知识、数学前提性知识和数学经验性知识三个要素。 1.1 数学理论性知识主要指数学概念、数学事实（数学语言、原始概念、公理、符号等）、数学原理（定理、 命题、定律、公式等）及它们的组织网络。数学理论性知识是数学认知结构的“硬件”，是进行有效数学活动的“物
质基础”，但它本身并不具备能动性。在具备正确必需的数学理论性知识的前提下，数学前提性知识和数学经验性 知识便成为影响数学认知话动的关键因素。 12数学前提性知识主要但括数学思妃方法、数学思维模式和数学策略性知识。 数学思您方法是数学认知结构中的“软件”，融合于数学理论性知识之中，并且是其精神和灵魂。它在数学 认知活动中起统帅指导作用，既提供思维策略又提供具体手段。 数学思维模式是数学认知结构中对数学信息进行加工的相对稳定的程序。比 如，数学思维中的逼近、叠加、映射、方程、变换等模式。22由于它是一般的 通用的思想方法，因此，它对数学认知活动起规范作用。 数学策略性知识是指能调控自己的认知活动以提高数学认知操作水平的知 识。即关于如何学习、如何记忆、如何对自己的思维做出反省和分析以及如何解 决问题的知识。比如，复述策略、思维策略、解决问题策略和精加工策略等。数 学策略性知识能够优化数学信息加工的效果、提高加工效率，对有效学习起很大 作用。 1.3数学经验性知识主要包括数学程序性知识和数学情境性知识。 数学程序性知识是指数学活动中一般活动方式与方法的概括，即如何使用数 学技能的知识。这是一种在特定条件下可以使用的一系列操作步骤或算法。例如 波利亚的“怎样解题表”把解题分为4个步骤，就是对数学解题一般性技能的高 度概括。它为数学认知活动提供了相应的规则，对数学认知活动起控制作用。 数学情境性知识是指对具体数学知识或数学技能的应用背景和条件的概括。 [例如，学生掌握了数学归纳法的具体步骤，那他就获得了数学归纳法的技能 而在什么背景和条件下应用数学归纳法最有效，则是学生一种内在的心理体验， 这就是一种数学经验性（情境性）知识。数学情境性知识与运用相关知识的“触 发”条件结合在一起，从而可以活化学生的认知活动，在数学认知活动中具有引 导支持作用。 事实上，数学知识经验越丰富，知识的组织越合理，就越容易内化外界输入 的信息并吸收它为数学认知结构的一部分。例如，学生对于基本求导法则与基本 初等函数的求导掌握得比较牢固，对隐函数的概念理解得比较好，那么就容易掌 握隐函数的求导方法。但是，数学知识经验系统只具有潜在同化功能，只有当它
质基础”，但它本身并不具备能动性。在具备正确必需的数学理论性知识的前提下，数学前提性知识和数学经验性 知识便成为影响数学认知活动的关键因素。 1.2 数学前提性知识主要包括数学思想方法、数学思维模式和数学策略性知识。 数学思想方法是数学认知结构中的“软件”，融合于数学理论性知识之中，并且是其精神和灵魂。它在数学 认知活动中起统帅指导作用，既提供思维策略，又提供具体手段。 数学思维模式是数学认知结构中对数学信息进行加工的相对稳定的程序。比 如，数学思维中的逼近、叠加、映射、方程、变换等模式。[22]由于它是一般的 通用的思想方法，因此，它对数学认知活动起规范作用。 数学策略性知识是指能调控自己的认知活动以提高数学认知操作水平的知 识。即关于如何学习、如何记忆、如何对自己的思维做出反省和分析以及如何解 决问题的知识。比如，复述策略、思维策略、解决问题策略和精加工策略等。数 学策略性知识能够优化数学信息加工的效果、提高加工效率，对有效学习起很大 作用。 1.3 数学经验性知识主要包括数学程序性知识和数学情境性知识。 数学程序性知识是指数学活动中一般活动方式与方法的概括，即如何使用数 学技能的知识。这是一种在特定条件下可以使用的一系列操作步骤或算法。例如， 波利亚的“怎样解题表”把解题分为 4 个步骤，就是对数学解题一般性技能的高 度概括。它为数学认知活动提供了相应的规则，对数学认知活动起控制作用。 数学情境性知识是指对具体数学知识或数学技能的应用背景和条件的概括。 [23] 例如，学生掌握了数学归纳法的具体步骤，那他就获得了数学归纳法的技能， 而在什么背景和条件下应用数学归纳法最有效，则是学生一种内在的心理体验， 这就是一种数学经验性（情境性）知识。数学情境性知识与运用相关知识的“触 发”条件结合在一起，从而可以活化学生的认知活动，在数学认知活动中具有引 导支持作用。 事实上，数学知识经验越丰富，知识的组织越合理，就越容易内化外界输入 的信息并吸收它为数学认知结构的一部分。例如，学生对于基本求导法则与基本 初等函数的求导掌握得比较牢固，对隐函数的概念理解得比较好，那么就容易掌 握隐函数的求导方法。但是，数学知识经验系统只具有潜在同化功能，只有当它
与数学认知操作系统和元认知系统联合作用时，这种潜在同化功能才能得以实 现。 2.数学认知操作系统 它包括感知、注意、记忆、思维、想象等认知操作。它在已有的数学知识经 验的基础上、元认知系统的控制和调节下发挥作用，反映了学生认知发展的状况。 对于学生本人来说，具有相对的稳定性，但在学生之间却又表现出较大的个体差 异。 从其发展水平的差异来看，可以表现为超常、正常、低常认知操作水平的区 别。 从其发展方式的差异来看，有认知操作方式的区别。 从其发展类型来看，可以表现为各种认知操作的组合及运用的区别。 数学认知操作系统水平的提高可以促进数学认知结构的发展，因此，数学认 知操作系统能够影响数学认知结构的建构。优化的数学认知结构通常表现出相应 的数学能力。 案例反思：数学认知结构是一个心理学名词，分析这个问题必定涉及心理学的有 关定义和概念，必定涉及到建构主义的内容。这样在教学中如果增进这部分内容 学生将更喜欢接受，也对他们将来的研究是更有帮助的。还有认知结构测量的问 题
与数学认知操作系统和元认知系统联合作用时，这种潜在同化功能才能得以实 现。 2.数学认知操作系统 它包括感知、注意、记忆、思维、想象等认知操作。它在已有的数学知识经 验的基础上、元认知系统的控制和调节下发挥作用，反映了学生认知发展的状况。 对于学生本人来说，具有相对的稳定性，但在学生之间却又表现出较大的个体差 异。 从其发展水平的差异来看，可以表现为超常、正常、低常认知操作水平的区 别。 从其发展方式的差异来看，有认知操作方式的区别。 从其发展类型来看，可以表现为各种认知操作的组合及运用的区别。 数学认知操作系统水平的提高可以促进数学认知结构的发展，因此，数学认 知操作系统能够影响数学认知结构的建构。优化的数学认知结构通常表现出相应 的数学能力。 案例反思：数学认知结构是一个心理学名词，分析这个问题必定涉及心理学的有 关定义和概念，必定涉及到建构主义的内容。这样在教学中如果增进这部分内容 学生将更喜欢接受，也对他们将来的研究是更有帮助的。还有认知结构测量的问 题