第一讲导数概念 【目的与要求】 1、理解导数概念，理解导数的几何意义： 2、掌握函数的连续性与可导性关系； 3、掌握函数可导的充要条件】 【知识要点】 1、导数定义： ①函数在一点处的导数：设函数y=f(x)在点x。的某邻域内有定义，若 lim Ay lim △r-0△x f+△)一f）极限存在，则称fx)在点x。可导， △x→0 △x 记为f(xo) ②如果函数y=f(x)在开区间I内每点处都可导，就称函数f(x)在开区 间I内可导.这时，对于x∈I,都对应着f(x)的一个确定的导数值. 这个函数叫做y=f)的导函数，记作y,∫x.少或旷 dx dx 显然，函数f(x)在点x。处的导数'(xo)就是导函数f'(x)在点x=x。处 的函数值，即∫(o)=f'(x,·导函数∫(x)简称导数。 ③左导数 f广(xo)lim fx,+A)-fx）=lim f(x)-f(xo) (存在) 4x￥0 △x x→6 X-Xo ④右导数 f(xo)会lim f+△x)-f=lim f(x)-f(x) (存在) △x→0 △x x对 x-Xo ⑤f(x)在[a,b]内可导台f'(a)、f'(b)存在且f(x)在(a,b)内可导. ⑥几何意义 函数y-f(x)在点x。点可导表示曲线y=-f(x)在点P(x,f(x)》点的切线存在.导
第一讲 导数概念 【目的与要求】 1、理解导数概念，理解导数的几何意义; 2、掌握函数的连续性与可导性关系; 3、掌握函数可导的充要条件. 【知识要点】 1、导数定义: ① 函数在一点处的导数:设函数 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域内有定义，若 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = 极限存在，则称 f x( ) 在点 0 x 可导， 记为 '( ) 0 f x . ② 如果函数 y = f (x) 在开区间 I 内每点处都可导，就称函数 f (x) 在开区 间 I 内可导.这时，对于 x I ，都对应着 f (x) 的一个确定的导数值. 这个函数叫做 y = f (x) 的导函数，记作 ', '( ), dy y f x dx 或 dx df (x) . 显然，函数 f (x) 在点 0 x 处的导数 '( ) 0 f x 就是导函数 f '(x) 在点 x ＝ 0 x 处 的函数值，即 0 '( ) '( ) 0 x x f x f x = = .导函数 f '(x) 简称导数. ③ 左导数 0 ' 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x − − − → → + − − = − （存在） ④ 右导数 0 ' 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + + + → → + − − = − （存在） ⑤ f (x) 在 [ , ] a b 内可导 f '(a) + 、 f '(b) − 存在且 f (x) 在 ( , ) a b 内可导. ⑥ 几何意义 函数 y = f (x) 在点 0 x 点可导表示曲线 y = f (x) 在点 0 0 0 P x f x ( , ( )) 点的切线存在.导
数f'(x)表示曲线y=f(x)在点P(x,f(x)点切线的斜率 过点P(xo,f(x)》的 切线方程： y-f(xo)=f(xo)(x-xo). 1 法线方程： y-f(x)=- f'(x) (x-xo). ⑦可导与连续关系 函数在点x可导一函数在点x连续，反之不一定成立. 【重点与难点】 重点：导数定义. 【典型例题】 例1设f'(x)存在，求lim f(x+△x)-f(x-2△x) Ar0 △x 保.利用导数定文：四代+-）-} △x 原式=lim f(x。+△x)-f(x)-(f(x。-2△x)-f(x》 △x lim fx+△)-f2+lim2f-2A)-f） Ar △x △x0 -2△x =f(x)+2f'(x) =3f'(x) 例2设y=f(x)= x2,x≤1 选取适合的a,b的值，使f(x)在x=1处连续可导. ax+b,x>1 解：在x=1处连续，limf()=limf() 而1i吧f(x)=1imx2=1 lim f(x)=lim(ax+b)=a+b ∴.a+b=1… …(1)
