北京邮电大学2005--2006学年第2学期《通信原理Ⅱ》期末 考试(A卷)参考答案 简答题(每题6分,共30分。要求有简单说明) (1)已知某线性分组码的最小码距是15,问该码用于纠错时能保证纠正几位错?用于检错时能 保证检出几位错?将该码的两个不相同的码字相加,结果最少有几个1? 答:最小码距是15,故可保证纠正7位错,保证检出14位错。 因为是线性码,相加的结果还是码字,两个不同的码字相加,结果是非全零码字,故最少有 (2)某多径衰落信道的相干带宽是B,在这个信道上发送两个带宽均为B,载波频率分别为f和 2的BPSK信号。收端观察到这两路BPSK都没有明显的码间干扰,且两路的接收信噪比 呈现为独立的随机变量。请问,B、=-f、B和B三者中谁最大?谁最小? 答:无ISI,故发送信号相对于信道相干带宽是窄带;接收信噪比独立,说明载波间隔相对于 相干带宽很大,因此B<B<B3。 (3)某系统的设计中,发送端采用直接序列扩频,接收端采用了RAKE接收。请问这样的设计 更适合于单径衰落信道还是多径衰落信道? 答:RAKE设计目的是为了合并多个可分辨径上的有用信息,因此它更适合多经衰落信道 (4)将(74汉明码的编码结果按行写入一个10行7列的存储阵列,每行一个码字,一共是10 个码字。再按列读出后通过信道传输。若传输这10个码字时,信道中发生了连续15个错 误,请问接收端解交织并译码后,能译对几个码字? 答:(74)汉明码可以纠正1位错。错误数大于1必然译错。通过交织的方法,15个连续错 分散到10组码字之中,其中有5个码字有两个错,5个码字有1个错。故可以译对5个码字 (5)假设某CDMA系统用矩阵 的每一行作为一个用户码,第1~4 1-11-11 行分给用户1~用户4。请问此CDMA系统中,用户1和用户2、3、4中的哪一个是正交的? 答:可以验证出第一行和第三行正交,和第2、4行不正交,故用户1和用户3正交。 二.(10分)将n路模拟话音信号分别按8kHz速率采样,再进行A律十三折线编码,然后时 分复用为一路。求总速率R与n的关系。将这些数据通过一个带宽为B=640kHz的AWGN(加 性白高斯噪声)信道传输,信号带宽内噪声的双边功率谱密度为M/2,其中N=10-/32 (a)请写出正确传输这些数据最少需要的发送功率P (b)假设系统要求P/B≤N。请问此时最多可以传输多少路话音? 解:A律编码,一个抽样用8bit编码,R=n×64kbps。NB=2。 P (a)R≤C=Blog21+xn,故nx64≤640og2 NoB 2/所以P2
北京邮电大学 2005——2006 学年 第 2 学期《通信原理 II》期末 考试（A 卷）参考答案 一．简答题（每题 6 分，共 30 分。要求有简单说明） (1)已知某线性分组码的最小码距是 15，问该码用于纠错时能保证纠正几位错？用于检错时能 保证检出几位错？将该码的两个不相同的码字相加，结果最少有几个 1？ 答：最小码距是 15，故可保证纠正 7 位错，保证检出 14 位错。 因为是线性码，相加的结果还是码字，两个不同的码字相加，结果是非全零码字，故最少有 15 个“1”。 (2)某多径衰落信道的相干带宽是 Bc ，在这个信道上发送两个带宽均为 B，载波频率分别为 1f 和 2f 的 BPSK 信号。收端观察到这两路 BPSK 都没有明显的码间干扰，且两路的接收信噪比 呈现为独立的随机变量。请问， B 1 2 f f Δ = − 、B 和 Bc 三者中谁最大？谁最小？ 答：无 ISI，故发送信号相对于信道相干带宽是窄带；接收信噪比独立，说明载波间隔相对于 相干带宽很大，因此 B < < B B c Δ 。 (3)某系统的设计中，发送端采用直接序列扩频，接收端采用了 RAKE 接收。请问这样的设计 更适合于单径衰落信道还是多径衰落信道？ 答：RAKE 设计目的是为了合并多个可分辨径上的有用信息，因此它更适合多经衰落信道 (4)将(7,4)汉明码的编码结果按行写入一个 10 行 7 列的存储阵列，每行一个码字，一共是 10 个码字。再按列读出后通过信道传输。若传输这 10 个码字时，信道中发生了连续 15 个错 误，请问接收端解交织并译码后，能译对几个码字？ 答：（7,4）汉明码可以纠正 1 位错。错误数大于 1 必然译错。通过交织的方法，15 个连续错 分散到 10 组码字之中，其中有 5 个码字有两个错，5 个码字有 1 个错。故可以译对 5 个码字。 (5)假设某 CDMA 系统用矩阵 11 1 1 11 1 1 1 11 1 1 11 11 1 1 11 1 1 1 ⎡ ⎤ − −− ⎢ ⎥ −−− ⎢ ⎢ ⎥ −− − − ⎥ ⎣ ⎦ − − − 的每一行作为一个用户码，第 1~4 行分给用户 1~用户 4。请问此 CDMA 系统中，用户 1 和用户 2、3、4 中的哪一个是正交的？ 答：可以验证出第一行和第三行正交，和第 2、4 行不正交，故用户 1 和用户 3 正交。 二．（10 分）将 n 路模拟话音信号分别按 8kHz 速率采样，再进行 A 律十三折线编码，然后时 分复用为一路。求总速率 R 与 n 的关系。