试题八 均值为零、双边功率谱密度为2的高斯白噪声h()输入下图所示系统 n(n BPF LPF A no( 2可 其中BP和LP是幅度增益为1的理想带通滤波器和理想低通滤波器。BP的中心频率是f, 带宽是2B,LPF的截止频率是B。请: (1)求输出噪声n()的均值和功率: 2)求输出噪声n()的功率谱密度。 在双边功率谱密度为2的加性高斯白噪声干扰下,请对如下信号 t/T0≤t≤7 0 e lse 设计一个匹配滤 (写出匹配滤波器的冲激响应h(),并绘出图形 (2)求出S()经过匹配滤波器的输出信号y(),并绘出图形 (3)求最大输出信噪比。 某调角系统如下图所示 ()dr+调相器 20倍频器 已知调相器的调相灵敏度(相位偏移常数)为人ρ=5弧度伏,倍频器输出是 s2()=100c092×10°xt+10n400
试题八 一. 均值为零、双边功率谱密度为 N0 2 的高斯白噪声 n t w ( ) 输入下图所示系统 其中BPF和LPF是幅度增益为 1 的理想带通滤波器和理想低通滤波器。BPF的中心频率是 cf ， 带宽是 2B，LPF的截止频率是B。请： (1) 求输出噪声 o ( ) 的均值和功率； n t (2) 求输出噪声 o ( ) 的功率谱密度。 n t 二. 在双边功率谱密度为 N0 2 的加性高斯白噪声干扰下，请对如下信号： ( ) 0 0 t T t T s t else ⎧ ≤ ≤ = ⎨ ⎩ 设计一个匹配滤波器。请 (1)写出匹配滤波器的冲激响应 h t( )，并绘出图形； (2)求出 ( )经过匹配滤波器的输出信号 s t y t( ) ，并绘出图形； (3)求最大输出信噪比。 三．某调角系统如下图所示： 已知调相器的调相灵敏度（相位偏移常数）为 5 KP = 弧度/伏，倍频器输出是 ( ) ( ) 5 2 s t t = × 100cos 2 10 π +10sin 4000πt 1/7
(1说出对于m(口)而言,S(口)和5:()是调相波还是调频波? (2写出已调信号S(0)及调制信号m()的表达式 (3)求出S()、S2()的最大相偏、最大频偏及带宽 (4求出2()的平均功率。 四.某二进制单极性无码间干扰传输系统中出现“1”的概率为q,接收端采样点的高斯噪声 方差为a2、均值为0。设发“1”对应的采样电平为A,求最佳最佳判决门限Vd及相 应的误码率Pe。 五.一个理想低通滤波器特性信道的截止频率为6kHz。 (1)若发送信号采用8电平基带信号,求无码间干扰的最高信息传输速率? (2)若发送信号采用3电平第I类部分响应信号,重求无码间干扰的最高信息传输速率? (3)若发送信号采用a=0.5的升余弦滚降频谱信号,请问在此信道上如何实现24kbps 的无码间干扰的信息传输速率?请画出最佳基带通信系统的框图
请： (1)说出对于 ( ) 而言， 和 m t s t 1 ( ) s t 2 ( ) 是调相波还是调频波？ (2)写出已调信号 1 ( ) 及调制信号 s t m t( ) 的表达式； (3)求出 1 ( ) 、 的最大相偏、最大频偏及带宽； s t s t 2 ( ) (4)求出 2 ( ) 的平均功率。 s t 四．某二进制单极性无码间干扰传输系统中出现“1”的概率为q，接收端采样点的高斯噪声 方差为 2 σ 、均值为 0。设发“1”对应的采样电平为A，求最佳最佳判决门限V d * 及相 应的误码率 Pe 。 五．一个理想低通滤波器特性信道的截止频率为 6kHz。 (1) 若发送信号采用 8 电平基带信号，求无码间干扰的最高信息传输速率？ (2) 若发送信号采用3电平第I类部分响应信号，重求无码间干扰的最高信息传输速率？ (3) 若发送信号采用α = 0.5 的升余弦滚降频谱信号，请问在此信道上如何实现 24kbps 的无码间干扰的信息传输速率？请画出最佳基带通信系统的框图。 2/7
试题八参考答案 (1)BPF输出的噪声可写为 n(=n(ocos 2rft-n,(o)sin 2Tf n(),n(),n,(2)都是0均值的平稳高斯过程,其功率均为2NB.川()与os2x相乘, (t)=n() NoB 再经过LPF后的输出是 2"),其均值为0,功率为2 (2)很明显,n() 的功率谱密度P()在/≤B内是常数,在/>B处是0,即 P()= x|f≤B 0 else P()的面积就是n()的功率,因此有 2 Bx 。所以 B(=4 sB (配滤波器的冲激响应为b(口)=(-),考虑物理可实现性及时延最小,取1=7。于 是有 h(a) ∫1-170≤1≤T 0 其波形为 (25()经过匹配滤波器的输出信号为
