第9章 方差分析 学习目标 1、理解方差分析的基本思想： 2、熟练掌据单因素方差分析的基木原理及甚实际南用。 3、熟练掌双因素方差分析的基本原理及其实际应用。 基本概念 总离差平方和组间离差平方和组内离差平方和检验统计量自由度单因素方 差分析双因素方差分析 9.1方差分析的基本认识 9.1.1问题的提出 方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。下面通过一个例子说明方差分 析的内容。 [例91]某化妆品生产公司研制出一种新型爽肤水。爽肤水的颜色共有四种，分别为橘 黄色、粉色、绿色和无色透明。现随机从五家专卖市场上收集了前一期该种爽肤水的销售量， 如表9-1所示。 表91 某爽肤水在五家专卖市场的销售情况 专卖市场 无色 商巴 绿色 31. .9 28.7 28.3 25.1 29.6 25.1 30. 28.5 29. 27.2 26.5 32.8 爽肤木的是否对销售高牛生 销对四种不调颜色的爽肤水的销售量均值是否相等进行检验 由于爽肤水是同一公司生产的，它们的成分、价格等可能影 响销售量的因素全部相同，我们 把四种不同颜色的爽肤水的销售量均值分别记为4，凸，,，由题意知，要检验假设 H。:4=4=43=44: H14,凸，4,4，不全相等 如果检验结果为4，山，不全相等，则表明爽肤水颜色对销售量产生影响。反之 如果检验结果为4，凸，不存在显著影响，则可以认为爽肤水颜色对销售量没有影响，他 们来自于相同的总体。 方差分析简称ANOVA(analysis of variance)),就是利用试验观测值总偏差的可分解性 将不同条件所引起的偏差与随机误差分解开来，按照一定的规则进行比较，以确定各种偏差 的影响程度和相对大小。当已确定某几种因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检 验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。 9.1.2方差分析的基本概 在万差分新中，常常用到一 些术语。我们把要考察的对象的某种特征称为指标。试验条 件分为可控制的和不可控制的两类，称可控制的试验条件为因素：因素所处的状态称为该 的水：试险中只有 个因素在变化，称他为单因素试验。若试验中变化因素 一个，称他为双因素以及多因素试验
1 第 9 章 方差分析 学习目标 1、理解方差分析的基本思想； 2、熟练掌握单因素方差分析的基本原理及其实际应用； 3、熟练掌握双因素方差分析的基本原理及其实际应用。 基本概念 总离差平方和 组间离差平方和 组内离差平方和 检验统计量 自由度 单因素方 差分析 双因素方差分析 9.1 方差分析的基本认识 9.1.1 问题的提出 方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。 下面通过一个例子说明方差分 析的内容。 [例 9-1]某化妆品生产公司研制出一种新型爽肤水。爽肤水的颜色共有四种，分别为橘 黄色、 粉色、 绿色和无色透明。 现随机从五家专卖市场上收集了前一期该种爽肤水的销售量， 如表 9－1 所示。 表 9-1 某爽肤水在五家专卖市场的销售情况 专卖市场 无色 粉色 橘黄色 绿色 1 26.5 31.2 27.9 30.8 2 28.7 28.3 25.1 29.6 3 25.1 30.8 28.5 32.4 4 29.1 27.9 24.2 31.7 5 27.2 29.6 26.5 32.8 问爽肤水的颜色是否对销售量产生影响。 这是一个方差分析问题，即对四种不同颜色的爽肤水的销售量均值是否相等进行检验。 由于爽肤水是同一公司生产的，它们的成分、价格等可能影响销售量的因素全部相同，我们 把四种不同颜色的爽肤水的销售量均值分别记为 1 2 3 4 m , m ,m , m ，由题意知，要检验假设 0 1 2 3 4 H : m = m = m = m ； 1 1 2 3 4 H : m ,m , m ,m 不全相等 如果检验结果为 1 2 3 4 m , m ,m , m 不全相等，则表明爽肤水颜色对销售量产生影响。反之， 如果检验结果为 1 2 3 m ,m ,m 不存在显著影响，则可以认为爽肤水颜色对销售量没有影响，他 们来自于相同的总体。 方差分析简称 ANOVA(analysis of variance)，就是利用试验观测值总偏差的可分解性， 将不同条件所引起的偏差与随机误差分解开来，按照一定的规则进行比较， 以确定各种偏差 的影响程度和相对大小。当已确定某几种因素对试验结果有显著影响时，可使用方差分析检 验确定哪种因素对试验结果的影响最为显著及估计影响程度。 9.1.2 方差分析的基本概念 在方差分析中，常常用到一些术语。我们把要考察的对象的某种特征称为指标。试验条 件分为可控制的和不可控制的两类，称可控制的试验条件为因素； 因素所处的状态称为该因 素的水平。如果在一项试验中只有一个因素在变化，称他为单因素试验。若试验中变化因素 多于一个，称他为双因素以及多因素试验
