第三讲高阶导数、隐函数的导数 【目的与要求】 1、会求函数的高阶导数； 2、了解高阶导数的莱布尼茨公式； 3、会求由一般方程与参数方程所确定的隐函数的一阶与二阶导数. 【知识要点】 1、f(x)的n阶导数 ( d"yAf-w(ax=m fm-(x+△x)-f-(x) (存在) r0 △x 2、 高阶导数的基本公式 (1)(e)m=e (2)(sin x)(m)=sin(x+ 2 同(eosm=cox+受 4m(1+xjo=(-1)a- (n-l)1 (1+x)” 5)(x)m=a(a-1)…(a-n+1)xa-n 隐函数求导 若f:X→Y,x→f(x),满足F(x,f(x)》=0(x∈X),则称y=f(x)是方程 F(x,y)=0所确定的隐函数；求导时，只要对F(x,y)=0求导即可，再整理出 y=g(x,y). 3、对数求导：某些函数（如幂指函数或连乘式）求导时，不易以显式直接求，可先两边 同时取对数，化成隐函数，再求导.（一般在最终结果y=(x)中不要出现y) 【重点难点】 重点：由一般方程与参数方程所确定的隐函数的一阶与二阶导数： 难点：高阶导数的莱布尼茨公式 【典型例题】
第三讲 高阶导数、隐函数的导数 【目的与要求】 1、会求函数的高阶导数; 2、了解高阶导数的莱布尼茨公式; 3、会求由一般方程与参数方程所确定的隐函数的一阶与二阶导数. 【知识要点】 1、 f (x) 的 n 阶导数 x f x x f x f x dx d y f x n n x n n n n + − = − − → − ( ) ( ) ( ) [ ( )] lim ( 1) ( 1) 0 ( ) ( 1) ' （存在） 2、高阶导数的基本公式 (1) x n x e = e ( ) ( ) (2) ) 2 (sin ) sin( ( ) n x x n = + (3) ) 2 (cos ) cos( ( ) n x x n = + (4) n n n n x x (1 ) ! [ln(1 )] ( 1) ( 1) ( ) ( 1) + + = − − − (5) n n x n x − = − − + ( ) ( 1) ( 1) ( ) (6) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) k n k n k k n n C − = = 隐函数求导 若 f : X →Y, x → f (x)， 满足 F(x, f (x)) = 0 (x X )， 则称 y = f (x) 是方程 F(x, y) = 0 所确定的隐函数 ; 求导时，只要对 F(x, y) = 0 求导即可，再整理出 ( , ) ' y = g x y . 3、对数求导:某些函数（如幂指函数或连乘式）求导时，不易以显式直接求，可先两边 同时取对数，化成隐函数，再求导.（一般在最终结果 ( ) ' y = x 中不要出现 y ） 【重点难点】 重点:由一般方程与参数方程所确定的隐函数的一阶与二阶导数; 难点:高阶导数的莱布尼茨公式. 【典型例题】
例1求y=n1+x)的n阶导数. 解：递推法y= 1 1+x 1+)2 y=(←1212 (1+) y”=(←1)-n-1 (n≥1,01=1). (1+x)” 例2设y=simx,求yo。 10 解：yo:sin(+2)=-5inx 例3y=x2sin2x,求y50) 解：y50=(x2sin2x)50 -n2x0r2+50sm2x4962）+50×49(sn2x4r2) 21 又(sn2x)m=2”sin2x+Tm) 122 ..y(50)=250 (-x2 sin 2x+50x cos2x+ sin 2x) 2 例4y=x,求y. 解：法1y=(x)'=(elnr)'=elnx(xlhx)' =e*Inx (In x+1) =x'(nx+1) 法（对数求导法）hy=xhx→ y=Inx+l y=x*(Inx+1) x cos21 例5 少sm,'求 dx 解 少.y/d-2 sin os1=-l dx dx/dt -2costsin t