数 0 f x'( ) 表示曲线 y = f (x) 在点 0 0 0 P x f x ( , ( )) 点切线的斜率. 过点 0 0 0 P x f x ( , ( )) 的 切线方程: 0 0 0 y f x f x x x − = − ( ) '( )( ) . 法线方程: 0 0 0 1 ( ) ( ) '( ) y f x x x f x − = − − . ⑦ 可导与连续关系 函数在点 x 可导 函数在点 x 连续，反之不一定成立. 【重点与难点】 重点:导数定义. 【典型例题】 例 1 设 0 f x'( ) 存在，求 0 0 0 ( ) ( 2 ) lim x f x x f x x → x + − − . 解: 利用导数定义: 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x f x x f x f x → x + − = 原式＝ 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ( 2 ) ( )) lim x f x x f x f x x f x → x + − − − − ＝ 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x → x + − + 0 0 0 ( 2 ) ( ) lim 2 x 2 f x x f x → x − − − ＝ 0 f x'( ) +2 0 f x'( ) ＝3 0 f x'( ) 例 2 设 2 , 1 ( ) , 1 x x y f x ax b x = = + 选取适合的 a b, 的值，使 f x( ) 在 x =1 处连续可导. 解: 在 x =1 处连续， 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x → → − + = 而 0 0 2 1 1 lim ( ) lim 1 x x f x x → → − − = = 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x ax b a b → → + + = + = + ∴ a b + =1 ………………………………………………………………（1）
又f0emf)-f-m 2-1=2 x→ x-1 →x-1 f)全mf)-0-lim公+b- -1由0im x+a=lim x-1 x→1" 21x-1→1 .要f(x)在x=1处可导，当且仅当a=2,从而由(1)知b=-1 a=2 当 1b=-1 时，f(x)在x=1处连续且可导. 例3设函数f(x)在其定义域内可导， ①若f(x)是偶函数，证明f'(x)为奇函数： ②若f(x)是奇函数，证明f'(x)为偶函数. 证明：①若f(x)是偶函数，f(-x)=f(x),f(-x-△x)=f(x+△x) 由导数定义 f(x)=lim fx+△)-f田=1imf-x-A)-f- △r→ △x △r0 △x =lim f-x-)-f-0=-f'-x) △r→0 -Ax ·f'(x)是奇函数 ②证明同理. 1 例4给定双曲线y=二，求过点(-3,1)的切线方程。 解：设切点为（x, 上，则切线方程为 y-1-y(Xx-%)--(x-x) 如 x 又∴切线过点(3,1)，代入上式可得 1-1=-5-3-x) 3+X0 Xo →x6-2x0-3=0→x=3或x=-1 ÷所求切线为y-3一9 11 (x-3),即9y+x-6=0
又 2 ' 1 1 ( ) (1) 1 (1) lim lim 2 x x 1 1 f x f x f x x − → → − − − − = = − − ' 1 1 ( ) (1) 1 (1) lim lim x x 1 1 f x f ax b f x x + → → + + − + − = − − 由(1) 1 lim x 1 ax a x → + + − = 1 lim x 1 a → + = a ∴要 f x( ) 在 x =1 处可导，当且仅当 a = 2 ，从而由（1）知 b =−1 ∴当 2 1 a b = = − 时， f x( ) 在 x =1 处连续且可导. 例 3 设函数 f x( ) 在其定义域内可导， ① 若 f x( ) 是偶函数，证明 f x'( ) 为奇函数; ② 若 f x( ) 是奇函数，证明 f x'( ) 为偶函数. 