试题八参考答案 一. 解： (1)BPF 输出的噪声可写为 ( ) ( ) cos 2 ( )sin 2 c c s n t n t f t n t f t = − π π c ， n t( ), , nc (t) ns (t) 都是 0 均值的平稳高斯过程，其功率均为2N0B 。n t( ) 与cos 2 c π f t 相乘， 再经过LPF后的输出是 ( ) ( ) 1 2 o c n t = n t ，其均值为 0，功率为 0 2 N B 。 (2)很明显， ( ) 的功率谱密度 n t o P f o ( ) 在 f ≤ B 内是常数，在 f > B 处是 0，即 ( ) 0 o x f B P f else ⎧ ≤ = ⎨ ⎩ P f o ( ) 的面积就是 o ( ) 的功率，因此有 n t 0 2 2 N B Bx = ， 0 4 N x = 。所以 ( ) 0 4 0 o N f B P f else ⎧ ⎪ ≤ = ⎨ ⎪ ⎩ 二. 解： (1)匹配滤波器的冲激响应为h t( ) = − s(t0 t)，考虑物理可实现性及时延最小，取 。于 是有 t0 = T ( ) 1 0 0 t T t T h t else ⎧ − ≤ ≤ = ⎨ ⎩ 其波形为 (2) ( )经过匹配滤波器的输出信号为 s t 3/7
y()=0s(-)h(r)d 1s(x)dx 当≤0或者t>2T时,y()=0 当0<1≤T时 y()= x x-t+t T-IT T dx=n2(37-) (1-2)(+r) 当T<t≤2T时 73 2E 2T E dt (3)S()的能量为 所以最大输出信噪比为 三.解 (1)对于m()而言,S()和1()是调频波 (25()和5()是倍频关系,不考虑倍频器的幅度增益,则 2×105xt+10sin4000mt s,()=cos cos 104 rt+sin 4000t 20 ()=0m)=x+5m(r) 故此 sin 4000t=5 m(r)dr 于是
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() 0 0 0 T T T y t s t h d s t s T d s x T t s x dx τ τ τ τ τ τ = − = − − = − + ∫ ∫ ∫ 当t ≤ 0或者t > 2T 时， ( ) ； y t = 0 当0 < ≤t T 时， ( ) ( ) 2 2 3 6 T T t x x T t t y t dx T t − T T T − + = × = − ∫ 当T t < ≤ 2T 时， ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 6 t T x x T t t T t T y t dx T T T − − + − + = × = ∫ (3) ( ) 的能量为 s t 2 0 3 T t T E dt T ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ ∫ ，所以最大输出信噪比为 0 0 2 2 3 E T N N γ = = 。 三. 解 (1)对于 ( ) 而言， 和 是调频波 m t s t 1 ( ) s t 2 ( ) (2) ( ) 和 是倍频关系，不考虑倍频器的幅度增益，则 s t 2 s t 1 ( ) ( ) 5 4 1 2 10 10sin 4000 1 cos cos 10 sin 4000 20 2 t t s t t t π π π π ⎛ ⎞ × + ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 另外 1 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) cos 2 cos 2 5 t t c P c s t π f t K m τ τd π f t m τ dτ −∞ −∞ = + = + ∫ ∫ 故此 ( ) 1 sin 4000 5 2 t πt m τ τd −∞ = ∫ 于是 4/7
m(7)=400xc0s40007 ma(40 (35()的最大相偏是05弧度,最大频偏是 =1000Hz 由倍频关系得:S2()的最大相偏是10弧度,最大频偏是20kHz。 m1()的频率是200H,由卡松公式,S()的带宽近似为2(10000=60z s2()的带宽近似为2(20002004001 (4)5()的平均功率为2 =5000 四.解 由于是单极性二进制系统,所以接收端的采样值可以表示为 y=x+n A0}.P(x=A)=q,n-N(0 (1)求最佳判决门限 按MAP准则判决,先计算后验概率 (y-4) (x=Aly P(=Aplix= q PU y)√2mo P(x=0)P(y|x=0) 2 0|y) P(y) P(y)√2 对数后验概率比为 P(x=Al q 最佳判决门限是MAP准则的分界点,即 2