例 1 求 y = ln(1 + x) 的 n 阶导数. 解: [递推法] x y + = 1 ' 1 ; 2 '' (1 ) 1 x y + − = ; 3 ''' 2 (1 ) 1 2 ( 1) x y + = − ; n n n x n y (1 ) ( 1)! ( 1) 1 + − = − − ( 1, 0! 1) n = . 例 2 设 y = sin x ，求 (10) y . 解: (10) y = 10 sin( ) sin 2 x x + = − . 例 3 y x sin 2x 2 = ，求 (50) y . 解: (50) y = 2 (50) (x sin 2x) = (5 0) 2 (4 9) 2 ' (4 8) 2 '' (sin 2 ) ( ) 2! 50 49 (sin 2x) x 50(sin 2x) (x ) x x + + 又 ) 2 (sin 2 ) 2 sin( 2 ( ) x x n n n = + (50) y = sin 2 ) 2 1225 2 ( sin 2 50 cos 2 50 2 −x x + x x + x 例 4 x y = x ， 求 ' y . 解: 法 I ' y = ' ln ' ln ' (x ) (e ) e (x ln x) x x x x x = = = (ln 1) ln e x + x x = x (ln x +1) x 法 II (对数求导法) ln ln ln 1 ' = = x + y y y x x ' y = x (ln x +1) x 例 5 = = y t x t 2 2 sin cos ， 求 dx dy . 解: dx dy = 1 2cos sin 2sin cos = − − = t t t t dx dt dy dt
【课后训练与提高】 (A) 1、求下列函数的2阶导数 (1)y=2x2+nx (2)y=e-sin t (3)y=tanx (4)y= (5)y e x3+1 2、设f(x)=(x+10)6,求f"(2) (B) 1、求下列函数的n阶导数： 6x+1 (1)y=n(1-x) (2)y= 4x+2 2、设)s血x-cos(x-)=0,其中y=以x),求 dx 3、y=e*cosx,求y4 4、y=x2sn2x,求y0) 5、设y=fx)由方程y2-2xy+9=0所确定，求少 6、设xy=ey,求 x x=at2 y 7、 (y=r3,求 8=八， d x=a(cost+tsin t) 9、设 y=a(sin t-tcost) "dx (c) 3at X= 1+t2 1、求曲线 在1=2处的切线及法线方程. 3at2 y= 1+12 2设y=x其中y=川x,求 x 3、设f(x)=arctanx,求fm(O)
【课后训练与提高】 （A） 1、求下列函数的 2 阶导数 (1) y 2x ln x 2 = + (2) y e t t sin − = (3) y = tan x (4) y= 1 1 3 x + (5) x e y x = 2、设 6 f (x) = (x +10) , 求 (2) ''' f （B） 1、求下列函数的 n 阶导数: (1) y = ln(1 − x) (2) 6 1 4 2 x y x + = + 2、设 y sin x − cos(x − y) = 0, 其中 y = y(x), 求 dx dy . 3、 y e x x = cos , 求 (4) y . 4、 y x sin 2x 2 = , 求 (50) y . 5、设 y = f (x) 由方程 2 9 0 2 y − xy + = 所确定, 求 dx dy . 6、设 x y xy e + = , 求 dx dy . 7、 = = 3 2 y bt x at , 求 dx dy . 8、设 x x x y ) 1 ( + = ，求 dx dy . 9、设 = − = + (sin cos ) (cos sin ) y a t t t x a t t t ，求 4 dx t= dy . （C） 1、求曲线 + = + = 2 2 2 1 3 1 3 t at y t at x 在 t = 2 处的切线及法线方程. 2、设 x y y = x 其中 y = y(x), 求 dx dy . 3、设 f (x) = arctan x ，求 (0) (n) f
4、设y= x3 x2-3x-4’求y
4、设 3 4 2 3 − − = x x x y ，求 (n) y