第三章正弦交流电路 §3.1正弦电压与电流 在正弦电源激励下,电路中电压和电流均按正弦规律变化, 这样的电路称为正弦交流电路。 正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性变化,如图3-1 所 R R 十 (a)正弦波形 b)正半周 ()负半周 图3-1正弦波波形 正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面, 因此,正弦交流电包含三个要素,即频率、幅值和初相位
第三章 正弦交流电路 §3.1 正弦电压与电流 在正弦电源激励下，电路中电压和电流均按正弦规律变化， 这样的电路称为正弦交流电路。 正弦电压或电流其大小与方向均随时间而周期性变化，如图3-1 所示。 图3-1 正弦波波形 正弦波的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面， 因此，正弦交流电包含三个要素，即频率、幅值和初相位。 u(i) t (a)正弦波形 + U R i (b)正半周 + U R i (c)负半周 +
频率与周期 u(t) U t(oot) 正弦波三要素 图3-2 图32所示正弦波可写成如下三角函数表示式 u(t=umin(ot +y) 式中Un—幅值,又称峰值ω—角频率,单位rd/S V—初相位 相位q=o+y周期7sAHz 而且频率f=/2n,单位H或KHz
而且 频率 ,单位 Hz或KHz,MHz 相位 周期 f = 2 f T 1 = u(t) =U Sin(t +) m 一.频率与周期 u(t) t 正弦波三要素 Um T (t) ψ 图3-2 图3-2所示正弦波可写成如下三角函数表示式 式中 Um ——幅值，又称峰值 ω——角频率,单位 rad S ——初相位 = t +
二.幅值与有效值 瞬时值——正弦量在任一瞬时的值;一般用小写表示, 如 幅值 瞬时值中最大的值,又称为最大值,或称峰值 般用带下标m的大写字母表示,如Um,lm,Em 有效值——有效值是正弦交流电的一个等效电压(电流)值。 它是指当正弦交流电通过某电阻碎生的热量, 如果与直流电通过同一电阻产生的热量相等时, 则这个直流电流Ⅰ称为该交流电i的有效值, 如图3-3所示。 图3-3 第(19)页
瞬时值——正弦量在任一瞬时的值；一般用小写表示， 如i ,u ,e 。 幅值—— 瞬时值中最大的值，又称为最大值，或称峰值。 一般用带下标m的大写字母表示， 如 Um ,Im ,Em 。 有效值——有效值是正弦交流电的一个等效电压(电流)值。 它是指当正弦交流电通过某电阻R产生的热量， 如果与直流电I通过同一电阻产生的热量相等时， 则这个直流电流 I 称为该交流电 i 的有效值， 如图3-3所示。 二.幅值与有效值 I R E i R u 图3-3 第（19）页
由于正弦交流电许一个周期T中产生的电阻热量为[2Rt 直流电流l一个周期中产生的热量为PT=n2RT 根据上述定义,当两者热量相等时,可得到该正弦交流电的 电流有效值为 TJo 由于i= Sino 则代入上式 I Sin ott T 同理,正弦电压的有效值为DO1 T 2 2 按规定有效值都用大写字母表示,如市电220V或工业用电380V, 都是电力电压的有效值
由于正弦交流电i在一个周期T中产生的电阻热量为 直流电流I在一个周期中产生的热量为 根据上述定义，当两者热量相等时，可得到该正弦交流电的 电流有效值为 由于 则代入上式 同理，正弦电压的有效值为 按规定有效值都用大写字母表示，如市电220V或工业用电380V， 都是电力电压的有效值。 T i Rdt 0 2 PT I RT 2 = i I Sin t = m 2 Um U = = T i dt T I 0 1 2 2 2 1 2 0 2 2 m m T m T I T I I Sin tdt T I = = =
例3-1已知电力电压220V,5OHz,写出它的瞬时电压表示式 由于U=√2U=√2×220J=310 2f=100rd/S 则 u=U Sin at=310Sin100n 初相位 正弦量的相位cx十v记时起点t=0,这时的相位角v 称为初相位。例如图3-4中有三个正弦波,波形①初相位 v1=0;以波形①为参考,波形②的 初相位v2>0(超前) ②①③ 而波形③的初相位v3<0 (滞后)。 图3-4 2 正弦波的初相位
