第四讲反常积分 【目的与要求】 理解反常积分的概念，判别反常积分的敛散性并进行相应计算. 【知识要点】 1、无穷限的反常积分： 设f)是[a,+0)上的连续函数，若极限im心fx)杰存在， 则fx=m心fxh. 2、无界函数的反常积分： 设f(x)是(a,b]上的连续函数，且在a的右领域内无界，若极限1im[f(x)dk存在， H0+ 则 ds-imds. 5 【重点与难点】 重点：1、判别反常积分的敛散性： 2、反常积分的计算. 难点：无界函数的反常积分中瑕点在积分限中间。 【典型例题】 例1计算广义积分 解m=sn4得 -m)-m 例2计广义制分小血 lim [2 dx lim 2 d(Inx) 0+J1+5xInx 0+J1+Inx lim [In(nx)] =lim [In(In2)-n(n1+s月=o
第四讲 反常积分 【目的与要求】 理解反常积分的概念，判别反常积分的敛散性并进行相应计算. 【知识要点】 1、无穷限的反常积分 : 设 f (x) 是 [a, + ) 上的连续函数，若极限 lim ( ) b b a f x dx →+ 存在， 则 ( ) lim ( ) b a a b f x dx f x dx + →+ = . 2、无界函数的反常积分: 设 f (x) 是 (a, b] 上的连续函数，且在 a 的右领域内无界，若极限 0 lim ( ) b a f x dx →+ + 存在， 则 0 ( ) lim ( ) b b a a f x dx f x dx →+ + = . 【重点与难点】 重点:1、判别反常积分的敛散性; 2、反常积分的计算. 难点: 无界函数的反常积分中瑕点在积分限中间. 【典型例题】 例 1 计算广义积分 2 2 1 1 sin dx x x + . 解: 2 2 1 1 sin dx x x + 2 1 1 sin d x x + = − 2 1 1 lim sin b b d x x →+ = − 2 1 lim cos b b x →+ = = − →+ 2 cos 1 lim cos b b =1. 例 2 计算广义积分 2 1 ln dx x x . 解: 2 1 ln dx x x 2 0 1 lim ln dx x x → + + = 2 0 1 (ln ) lim ln d x x → + + = 2 1 0 lim ln(ln ) x → + + = lim ln(ln 2) ln(ln( 1 )) 0 = − + → + =
故原广义积分发散， 例3计算广义积分 dx (x-1)3 解：x=1是瑕点. (x-1)3 (x-1)3(x-1) =m6 2 =3 (x-1)3 (x-1)3 2 limf3、 =3.2, 0+J145 (x-1)3 (x-1)3 =31+2) (x-1)3 【课后训练与提高】 (A) 一、选择题 1、下列广义积分发散的是(). a B、 +c、 2、若∫fx)d本收敛，∫fx)发散，则fx)=（). A、收敛 B、发散 C、敛散性不确定 广义积分东2 A、ln4 B、0 cn4 D、发散 4、广义积分64x+3 d =() 2 A、1-ln3 C、ln3 23 D、发散 二、判断题 0
故原广义积分发散. 例 3 计算广义积分 3 2 0 3 ( 1) dx x − . 解: x =1 是瑕点. 3 2 0 3 ( 1) dx x − 1 3 2 2 0 1 3 3 ( 1) ( 1) dx dx x x = + − − 1 2 0 3 ( 1) dx x − 1 2 0 0 3 lim ( 1) dx x − → + = − = 3 3 2 1 3 ( 1) dx x − 3 2 0 1 3 lim ( 1) dx x → + + = − 3 = 3 2 ， 3 2 0 3 ( 1) dx x − 3(1 2) 3 = + 【课后训练与提高】 （A） 一、选择题 1、下列广义积分发散的是（ ）. A、 1 0 1 dx x B、 dx x + − + 2 1 1 C、 1 0 1 dx x D、 2 1 1 dx x + 2、若 ( ) a f x dx − 收敛， ( ) a f x dx + 发散，则 f x dx ( ) + − = （ ）. A、收敛 B、 发散 C、敛散性不确定 3、广义积分 2 2 2 dx x x + + − =（ ）. A、 ln 4 B、 0 C、 1 ln 4 3 D、发散 4、广义积分 2 2 0 4 3 dx x x = − + ( ). A、1 ln3 − B、 1 2 ln 2 3 C、 ln3 D、发散 二、判断题 1、 1 1 3 2 1 1 1 1 0 2 dx x x − − − = = （ ）
2i=a-0 () 3广=0 三、判别下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值. [2 dx 10-对 dx 2、 dx Jo (1+x 42h d 5、J0+2x+2 (B) 、积分 d的瑕点是哪几点？ 2、计算下列积分∫。sin血d的值. (C) 、当为何位时，广义积分； 1一k收敛？当k为何值时，广义积分 发数
2、 2 0 0 1 0 cos x dx tgx x = = （ ） 3、 2 0 1 x dx x + − = − （ ） 三、判别下列广义积分的敛散性，如果收敛，则计算广义积分的值. 1、 ( ) 2 2 0 1 dx − x 2、 0 1 (1 ) dx x x + + 3、 1 2 1 (ln ) e dx x x − 4、 2 2 1 x dx x + − + 5、 2 0 2 2 dx x x + + + （B） 1、积分 1 0 ln 1 x dx x − 的瑕点是哪几点？ 2、计算下列积分 1 0 sin(ln ) x dx 的值. （C） 1、当 k 为何值时，广义积分 2 1 (ln )k dx x x + 收敛？当 k 为何值时，广义积分 2 1 (ln )k dx x x + 发散？