在例91中，爽肤水的销售量为指标，爽肤水的颜色为因素，爽肤水的四种颜色为该因 素的四 水平，该例是 单因素四水平试验。假设检验章所讲的对两个总体均值的比较， 实际上就是单因素两水平试验。下面，我们简单闸述单因素方差分析的基木原理。 9.2单因素方差分析 9.2.1单因素方差分析的基本原理 单因素方差分析是研究一个因素的变化对试验指标的影响是否显著的统计分析方法，是 方差分析中最简单的情形。 设因素A有r个水平A,4,.,A,在水平A亿=L,2,.,r)下进行n(i≥2)次独立试验， 试验记录如表92 表92独立试验记录表 样本 水平 j Xu Xin A X X 其中X,表示第1水平A进行第j次试验的可能结果 假设X,~N(4,o)，0=1,2,.,r)。待检假设为 H。:=、=.= H1:4,凸，.，4不全相等。 如果H,成立，那么r个总体间无显著差异，即是说因素A对试验结果的影响不显若 所有X。可视为来自同一个总体N(4,σ)，各X。间的差异只是由随机因素引起的。若H。 不成立，则在X。所有的总变差中，除随机波动引起的变差外，还应包括由于因素A的不同 先将这两种差异分开，然后进行比较。记 -22 (9-1) 称灭为第1组的样本均值，灭为样本总均值。再记 s,=2x,-x (9-2) 1j- 称为总离差平方和。我们将S分解如下： ST=S+Sg (9-3) 2
2 在例 9-1 中，爽肤水的销售量为指标，爽肤水的颜色为因素，爽肤水的四种颜色为该因 素的四个水平，该例是一个单因素四水平试验。假设检验章所讲的对两个总体均值的比较， 实际上就是单因素两水平试验。下面，我们简单阐述单因素方差分析的基本原理。 9.2 单因素方差分析 9.2.1 单因素方差分析的基本原理 单因素方差分析是研究一个因素的变化对试验指标的影响是否显著的统计分析方法，是 方差分析中最简单的情形。 设因素A有r个水平 1 2 , , , , A A L Ar 在水平 Ai (i =1,2,L ,r) 下进行 ( 2) i n i ³ 次独立试验， 试验记录如表 9-2 表 9-2 独立试验记录表 样本 水平 1 L j L i n A1 M Ai M Ar X11 L X 1 j L 1n 1 X M M M Xi 1 L X ij L i X in M M M Xr 1 L X rj L r X rn 其中 X ij 表示第 i 水平 Ai 进行第 j 次试验的可能结果。 假设 2 ~ ( , ) Xij N mi s ，(i =1,2,L ,r) 。待检假设为： 0 1 2 : H m = m =L = mr ， 1 1 2 : , , , H m m L m r 不全相等。 如果 H 0 成立，那么 r 个总体间无显著差异，即是说因素 A 对试验结果的影响不显著， 所有 X ij 可视为来自同一个总体 2 N(m,s ) ,各 X ij 间的差异只是由随机因素引起的。若 H 0 不成立，则在 X ij 所有的总变差中，除随机波动引起的变差外，还应包括由于因素 A 的不同 水平作用产生的差异。 如果不同水平作用产生的差异比随机因素引起的差异大得多， 就认为 因素 A 对试验结果有显著影响， 否则就认为因素 A 对试验的影响不显著。为此可在总变差中 先将这两种差异分开，然后进行比较。记 1 1 1 1 , 1, 2, , 1 i i n i ij j i r n ij i j X X i r n X X n = = = Ï = = Ô Ô Ì Ô = Ô Ó Â ÂÂ L （9-1） 称 X i 为第 i 组的样本均值， X 为样本总均值。再记 2 1 1 ( ) i r n T ij i j S X X = = = ÂÂ - （9-2） 称为总离差平方和。我们将 T S 分解如下： T A E S = S + S （9-3）
其中， s-22R-群=2a(R-对 (94) s-22x,- S,是组间平方和，反映了不同水平作用产生的差异大小：是组内平方和，反映的是 水平内部，或组内观测值的离散状况，它实质上是随机因素带来的影响。 在H。成立的条件下，由抽样分布定理，我们可以得到： 是-xm-),n=n (9-5) 且S与S独立。 若组间差异比组内差异大得多，则说明因素的不同水平间有显著差异，应拒绝H。否 则，说明因素各水平之间的差异不显著，可接受H。为此，选取统计量 F=SAr-1) Se/(n-r) (9-6) 当H,为真时，由F分布的定义知，统计品 F=S/(r-1) -F(r-1n-r) (9-7) Ss/(n-r) 如果因素A的各水平对总体的影响由显著差异，那么S,相对较大，因而F也较大。由 此可见，对于给定的显著性水平α，拒绝域为 W={F>Fr-1,n-r)} (9-8) 将计算结果列成表，称为方差分析表（见表9一3） 表93单因素方差分析末 方差来源 平方和 白由 F值 F的临界值 组间 r-1 组内 n-r F- F.r-l,n-r） 总和 S -1 Se/（n-r) 9.2.2单因素方差分析应用实例 [例92]（续例9-1）取仪=0.05，要检验的假设： H。:4==4=4 颜色对销售量没有影响 H:4,4,4,4,不全相等 颜色对销售量有影响 解：由题设知： r=4,n==n=n,=5,n=20。根据表9-1中的观测数据 得 S,=22(X,-X3=115.9295 局 Se=∑2(X,-X,}=39.084 11 S,=S7-5e=76.8455 3
3 其中， 2 2 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) i i r n r A i i i i j i r n E ij i i j S X X n X X S X X = = = = = Ï = - = - Ô Ô Ì Ô = - Ô Ó ÂÂ Â ÂÂ （9-4） A S 是组间平方和，反映了不同水平作用产生的差异大小； E S 是组内平方和，反映的是 水平内部，或组内观测值的离散状况，它实质上是随机因素带来的影响。 在 H 0 成立的条件下，由抽样分布定理，我们可以得到： 2 2 ~ ( 1) T S c n s - ， 1 r i i n n = = Â 2 2 ~ ( ) E S c n r s - ， 2 2 ~ ( 1) A S c r s - （9-5） 且 A S 与 E S 独立。 