三.初相位 例3-1 已知 电力电压220V,50Hz,写出它的瞬时电压表示式。 Um = 2U = 2 220V = 310V = 2f = 100 rad S u U Sin t Sin t 则 = m = 310 100 正弦量的相位 记时起点t=0,这时的相位角 称为初相位。例如图3-4中有三个正弦波，波形①初相位 ；以波形①为参考，波形②的 初相位 (超前)； 而波形③的初相位 (滞后)。 图3-4 正弦波的初相位 t i 3 2 由于 t + 1 = 0 2 0 3 0
在图3-5中电压的表达式u= U Sinat u,L 初相位为零,电流i初相位v 电流i2初相位V2,两个电流之 间的相位差 g=(ax+v1)-(or+v2)=v1-v2 正弦波的相位差 图3-5 如果,i1和i2相位相同,简称同相;如果φ=180°,i1和i2相 位相反,简称反相;如果q=90°,称i1和i2正交 注意: 相位是一个相对的量。因此讨论相位问题必须设定相位的 参考。一般常以激励信号为参考相位,令其初相位为零。 由于正弦稳态分析时,电路中的激励和响应是同频率的正 弦时间函数,因此分析电路时,表示各正弦电流(或电压) 特征的是其有效值和初相位
在图3-5中电压的表达式 初相位为零,电流 i 1 初相位 ， 电流 i 2 初相位 ，两个电流之 间的相位差 u U Sin t = m ( ) ( ) = +1 − + 2 =1 − 2 t t 如果，i 1 和 i 2 相位相同，简称同相；如果 180º，i 1和i 2相 位相反，简称反相； 如果 90º，称 i 1 和 i 2 正交。 注意： 相位是一个相对的量。因此讨论相位问题必须设定相位的 参考。一般常以激励信号 为参考相位，令其初相位为零。 由于正弦稳态分析时，电路中的激励和响应是同频率的正 弦时间函数，因此分析电路时， 表示各正弦电流(或电压) 特征的是其有效值和初相位。 正弦波的相位差 t u,i i1 i2 u 图3-5 1 2 = =
§3.2正弦量的相量表示 正弦量除了采用三角函数式表示,或者用正弦波形图来表示外, 还可以用相量来表示。相量表示法的基础是复数,即用复数表 示正弦量。要将两个正弦量相加或相减时,这种方法将使计算 简便而又形象 用旋转有向线段表示正弦量 图3-6(注:该图在P.28)表明正弦波形和旋转有向线段的关系 设有一正弦量a= U Sin(ar+y),其波形如图3-6右边所示, 左边是一旋转有向线段。有向线段的长度等于正弦量的幅值Um, 它的初始位置(=0时的位置)与横轴正方向之间的夹角等于正 弦量的初相位v,并以正弦量的角频率O作逆时针方向旋转 这样,正弦量在 第(20)页
图3-6(注:该图在P.28)表明正弦波形和旋转有向线段的关系。 设有一正弦量 ,其波形如图3-6右边所示， 左边是一旋转有向线段。有向线段的长度等于正弦量的幅值Um, 它的初始位置(t=0时的位置)与横轴正方向之间的 夹角等于正 弦量的初相位 ，并以正弦量的角频率 作逆时针方向旋转。 这样，正弦量在 u = U Sin(t + ) m 一.用旋转有向线段表示正弦量 §3.2 正弦量的相量表示 正弦量除了采用三角函数式表示，或者用正弦波形图来表示外， 还可以用相量来表示。相量表示法的基础是复数，即用复数表 示正弦量。要将两个正弦量相加或相减时，这种方法将使计算 简便而又形象。 第（20）页
某时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵轴上 的投影表示出来 例如,在0时,u0= UmSiny在=1时,1=Umsn(ax1+y) 照图3-6的方法画旋转有向线段来表示正弦量是繁琐的。 事实上,在正弦信号的激励下,电路的响应电流(或电压)总 是同频率的正弦量,其次,在分析电路时常遇到加、减、求 导及积分的问题而由于同一频率的正弦量之和或差仍为同 频率的正弦量,正弦量对时间的导数(减积分仍 为同一频率的正弦量,它们之间的差别仅在于幅值与初相位不 同。因此通常只用初始位置(=O)的有向线段来表示一个正弦 量,它的长度等于正弦量的幅值,它与横轴正方向间的夹角等 于正弦量的初相位,如图3-7所示。但是我们应该具有这样的