将这些数据通过一个带宽为 B=640kHz 的 AWGN（加 性白高斯噪声）信道传输，信号带宽内噪声的双边功率谱密度为 0 N 2，其中 4 0 N 10 32 − = 。 (a)请写出正确传输这些数据最少需要的发送功率 P。 (b)假设系统要求 PB N≤ 0 。请问此时最多可以传输多少路话音？ 解：A 律编码，一个抽样用 8bit 编码， R n = ×64kbps 。 0 N B = 2 。 (a) 2 0 log 1 P RCB N B ⎛ ⎞ ≤= + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，故 2 64 640log 1 2 P n ⎛ ⎞ ×≤ + ⎜ ⎝ ⎠⎟ ，所以 1 10 2 2 n P + ≥ − 。 1
P N B (b)若要求PB≤N0,则C=Bog21 ≤Blog21 B,n×64≤640 NoB NB 所以最多可传输10路话音。 (10分)某分集系统有两个接收天线,已知这两路的接收信噪比y和y2是独立同分布的随 机变量,其概率密度函数均为p(y)=e,y20。如果只从一个天线接收(无分集),请问接 收信噪比低于∂B(即γ≤1)的概率尸是多少?若从两路接收,合并方式是输出信噪比最大 的一个,那么输出信噪比低于0dB的概率P是多少? 解:P=「p(yxy==1、1 P2 四.(10分)已知某(7,3)循环码的生成多项式是g(x)=x2+x2+x2+1 (a)请画出系统码的编码器框图 (b)写出信息100、010、001对应的编码结果 (c)写出该码的生成矩阵 (b)如果按此图编码,结果是1001110,0100111,001101 也可直接按g(x)的倍式做,即用信息多项式l(x)乘以g(x)得(x)g(x),结果是1100 0lll010、00l1l0l。 001110 ()系统码的生成矩阵是0100111 110100 也可以写成非系统形式0111010 0011101 l110010 1000110 五.(10分)已知某(74)码的生成矩阵为G= 0010101 1011000 (a)写出该码中所有这样的码字,其前两个比特是11 (b)将G转化为系统形式;(要求:只能是行变换,并且系统位在左边) (c)写出该码的校验矩阵H (d)求接收向量R=[101011]的伴随式。 解:(a)l10011110110、11100、111001 2
(b)若要求 PB N≤ 0 ，则 0 2 2 0 0 log 1 log 1 P N B C B B B N B N B ⎛⎞ ⎛⎞ = +≤ + ⎜⎟ ⎜⎟ = ⎝⎠ ⎝⎠ ，n× ≤ 64 640 ， 所以最多可传输 10 路话音。 三．(10 分)某分集系统有两个接收天线，已知这两路的接收信噪比 1 γ 和 2 γ 是独立同分布的随 机变量，其概率密度函数均为 p e ( ) , γ γ γ − = ≥ 0。如果只从一个天线接收（无分集），请问接 收信噪比低于 0dB（即γ ≤1）的概率 是多少？若从两路接收，合并方式是输出信噪比最大 的一个，那么输出信噪比低于 0dB 的概率 是多少？ P1 P2 解： 1 1 1 0 0 1 P p d ed ( ) 1 e γ γγ γ − = == − 2 ∫ ∫ ， 2 2 2 1 1 P P 1 e ⎛ ⎞ = =− ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 四．(10 分)已知某(7,3)循环码的生成多项式是 ( ) 432 gx x x x = +++1。 (a)请画出系统码的编码器框图； (b)写出信息 100、010、001 对应的编码结果； (c)写出该码的生成矩阵。 解：(a) (b)如果按此图编码，结果是 1001110，0100111，0011101。 也可直接按 的倍式做，即用信息多项式 g x( ) u x( ) 乘以 g x( ) 得uxgx ( ) () ，结果是 1110100、 0111010、0011101。 (c)系统码的生成矩阵是 1001110 0100111 0011101 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 也可以写成非系统形式 。 1110100 0111010 0011101 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 五．(10 分)已知某（7,4）码的生成矩阵为 1110010 1000110 0010101 1011000 G ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (a)写出该码中所有这样的码字，其前两个比特是 11； (b)将 G 转化为系统形式；（要求：只能是行变换，并且系统位在左边） (c)写出该码的校验矩阵 H。 (d)求接收向量 R = [1101011] 的伴随式。 解：(a)1100111、1101100、1110010、1111001