若组间差异比组内差异大得多，则说明因素的不同水平间有显著差异，应拒绝 H 0 。否 则，说明因素各水平之间的差异不显著，可接受 H 0 。为此，选取统计量 ( 1) ( ) A E S r F S n r - = - （9-6） 当 H 0 为真时，由 F 分布的定义知，统计量 ( 1) ~ ( 1, ) ( ) A E S r F F r n r S n r - = - - - （9-7） 如果因素 A 的各水平对总体的影响由显著差异，那么 A S 相对较大，因而 F 也较大。由 此可见，对于给定的显著性水平a ，拒绝域为 W = { F > F1- a (r -1, n - r)} （9-8） 将计算结果列成表，称为方差分析表（见表 9－3）。 表 9-3 单因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 F 值 F 的临界值 组 间 A S r-1 组 内 E S n-r 总 和 T S n-1 ( 1) ( ) A E S r F S n r - = - 1 F (r 1, n r) -a - - 9.2.2 单因素方差分析应用实例 [例 9-2](续例 9-1)取a = 0.05，要检验的假设： 0 1 2 3 4 H : m = m = m = m 颜色对销售量没有影响 1 1 2 3 4 H : m ,m ,m ,m 不全相等 颜色对销售量有影响 解：由题设知： r = 4 , 1 2 3 4 n = n = n = n = 5 , n = 20 。根据表 9-1 中的观测数据 得 2 1 1 ( ) i r n T ij i j S X X = = =ÂÂ - = 115.9295 2 1 1 ( ) r ni E ij i i j S X X = = = ÂÂ - =39.084 A T E S = S - S =76.8455
从而计算统计量F得观测值为： F-256152=10486 24428 当取a=0.05时，查表知： F.(r-1,n-r）=F(3,16=3.24 由于F>F,故拒绝原假设。说明爽肤水的颜色对销售量有显著影响。 可以将计算结果列成方差分析表： 表9-4 单因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 F值 F的临界值 组何 5,=76.8455 3 组内 S5=39.084 16 F=10.486 F5(3,16)=3.24 总和 S,=115.9295 19 9.2.3单因素方差分析中应注意的问题 1.方差分析需满足的假设条件。方差分析实质上是对各总体均值相等的假设进行检验， 为了得到检验统计量的精确分布，需满足的前提条件有： (1)每次试验都是独立进行的： (2)各样本都来自正态总体： (3)各个总体的方差相等。 只有满足这些条件，方差分析的结果才是有效的。一般地，我们总认为以上的假定条件 都是满足的或近似满足 水平下总体的试验 下相等 差分能判各总体的均值是否相等，而不能判断哪个总体的均值是大还是小。 这时需要在均值不等的前提下，采用多重比较法进一步比较各个均值的大小 9.3双因素方差分析 9.3.1双因素方差分析的类型 ,有时需要考虑两个因素对试验结果的影响。例如上一节中饮料销 我们还 方差分 是对影响因索 进行检验，究 两个因素都在起作用 进不因素在起作用，还是 或是两个因系的无交石作用的双因孝方若分析，它假定因孝A和因 双因素方差分析有两种类型： 素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系：另一个是有交互作用的双因素方差分析， 它假定因素A和B的结合会产生出一种新的效应。例如，若假定不同地区的消费者对某种颜 色有与其他地区清费者不同的特殊偏爱，这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互 作用的背景，否则就是无交互作用的背景。下面我们将分别介绍无交互作用的双因素方差分 析和有交互作用的双因素方差分析。 9.3.2无交互作用的双因素方差分析 4
4 从而计算统计量 F 得观测值为： 25.6152 10.486 2.4428 F = = 当取a = 0.05时，查表知： 1 0.95 F (r 1,n r) F (3 16) 3.24 -a - - = ， ＝ 由于 F > F1-a ，故拒绝原假设。说明爽肤水的颜色对销售量有显著影响。 可以将计算结果列成方差分析表： 表 9-4 单因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 F 值 F 的临界值 组 间 76.8 455 A S = 3 组 内 E S ＝39.084 16 总 和 115.9 295 T S = 19 F = 10.486 0.95 F (3， 16)＝ 3.24 9.2.3 单因素方差分析中应注意的问题 1.方差分析需满足的假设条件。方差分析实质上是对各总体均值相等的假设进行检验， 为了得到检验统计量的精确分布，需满足的前提条件有： （1）每次试验都是独立进行的； （2）各样本都来自正态总体； （3）各个总体的方差相等 。 只有满足这些条件，方差分析的结果才是有效的。一般地，我们总认为以上的假定条件 都是满足的或近似满足的。 2.在实际问题中，各水平下总体的试验次数可以相等也可以不相等，分析过程和结论基 本不变。但是当试验次数相差较大或因素相差较多时，应考虑采用广义线性模型分析，以消 除非均衡试验设计的影响。 3.方差分析只能判断各总体的均值是否相等，而不能判断哪个总体的均值是大还是小。 