频率的正弦量，正弦量对时间的导数 或积分 也仍 为同一频率的正弦量，它们之间的差别仅在于幅值与初相位不 同。因此,通常只用初始位置(t=0)的有向线段来表示一个正弦 量，它的长度等于正弦量的幅值，它与横轴正方向间的夹角等 于正弦量的初相位，如图3-7所示。但是我们应该具有这样的 某时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵轴上 的投影表示出来。 例如，在t=0时， , 在t=t 1时， . 照图3-6的方法 画旋转有向线段来表示正弦量是繁琐的。 事实上，在正弦信号的激励下，电路的响应电流(或电压)总 是同频率的正弦量，其次，在分析电路时常遇到加、减、求 导及积分的问题,而由于同一频率的正弦量之和或差仍为同一 ( ) idt dt di u0 = Um Sin = ( + ) 1 1 u U Sin t m
概念:这个有向线段是以正弦量的 角频率作逆时针方向旋转的,它在 图3-7 纵轴上的投影表示正弦量的瞬时值。 y 正弦量的向量表示 二.用相量(复数)表示正弦电流、正弦电压的含义及方法 正弦电流i=LnSi(ox+v)=√2lSin(a+y) 设一复指数函数√2le)=√2IC(ax+v)+j2lsi(ax+v) 则i=In√2le(a+)=2ISin(am+v) (3-1) 式(3-1)中符号m表示取复数的虚部 式(3-1)实际是一种数学变换,即对于任何正弦时间函数,都可 以找到如式(3-1)中括号内所表示的与其对应的复指数函数,且 该复指数函数完全确定地表征了正弦时间函数的有效值(或最大 值)、角频率、初相位三个要素。如前所述,在分析电路激励与 响应时,各电量的频率均相同,因此频率不必表示出来
则 式(3-1) 式(3-1)实际是一种数学变换，即对于任何正弦时间函数，都可 以找到如式(3-1)中括号内所表示的与其对应的复指数函数，且 该复指数函数完全确定地表征了正弦时间函数的有效值(或最大 值)、角频率、初相位三个要素。如前所述，在分析电路激励与 响应时,各电量 的频率均相同，因此频率不必表示出来， 概念：这个有向线段是以正弦量的 角频率作逆时针方向旋转的，它在 纵轴上的投影表示正弦 量的瞬时值。 图3-7 二.用相量(复数)表示正弦电流、正弦电压的含义及方法 ( ) ( ) m i i 正弦电流 i = I Sin t + = 2ISin t + • U 正弦量的向量表示 • Um 设一复指数函数 ( ) ( ) ( ) i i j t Ie ICos t j ISin t i = + + + + 2 2 2 ( ) ( )i j t m i I Ie ISin t i = = + + [ 2 ] 2 中符号 I m 表示取复数的虚部。 (3-1)
只要有幅值与初相位两个要素就足以表示各电压与电流之 间的关系,因此我们约定:用式(3-1)中的复常数Ie1表 示正弦电流i=√2ISin(a+y),并用下列记法 I=le=I∠v1 (3-2) 上式中m不仅是一个复数,而且表示了一个正弦量,所以给它 个专有名称—相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量, 用Ⅰ表示。要注意相量l与正弦电流i存在对应关系,而不是 相等关系,它们之间的对应关系由式(3-1)确定。 同理,正弦电压v=√2USmn(on+v),用相量表示为 U=Uew=U∠vu(33)
同理，正弦电压 ，用相量表示为 上式中 不仅是一个复数，而且表示了一个正弦量，所以给它 一个专有名称——相量。代表正弦电流的相量称之为电流相量， 用 表示。要注意相量 与正弦电流 i只存在对应关系,而不是 相等关系，它们之间的对应关系由式(3-1)确定。 幅值与初相位两个要素就足以表示各电压 与电流之 间的关系，因此我们约定：用式(3-1)中的复常数 表 示正弦电流 ，并用下列记法 ( ) u u = 2USin t + i j Ie I m • ( )i i = 2ISin t + i j I Ie I i = = • (3-2) • I • I u j U Ue u U = = • (3-3) 只要有