0100001 001010 0001011 010100 001010 (d=RH=(111)或s=HR=(1) 六.(10分)右图是某卷积码格图的一段,图中左边数字是到达该状态的幸存路径的累积度量, 图中实线/虚线分别表示编码器输入的信息比特是0/1,线旁边的数字(如01)表示对应的编 码器输出 (a)请求出下一步到达到达状态a的幸存路径,此幸存路径可能的累积路径度量值: (b)假设编码器的初始状态是a,请写出信息11000对应的编码结果 5a00 b 解:(a)下一步到a只能是a到a或者c到a。a到a累积度量至少是5,c到a累积度量至多是 4。因此下一步到a的幸存路径一定是c到a。依据此段译码器输入之不同,累积度量可能为 接收序列为00时,累计度量值4 接收序列为01时,累计度量值3 接收序列为10时,累计度量值3 接收序列为11时,累计度量值2 (b)l101011100 七(10分)已知H是 Hadamard(哈达玛)矩阵,其元素取值于±1。B是H的逆矩阵,请证明: (a)H=H(H代表H的转置) (b)若i≠j,则H的第i行与B的第j行正交。 证明:(a) (1)H2= (2)如果H=H、,则H2=(H-H HN HN 由(1)(2)可知:H=H 冷令B=(b),H=()因为B,H=1,H=H,所以B,H=1,此即∑bh=0, 故H的第i行与B的第j行正交
(b) 1000110 0100001 0010101 0001011 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (c) 1010100 1001010 0111001 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (d) ( ) 111 或 T s R= = H ( ) 111 T T s R = = H 六．(10 分)右图是某卷积码格图的一段，图中左边数字是到达该状态的幸存路径的累积度量， 图中实线/虚线分别表示编码器输入的信息比特是 0/1，线旁边的数字（如 01）表示对应的编 码器输出。 (a)请求出下一步到达到达状态 a 的幸存路径，此幸存路径可能的累积路径度量值； (b)假设编码器的初始状态是 a，请写出信息 11000 对应的编码结果。 解：(a)下一步到 a 只能是 a 到 a 或者 c 到 a。a 到 a 累积度量至少是 5，c 到 a 累积度量至多是 4。因此下一步到 a 的幸存路径一定是 c 到 a。依据此段译码器输入之不同，累积度量可能为 接收序列为 00 时，累计度量值 4 接收序列为 01 时，累计度量值 3 接收序列为 10 时，累计度量值 3 接收序列为 11 时，累计度量值 2 (b)1 10101110 0 七.(10 分)已知 H 是 Hadamard（哈达玛）矩阵，其元素取值于 ±1。B 是 H 的逆矩阵，请证明： (a) （ 代表 的转置）； T H H= T H H (b)若 ，则 i ≠ j H 的第 i 行与 B 的第 j 行正交。 证明：（a） (1) 2 ，故 1 1 1 1 H ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 2 2 T H = H (2)如果 T HN = HN ，则 2 2 T T NN NN N N NN NN HH HH H H HH HH ⎛ ⎞⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ − − = 由（1）（2）可知： T H H= (b)令 B = (bij) ，H h = ( )ij 。因为 BiH I = ， T H H= ，所以 T B H 3 i = I ，此即 1 0 N jk ik k i j b h = ≠ ∑ i = ， 故 H 的第 i 行与 B 的第 j 行正交
八·(10分)下图示出了一个线性反馈移存器序列,其输出序列是{a}已知 (aaa2a3)=(1000 (a请写出{a4…a5 (b)此序列是否为m序列? (c请写出此序列发生器的特征多项式∫(x) aA DHdhdhd 解: (a)ak=ak-1+ak4,故a4=a3+ao=0+1=1 似可得{a…a5}为 111101011001 (b)输出序列的周期为15,题目中给出的移位寄存器序列的最长周期为15,故此序列为m序列 (c)f(x)=1+x+x4
八 ． (10 分 ) 下图示出了一个线性反馈移存器序列，其输出序列是 {ak} 。已知 ( )( aaa a 0123 = 1000) 。 (a)请写出{a a 4 15 " } 。 (b)此序列是否为 m 序列？ (c)请写出此序列发生器的特征多项式 f ( x) 解： (a) aa a kk k = + −1 −4 ， 故 4 30 a aa = + = += 011 ，类似可得 {a a 4 15 " } 为 1111010110 01 (b)输出序列的周期为 15，题目中给出的移位寄存器序列的最长周期为 15，故此序列为 m 序列 (c) 4 f () 1 x x =+ + x 4