这时需要在均值不等的前提下，采用多重比较法进一步比较各个均值的大小。 9.3 双因素方差分析 9.3.1 双因素方差分析的类型 在实际问题的研究中， 有时需要考虑两个因素对试验结果的影响。 例如上一节中饮料销 售量的例子，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同 的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。若把饮料的颜色看作影响销售量的因素 A ,饮料的销售地区看作影响销售量的因素 B。对因素 A 和 B 同时进行分析，就属于双因素 方差分析。双因素方差分析的内容，是对影响因素进行检验，究竟一个因素在起作用，还是 两个因素都在起作用，或是两个因素的影响都不显著。 双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素 A 和因 素 B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析， 它假定因素 A 和 B 的结合会产生出一种新的效应。 例如，若假定不同地区的消费者对某种颜 色有与其他地区消费者不同的特殊偏爱， 这就是两个因素结合后产生的新效应，属于有交互 作用的背景， 否则就是无交互作用的背景。 下面我们将分别介绍无交互作用的双因素方差分 析和有交互作用的双因素方差分析。 9.3.2 无交互作用的双因素方差分析
假设因素A有r个水平A,A,A,因素B有s个水平B,B,.,B,。对 因素A/B各种水平的每一对组合(4，B,)(=1,2,.,r:广=1,2，.，s)只进行一次试验 并假定试验结果是相互独立的，试验结果见表9一5。 表9-5无交互作用的双因素方差分析数据结构 水平B B 水平A B, X A X 各样本X(位=1,2，.，r;j=1,2,.,5)相互独立，均服从正态分布，且有相等的方差 σ2。这是进行双因素方差分析的假定条件。记： x=2x, i=1,2,.,r (9-9) ,=2x, j=1,2,.,3 其中，了表示所有观测值的平均值，X表示A因素第1个水平的样本平均值，元，表 示B因素第j个水平的样本平均值 要判断因素A、B的影响是否显著，就是要检验假设： H0A4=4.=.=4: H44,凸，.，4、不完全相等 HB41=42=.=4, H1g41,42,.,4,不完全相等 其中，4，表示因素A第i个水平的均值，4，表示因素B第j个水平的均值。 同单因素方差分析一样，要检验上述假设，需将总离差平方和进行分解。总离差平方和 S,=∑∑x,- (9-10) 表示所有观测值X。与总平均值下的离差平方和。由于存在两个因素，总离差平方和中 除各水平组内随机误差之外，同时有两种组间差异，所以S,可以分解成三个部分： ST=S+SR+SE (9-11)
5 假设因素 A 有 r 个水平 1 2 , , , A A L Ar ，因素 B 有 s 个水平 1 2 , , , B B L Bs 。对 因素 A/ B 各种水平的每一对组合( , ) ( 1, 2, , ; 1, 2, , ) Ai Bj i = L r j = L s 只进行一次试验， 并假定试验结果是相互独立的，试验结果见表 9－5。 表 9-5 无交互作用的双因素方差分析数据结构 水平 B 水平 A B1 L B j L Bs A1 M Ai M Ar X11 L X 1 j L X1s M M M Xi 1 L X ij L Xis M M M Xr 1 L X rj L Xrs 各样本 ( 1,2, , ; 1, 2, , ) Xij i = L r j = L s 相互独立，均服从正态分布，且有相等的方差 2 s 。这是进行双因素方差分析的假定条件。记： 1 1 1 1 1 1 1,2, , 1 1,2, , r s ij i j s i ij j r j ij i X X rs X X i r s X X j s r = = × = × = Ï = Ô Ô Ô Ì = = Ô Ô Ô = = Ó ÂÂ Â Â L L （9-9） 其中， X 表示所有观测值的平均值， Xi × 表示 A 因素第 i 个水平的样本平均值， X× j 表 示 B 因素第 j 个水平的样本平均值。 要判断因素 A、B 的影响是否显著，就是要检验假设： 0 1 2 : H A m × = m × =L = mr× ， 1 1 2 : , , , H A m × m × L mr × 不完全相等 0 1 2 : H B m× = m× =L = m× r ， 1 1 2 : , , , H B m× m× L m× r 不完全相等 其中，mi× 表示因素 A 第 i 个水平的均值，m× j 表示因素 B 第 j 个水平的均值。 同单因素方差分析一样，要检验上述假设，需将总离差平方和进行分解。总离差平方和 2 1 1 ( ) r s T ij i j S X X = = = ÂÂ - （9-10） 表示所有观测值 X ij 与总平均值 X 的离差平方和。 由于存在两个因素， 总离差平方和中 除各水平组内随机误差之外，同时有两种组间差异，所以 T S 可以分解成三个部分： T A B E S = S + S + S （9-11）