证明:① 若 f x( ) 是偶函数， f x f x ( ) ( ) − = ， f x x f x x ( ) ( ) − − = + 由导数定义 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim x x f x x f x f x x f x f x → → x x + − − − − − = = 0 ( ) ( ) lim ( ) x f x x f x f x → x − − − − = − = − − − ∴ f x'( ) 是奇函数. ② 证明同理. 例 4 给定双曲线 1 y x = ，求过点 ( 3, 1) − 的切线方程. 解: 设切点为（ 0 0 1 x , x ），则切线方程为 0 0 0 2 0 0 1 1 y y x x x x x ( )( ) ( ) x x − = − = − − 又∴切线过点（-3，1），代入上式可得 0 2 2 0 0 0 0 1 1 3 1 ( 3 ) x x x x x + − = − − − = 2 0 0 x x − − = 2 3 0 0 x = 3 或 0 x = −1 ∴所求切线为 1 1 ( 3) 3 9 y x − = − − ，即 9 6 0 y x + − =
或y+1=-(x+1),即y+x+2=0. 【课后训练与提高】 (A) 1、设①f(x)=x2②f(x)=x③f(x)=sin(x,利用定义分别求fx): 2、f'(x)存在，则 (1) f+h)-f,-月= (2)mf+2h)-fx,-5h0 h30 h (3)lmf+2A)-f) △x 3、求y=x2在(1,1)点处的切线方程和法线方程 4、设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-1000),利用定义求f'(0). (B) 1、如果f(x)为偶函数，且f'(0)存在，证明f'(O)=0. 1 x2sin-,x≠0 2、讨论函数f(x)= 在x=0处的连续性与可导性. 0 x=0 sinx,x<0 3、己知函数f(x)= ,求f'(x) x,x≥0 4、求过点(2,0)与曲线y=二相切的直线方程 1° 5、设函数x)在x=1处连续，且mf)=2,求∫0. x1x-1 (C) 1、设函数f(x)在（一0，+0）上有定义，且满足： (1)f(x+y)=f(x)f(y),x,y∈(-0，+o), (2)f(0)=1
或 y x + = − + 1 ( 1) ，即 y x + + = 2 0 . 【课后训练与提高】 （A） 1、设① 2 f x x ( ) = ② f x x ( ) = ③ f x( ) = sin( x )，利用定义分别求 f x'( ) . 2、 0 f x ( ) 存在，则 （1） 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h → h + − − = . （2） h f x h f x h h ( 2 ) ( 5 ) lim 0 0 0 + − − → = . （3） x f x x f x x + − → ( 2 ) ( ) lim 0 0 0 = . 3、求 2 y x = 在（1，1）点处的切线方程和法线方程. 4、设 f (x) = x(x −1)(x − 2)(x −1000) ，利用定义求 f (0) . （B） 1、如果 f x( ) 为偶函数，且 f (0) 存在，证明 f (0) 0 = . 2、讨论函数 2 1 sin , 0 ( ) 0, 0 x x f x x x = = 在 x = 0 处的连续性与可导性. 3、已知函数 sin , 0 ( ) , 0 x x f x x x = ，求 f x ( ) . 4、求过点 (2, 0) 与曲线 x y 1 = 相切的直线方程. 5、设函数 f x( ) 在 x =1 处连续，且 2 1 ( ) lim 1 = → x − f x x ，求 f (1) . （C） 1、设函数 f x( ) 在（－ ，+ ）上有定义，且满足: （1） f x y f x f y ( ) ( ) ( ) + = ， x y, （－ ，+ ）， （2） f (0) 1 =
(3)f'(0)存在， 证明：对x∈(-0，+o),有f(x)=f'(0)f(x). x2-1,x>2 2、设f(x)= ,其中a,b为常数，f'(2)存在，求a,b及f'(2) 0x≤2
（3） f (0) 存在， 证明:对 x （－ ，+ ），有 f x f f x '( ) '(0) ( ) = . 2、设 2 1, 2 ( ) 0, 2 x x f x x − = ，其中 a,b 为常数， f (2) 存在，求 a,b 及 f (2)