m t( ) = 400π cos 4000πt (3) ( ) 的最大相偏是 0.5 弧度，最大频偏是 s t 1 1 max sin 4000 2 1000Hz d t dt π ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎩ ⎭ ⎝ ⎠ = 2π 。 由倍频关系得： s t 2 ( ) 的最大相偏是 10 弧度，最大频偏是 20kHz。 m t( ) 的频率是 2000Hz，由卡松公式， s t 1 ( ) 的带宽近似为 2(1000 + = 2000) 6000Hz ， s t 2 ( ) 的带宽近似为 ( ) 。 2 20000 + = 2000 44000Hz (4) ( ) 的平均功率为 s t 2 ( )2 100 = 5000 2 W。 四. 解： 由于是单极性二进制系统，所以接收端的采样值可以表示为 y x = + n 其中 x∈{A,0} ， P x( = = A) q ， ( ) 2 n N ~ 0,σ 。 (1)求最佳判决门限 按 MAP 准则判决，先计算后验概率： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 | | 2 y A P x A p y x A q P x A y e p y p y σ πσ − = = − = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 | 0 1 0 | 2 y P x p y x q P x y e p y p y σ πσ = = − − = = = 对数后验概率比为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | ln ln ln 0 | 1 2 1 y A y P x A y qe q yA A P x y q q e σ σ σ σ − − − = = = + = − − − 最佳判决门限Vd 是MAP准则的分界点，即 ∗ 2 2 2 ln 0 1 2 V Ad q A q σ σ ∗ + − = − 5/7
因此 (2)求无码率 发送“1”而判决出错的概率为 P(yi|x=0)=P(n>) erfc/A-l 2 erfc A 平均错误率为 P=qP(yT) A erfc q erfc o-In -g 8a√2A1-q 五.解 (1)最高的符号速率为 R=2B=12×103 符号/秒 最高的信息速率为R=Rlog28=36×10°比特秒 (2)最高的符号速率R=2B=12×10符号秒,每个3电平符号传送lb的信息,所以最高 的信息速率为12×103比特秒 (3)采用α=0.5的升余弦滚降频谱时,带宽和符号速率的关系是21+a) B ,因此符号 速多饣。2B12×103 =8000 1+a 符号秒。为了实现24kbps的无码间干扰传输,每符号 携带的比特数应当为83,所以每符号的电平数应为M=2=8,即采用8PAM。 最佳基带通信系统的框图如下:
因此： 2 ln 2 1 d A q V A q ∗ σ = − − (2)求无码率 发送“1”而判决出错的概率为 ( ) ( ( )) 2 | 1 erfc 2 2 1 erfc ln 2 1 8 2 d d d P y V x A P n A V A V A q A q σ σ σ ∗ ∗ ∗ = = > ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − 平均错误率为 ( ) | 1( ) ( ) 1 erfc ln erfc ln 2 1 8 2 2 8 2 Pe d d qP y V x A q P y V q A q q A q A A q q σ σ σ σ ∗ ∗ = ⎛ ⎞ − ⎛ = + ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎝ ⎠ − − ⎝ 1 ⎞ ⎟ ⎠ 五. 解： (1)最高的符号速率为 符号/秒 3 2 12 10 R B s = = × 最高的信息速率为 比特/秒。 3 2 log 8 36 10 R R b s = = × (2)最高的符号速率 符号/秒，每个 3 电平符号传送 1bit的信息，所以最高 的信息速率为 12×10 3 2 12 10 R B s = = × 3 比特/秒。 (3)采用α = 0.5的升余弦滚降频谱时，带宽和符号速率的关系是 ( ) 1 2 Rs B = +α ，因此符号 速率为 3 2 12 10 8000 1 1.5 s B R α × = = = + 符号/秒。为了实现 24 kbps的无码间干扰传输，每符号 携带的比特数应当为 = 8 24 3，所以每符号的电平数应为 = 2 = 8，即采用 8PAM。 3 M 最佳基带通信系统的框图如下： 6/7
c=0.5 C=0.5 24kbl 根升余基带信遒]「根升余弦 串24kbps 频谱成形10-60004z 配滤波
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