s,-22R-野=2风-对 其中 s22风对=风-对 (9-12) :=22，-又-+ 式中，S,表示由因素A的不同水平引起的系统误差：S表示由因素B的不同水平引起 的系统误差：S。=S,-S,-S。表示在总离差平方和中扣除了因素A与因素B的系统性误 差平方和后的剩余部分，反映了随机误差。 可以证明： 当H。4成立时， gxu- (9-13) 当H。成立时， 是rs-0 (9-14) 透一步还可以证明SSS,相互雅立，且亭-X-m: 因此，当H。为真时，有 F= Sr-1) Fr-1,(r-1s-1) (9-15) Ss/r-1s-1) 若H。e成立，则有 Fa=- n/s-1) /-10s- F(s-1,(r-1(s-I) (9-16) 对于给定的显若性水平a,H。4与H。的拒绝域分别为 W,={F>Fr-1,(r-10s-) (9-17) W。={Fa>F-.(s-l,(r-10s-l} (9-18) 将计算结果列成方差分析表如表96所示。 表96双因素无交互作用方差分析表 方差来源 平方和 自由度 F值 F的临界值 因素A r-1 F= S/r-1) 因素B s-1 S/r-1(s-1) F(r-L(r-IX(s-D)) 误差 (-1)(s-1) Sa/(s-1) F(s-1,(r-1s-1) F。 总和 S rs-1 S/r-1s-1) 9.3.3双因素无交互作用方差分析应用实例 [例93】某商品不同的装潢，在五个地区销售，销售资料如表9一7所示。 表97某种商品不同地区不同包装的销售资料 方式 地区 装潢(A) A. 6
6 其中， 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r s r A i i i j i r s s B j j i j j r s E ij i j i j S X X s X X S X X r X X S X X X X × × = = = × × = = = × × = = Ï Ô = - = - Ô Ô Ì = - = - Ô Ô Ô = - - + Ô Ó ÂÂ Â ÂÂ Â ÂÂ （9-12） 式中， A S 表示由因素 A 的不同水平引起的系统误差； B S 表示由因素 B 的不同水平引起 的系统误差； E T A B S = S - S - S 表示在总离差平方和中扣除了因素 A 与因素 B 的系统性误 差平方和后的剩余部分，反映了随机误差。 可以证明： 当 H 0A 成立时， 2 2 ~ ( 1) S A c r s - （9-13） 当 H 0B 成立时， 2 2 ~ ( 1) B S c s s - （9-14） 进一步还可以证明 , , A B E S S S 相互独立，且 2 2 ~ (( 1)( 1)) E S c r s s - - 。 因此，当 H 0A 为真时，有 ( 1) ~ ( 1 , ( 1)( 1)) ( 1)( 1) A A E S r F F r r s S r s - = - - - - - （9-15） 若 H 0B 成立，则有 ( 1) ~ ( 1 , ( 1)( 1)) ( 1)( 1) B B E S s F F s r s S r s - = - - - - - （9-16） 对于给定的显著性水平a ， H 0A 与 H 0B 的拒绝域分别为 1 { ( 1,( 1)( 1))} WA FA F r r s = > -a - - - （9-17） 及 1 { ( 1,( 1)( 1))} WB FB F s r s = > -a - - - （9-18） 将计算结果列成方差分析表如表 9-6 所示。 表 9-6 双因素无交互作用方差分析表 方差来源 平方和 自由度 F 值 F 的临界值 因素 A A S r-1 因素 B B S s-1 误 差 E S (r-1)(s-1) 总 和 T S rs-1 ( 1) (( 1)( 1)) A A E S r F S r s - = - - ( 1) (( 1)( 1)) B B E S s F S r s - = - - 1 F (r 1,(r 1)(s 1)) -a - - - 1 F (s 1,(r 1)(s 1)) -a - - - 9.3.3 双因素无交互作用方差分析应用实例 [例 9-3]某商品不同的装潢，在五个地区销售，销售资料如表 9－7 所示。 表 9-7 某种商品不同地区不同包装的销售资料 方式 地区 装潢（A） A1 A2 A3 A4 A5
201220 10 14 B、 22 10 20 12 6 地区 B 24 14 18 18 10 B 16 4 8 6 18 B 26 22 16 20 10 试以α=0.05的显若性水平检验商品不同的装潢和在不同的地区销售数量之间是否有 显著差异。 解：此中 r=5 s=5 ,若五种装潢方式的销 (1)）建立假设 对因素A: H044=4=.=从 H4从，凸2，.，八5不完全相等 对因素B: H0B41=42=.=45, H1B41,42,.,45不完全相等 (2)计算表9一6中的F值。由表9-7中的数据计算得： 因素A的列均值分别为： X.=21.6,X、=124. .=16.4,灭=13.2，=11.6 因素B的行均值分别为： X=15.2, x2=14, 2=16.8,X4=10.4,元=18.8 总均值灭=1504 所以，S=880.96 S4=335.36,S。=199.36, S=346.24 S,/r-1) E,=s-1s- =3.874307, Sa/(s-1) F=5:/(G-1Xs-1) 2.303142 当=005时.杏麦E F-1-1s-1》=(4,16)=3.06917 下面，我们列方差分析表。 表9-8 无交互作用的双因素方差分析表 方差来源 平方和自 F F的临界 因素A 4 因素B 4 F=3.874307 F5(4,16)=3.006917 误差 16 Fg-2.303142 Fs(4,16)=3.006917 总和S, 24 (3)决策 由方差分析表知，对于因素A,由于F,=3.874307>F(4,16)=3.006917,故拒 绝H。4,接受H4,说明不同的装潢方式对该商品的销售产生不同的影响 对于因素B,由于F=2.303142<Fs(4,16)=3.006917,故接受H。a,说明不同 1
7 B1 20 12 20 10 14 B2 22 10 20 12 6 B3 24 14 18 18 10 B4 16 4 8 6 18 销 售 地 区 (B) B5 26 22 16 20 10 试以a = 0.05的显著性水平检验商品不同的装潢和在不同的地区销售数量之间是否有 显著差异。 解：此例中，r = 5，s = 5 。若五种装潢方式的销售均值相等，则表明不同的装潢方 式在销售上没有差别；同理，若五个地区的销售的均值相等，则表明不同地区在销售上没有 影响。故双因素方差分析的过程为： （1）建立假设。 对因素 A ： 0 1 2 5 : H A m × = m × =L = m × ， 1 1 2 5 : , , , H A m × m × L m × 不完全相等 对因素 B： 0 1 2 5 : H B m× = m× =L = m× ， 1 1 2 5 : , , , H B m× m× L m× 不完全相等 （2）计算表 9－6 中的 F 值。由表 9－7 中的数据计算得： 因素 A 的列均值分别为： 1 X 21.6 × = ， 2 X 12.4 × = ， 3 X 16.4 × = ， 4 X 13.2 × = ， 5 X 11.6 × = 因素 B 的行均值分别为： 1 X 15.2 × = , 2 X 14 × = , 3 X 16.8 × = , 4 X 10.4 × = , 5 X 18.8 × = ， 总均值 X =15.04 。 所以， 880.96 T S = ， 335.36 A S = ， 199.36 B S = ， 346.24 E S = ， ( 1) 3.874 307 (( 1)( 1)) A A E S r F S r s - = = - - ， ( 1) 2.303 142 (( 1)( 1)) B B E S s F S r s - = = - - 。 当a = 0.05时，查表得 1 F (r 1,(r 1)(s 1)) -a - - - ＝ 0.95 F (4 ,16) = 3.006 917 。 下面，我们列方差分析表。 表 9-8 无交互作用的双因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 F 值 F 的临界值 因素 A A S 4 因素 B B S 4 误 差 E S 16 总 和 T S 24 3.874 307 FA = 2.303 142 FB = 0.95 F (4 ,16) = 3.006 917 0.95 F (4 ,16) = 3.006 917 （3）决策 由方差分析表知，对于因素 A，由于 3.874 307 FA = > 0.95 F (4 ,16) = 3.006 917 ,故拒 绝 H 0A ，接受 H 1A ，说明不同的装潢方式对该商品的销售产生不同的影响。 对于因素 B，由于 2.303 142 FB = < 0.95 F (4 ,16) = 3.006 917 ,故接受 H 0B ，说明不同
地区之间在该商品的销售上没有显著的差异。 9.3.3有交互作用的双因素方差分析 当因素之间存在交互作用时，为了区分随机误差和交互作用，需要在不同的水平组合下 进行重复试验。我们假设在因素A和因素B每一水平组合下等重复试验t次，得到表9一10。 表9-10 有交互作用的双因素方差分析数据结构 B B. B X X122 X22 X X X X a X,2 X,2 A X 各样本Xt0=1,2,.,r;j=1,2,.,5;k=12,.,)相互独立，均服从正态分布，且 有相等的方差σ2。 X:表示在水平组合(4，B,)下第k次试验的试验结果。在该组合下的试验结果的均值 为： =之X (9-19)》 t 进一步记 ,22 (9-20 X= rst 其中，表示所有观测值的平均值，X表示因素A第个水平的样本平均值，表 ST=S+S8+SB+SE (9-21) 8
8 地区之间在该商品的销售上没有显著的差异。 9.3.3 有交互作用的双因素方差分析 当因素之间存在交互作用时，为了区分随机误差和交互作用，需要在不同的水平组合下 进行重复试验。 我们假设在因素 A 和因素 B 每一水平组合下等重复试验 t 次， 得到表 9－10。 表 9-10 有交互作用的双因素方差分析数据结构 因素 B B1 B2 L Bs A1 X111 X112 M X11t X121 X122 M X12t L X1s 1 X1s 2 M X1st A2 X211 X212 M X21t X221 X222 M X22t L X2s 1 X2s 2 M X2st M M M M M 因 素 A Ar Xr 11 Xr 12 M Xr1t Xr 21 Xr 22 M Xr 2t L Xrs 1 Xrs 2 M Xrst 各样本 ( 1,2, , ; 1,2, , ; 1, 2 , , ) Xijk i = L r j = L s k = L t 相互独立，均服从正态分布，且 有相等的方差 2 s 。 X ijk 表示在水平组合( , ) Ai Bj 下第 k 次试验的试验结果。 在该组合下的试验结果的均值 为： 1 1 t ij ijk k X X t × = = Â （9-19） 进一步记： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 s t i ijk j k r t j ijk i k r s t ijk i j k X X st X X rt X X rst ×× = = × × = = = = = Ï = Ô Ô Ô Ì = Ô Ô Ô = Ó ÂÂ ÂÂ ÂÂÂ （9-20） 其中， X 表示所有观测值的平均值， Xi ×× 表示因素 A 第 i 个水平的样本平均值， X× j× 表 示因素 B 第 j 个水平的样本平均值。 和无交互作用的方差分析类似，离差平方和可以分解为： ST = SA + SB + SAB + SE （9-21）
s容-对 s,-s(.-Xy 其中， 小=n空风-对 (9-22) Sa=2(不，-见-见+W S=2X-, 式中，S,表示总的离差平方和：S表示由因素A的不同水平引起的系统误差：S。表 示由因素B的不同水平引起的系统误差：S4表示由于AB的交互作用引起的系统误差： SE=S,-S,-S。-S,表示在总离差平方和中扣除了因素A、因素B与因素B的交互 作用的系统性误差平方和后的剩余部分 E=S/(r-1) ~F(r-1,s(t-1) (9-23 SE/rs(1-1) 若因素B的各水平之间无显著差异，根据抽样分布定理有： Fa= S/s-) F(s-1rs(t-1)) (9-24) Se/rs(t-1) 若因素A、B的交互作用不显若 根据抽样分布定理有： F=S-s-D、F-,s- (9-25) Sg/rs(t-1) 因此，对于给定的显著性水平，检验规则为： 若F,>F(r-L,s(1-1)》,则认为因素A的各水平之间有显著差异 若F>F(5-L,s(t-),则以为因素B的各水平之间有显若差异。 若F>F(r-I(3-1),s(1-1),则认为因素A、B的交互作用是显若的， 将计算结果列成方差分析表： 表9-11 双因素有交互作用方差分析表 自由度 F值 F的临界值 因素AS r-1 因素BSB s-1 F S1-1) -ar-1,rs1-1) SE/(r-1(s-1) F.(s-1,s(1-1) (-1)(s-1D Sa/(s-1) FR= SE/(r-10(s-10) 误差 F.(r-10s-1,rs(t-l) S rs(t-1) 总和 rst-1 Fu=SuA(r-IXs-D S:/rs(t-1) 9.3.4双因素有交互作用方差分析应用实例 9
9 其中， 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r s t T ijk i j k r A i i s B j j r s AB ij i j i j t E ijk ij k S X X S st X X S rt X X S t X X X X S X X = = = ×× = × × = × ×× × × = = × = Ï Ô = - Ô Ô Ô = - Ô Ô Ì = - Ô Ô Ô = - - + Ô Ô Ô = - Ô Ó ÂÂÂ Â Â ÂÂ Â （9－22） 式中， T S 表示总的离差平方和； A S 表示由因素 A 的不同水平引起的系统误差； B S 表 示由因素 B 的不同水平引起的系统误差； AB S 表示由于 AB 的交互作用引起的系统误差； E T A B AB S = S - S - S - S ，表示在总离差平方和中扣除了因素 A、因素 B 与因素 AB 的交互 作用的系统性误差平方和后的剩余部分，反映了随机误差的大小。 若因素 A 的各水平之间无显著差异，根据抽样分布定理有： ( 1) ~ ( 1, ( 1)) ( 1) A A E S r F F r rs t S rs t - = - - - （9-23） 若因素 B 的各水平之间无显著差异，根据抽样分布定理有： ( 1) ~ ( 1, ( 1)) ( 1) B B E S s F F s rs t S rs t - = - - - （9-24） 若因素 A、B 的交互作用不显著，根据抽样分布定理有： ( 1)( 1) ~ (( 1)( 1), ( 1)) ( 1) AB AB E S r s F F r s rs t S rs t - - = - - - - （9-25） 因此，对于给定的显著性水平，检验规则为： 若 1 ( 1, ( 1)) FA F r rs t > -a - - ，则认为因素 A 的各水平之间有显著差异。 若 1 ( 1, ( 1)) FB F s rs t > -a - - ，则认为因素 B 的各水平之间有显著差异。 若 1 (( 1)( 1), ( 1)) FAB F r s rs t > -a - - - ，则认为因素 A、B 的交互作用是显著的。 将计算结果列成方差分析表： 表 9-11 双因素有交互作用方差分析表 方差 来源 平方 和 自由度 F 值 F 的临界值 因素 A A S r-1 因素 B B S s-1 交 互 作 用 AB S (r-1)(s-1) 误 差 E S rs(t-1) 总 和 T S rst-1 ( 1) (( 1)( 1)) A A E S r F S r s - = - - ( 1) (( 1)( 1)) B B E S s F S r s - = - - ( 1)( 1) ( 1) AB AB E S r s F S rs t - - = - 1 F (r 1,rs(t 1)) -a - - 1 F (s 1,rs(t 1)) -a - - 1 F ((r 1)(s 1),rs(t 1)) -a - - - 9.3.4 双因素有交互作用方差分析应用实例
[例94幻为研究广告效果，考察四种广告方式：当地报纸、当地广播、店内销售员和店 内展示的效果。共设有144个销售点，每种广告方式随机地抽取36个销售点记录销售额， 分布在6 地区的14个销售点的销售情如表9 -12所示。试在显若性水平C=0.1的条 件下，分析广告方式和销售地区对广告效果是否有显著影响。 表9-12不同广告方式不同销售地区的销售资料 广告方式 地区1 地区2 地区4口 地区5 地风6 当地报纸 796275 6875836666 7086 85686 847778806270 当地“播 69511003379733379731006168686383757374 547870687565 687565 7053737g6665815765 6367R5 08769 707540644067 516175645062 销售员 588278877077686155767077427165783783 店内展示 526161 765752336960616641645850444558 414486757563526143694351605255524560 解：此例中，r=4,s=6,t6。 (1)建立假设。 对因素A H。A:因素A对销售量无显若影响： H4:因素A对销售量有显著影响。 对因素B: HoB:因素B对销售量无显若影响： HB:因素B的对销售量有显若影响。 对交互作用品 H。B：交互作用对销售量无显著影响；HB:交互作用对销售量有显若影响。 (2)计算表9-12中的F值。 由表9一12中的数据计算得： F.=1327. F。=1.95, F4B=0.53。 三01时.表得 F(3,120)=2.13 F(5,120)=1.90, F(15,120)=1.55 我们将上述结果列成方差分析表： 表9-13双因素有交互作用方差分析表 方差来源平方和自由 F的临界值 因素A 3 F,=13.27 F-.(-1s1-1)=2.13 因素B F-.(s-1,rs1-1)=1.90 交互作用 15 F=1.95 误差 120 F4B=0.53 F-(r-10s-1),rs1-l1)=1.55 总和 S 143 (3)决策 由方差分析表知，对于因素A,由于F=13.27>F,(3,120)=2.13,故拒绝H。4, 接受H,说明不同的广告宜传方式对商品的销售量产生不同的影响。 对于因素B,由于F。=1.95>F,(6,120)=1.90，故拒绝H,说明不同地区之间在 商品的销售上有显著的差异 6
10 [例 9-4]为研究广告效果，考察四种广告方式：当地报纸、当地广播、店内销售员和店 内展示的效果。共设有 144 个销售点，每种广告方式随机地抽取 36 个销售点记录销售额， 分布在 6 个地区的 144 个销售点的销售情况如表 9-12 所示。试在显著性水平a = 0. 1的条 件下，分析广告方式和销售地区对广告效果是否有显著影响。 表 9-12 不同广告方式不同销售地区的销售资料 广告方式 销售地区（B） （A） 地区 1 地区 2 地区 3 地区 4 地区 5 地区 6 当地报纸 75 57 76 68 75 83 77 75 72 66 66 76 75 81 63 70 86 62 94 54 70 88 56 86 87 65 65 84 77 78 79 62 75 80 62 70 当地广播 69 51 100 54 78 79 33 79 73 68 75 65 33 79 73 68 75 65 100 61 68 70 53 73 68 63 83 79 66 65 75 73 74 81 57 65 店 内 销售员 63 67 85 58 82 78 80 87 62 87 70 77 70 75 40 68 61 55 64 40 67 76 70 77 51 61 75 42 71 65 64 50 62 78 37 83 店内展示 52 61 61 41 44 86 76 57 52 75 75 63 33 69 60 52 61 43 61 66 41 69 43 51 64 58 50 60 52 55 44 45 58 52 45 60 解：此例中，r = 4，s = 6，t=6 。 （1）建立假设。 对因素 A ： H0 A ：因素 A 对销售量无显著影响 ； H1A ：因素 A 对销售量有显著影响。 对因素 B： H0B ：因素 B 对销售量无显著影响； H1B ：因素 B 的对销售量有显著影响。 对交互作用 AB： H0 AB ：交互作用对销售量无显著影响 ； H1AB ：交互作用对销售量有显著影响。 （2）计算表 9－12 中的 F 值。 由表 9－12 中的数据计算得： 13.27 FA = ， 1.95 FB = ， 0.53 FAB = 。 a = 0. 1时，查表得 0.9 F (3,120) = 2.13 ， 0.9 F (5 ,120) =1.90 ， 0.9 F (15,120) =1.55 。 我们将上述结果列成方差分析表： 表 9-13 双因素有交互作用方差分析表 方差来源 平方和 自由度 F 值 F 的临界值 因素 A A S 3 因素 B B S 5 交互作用 AB S 15 误 差 E S 120 总 和 T S 143 13.27 FA = 1.95 FB = 0.53 FAB = 1 F (r 1,rs(t 1)) 2.13 -a - - = 1 F (s 1,rs(t 1)) 1.90 -a - - = 1 F ((r 1)(s 1),rs(t 1)) 1.55 -a - - - = （3）决策。 由方差分析表知，对于因素 A，由于 13.27 FA = > 0.9 F (3 ,120) = 2.13 , 故拒绝 H 0A ， 接受 H 1A ，说明不同的广告宣传方式对商品的销售量产生不同的影响。 对于因素 B，由于 1.95 FB = > 0.9 F (5 ,120) =1.90 , 故拒绝 H 0B ，说明不同地区之间在 商品的销售上有显著的差异