第三讲不定积分法Ⅱ（分部积分、有理积分与简单无理积分） 【目的与要求】 1、熟练地掌握分部积分法： 2、掌握有理函数积分法： 3、掌握简单无理函数的积分， 【知识要点】 1、分部积分公式：设函数(x)与v(x)在区间I上具有连续的导函数，则 Ju(x)dv(x)=u(x)v(x)-[v(x)du(x) 2、用待定系数法或拼凑法将有理函数化为若干部分分式之和. 【重点与难点】 重点：分部积分法中恰当地选取u(x)和v(x)· 难点：分清积分类型. 【典型例题】 运用分部积分法的几种常见类型有：（其中P(x)是多项式） 1、∫P(x)e'd、∫P(x))sin xdx、∫P(x)cosxd形式的积分，选取u(ax)=P(x): 2、∫P(x)nxdk、P(x)arctanxdx、∫P(x)arcsin xdx形式的积分，分别选取 u(x)=nx、u(x)=arctanx、u(x)=arcsin x; 3、∫e“sin Bxdx、∫e“cos Bx形式的积分，一般要运用两次分部积分法，每次的 选取可任意，但两次所选u的函数类型应一致. 例1利用分部积分公式计算下列积分 (1)∫(x2+1)e*d (2)「x2 cosxdx (3)arcsin xdx (4)∫e2 cosxdx 解：(1)∫(ax2+l)e'dk=∫(x2+1)dei =(x2+1)e-2[exd
第三讲 不定积分法Ⅱ（分部积分、有理积分与简单无理积分） 【目的与要求】 1、熟练地掌握分部积分法; 2、掌握有理函数积分法; 3、掌握简单无理函数的积分. 【知识要点】 1、 分部积分公式:设函数 u(x) 与 v(x) 在区间 I 上具有连续的导函数,则 u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x) 2、 用待定系数法或拼凑法将有理函数化为若干部分分式之和. 【重点与难点】 重点: 分部积分法中恰当地选取 u(x) 和 v(x) . 难点: 分清积分类型. 【典型例题】 运用分部积分法的几种常见类型有:（其中 P(x) 是多项式） 1、 P x e dx x ( ) 、 P(x)sin xdx、 P(x) cos xdx 形式的积分,选取 u(x) = P(x) ; 2、 P(x)ln xdx、 P(x) arctan xdx、 P(x) arcsin xdx 形式的积分,分别选取 u(x) = ln x 、u(x) = arctan x、u(x) = arcsin x ; 3、 e xdx x sin 、 e xdx x cos 形式的积分,一般要运用两次分部积分法,每次 u 的 选取可任意,但两次所选 u 的函数类型应一致. 例 1 利用分部积分公式计算下列积分 （1） x + e dx x ( 1) 2 （2） x cos xdx 2 （3） arcsin xdx （4） e xdx x cos 2 解:（1） + = + x x (x 1)e dx (x 1)de 2 2 x e e xdx x x = ( +1) − 2 2
=(x2+10e*-2xde =(x2+1)e*-2xe+2edk =(x2+1)e-2xe+2e+c (2)x2 cosxdx=∫x2 dsinx =x2sin x-2xsin xdx =x2 sin x+2[xdcosx =x2sin x+2xcosx-2[cosxdx =x2 sin x+2xcosx-2sin x+c (3)[arcsin xdx=xarcsin x-xdarcsin x 1 =xarcsinx+ 1rd(1-x2) 2J1-x2 =xarcsin x+1+x2+c (4)∫e2 cosxdx-∫e2 dsinx =e*sin x-[2e2s sin xdx =e2 sin x+2[e2dcosx =e2*sin x+2e2 cosx-4fe2 cos xdx 所以e2 cosxds=smx+2cosx)e2+G 例2计算下列有理积分 (1) J-2驴4 4x+3 1 (2)∫x+1Wx2+x+D dx
x x x e xde = ( +1) − 2 2 x e xe e dx x x x = ( +1) − 2 + 2 2 x e xe e c x x x = ( +1) − 2 + 2 + 2 （2） x cos xdx = x d sin x 2 2 = x sin x − 2 x sin xdx 2 = x sin x + 2 xd cos x 2 = x sin x + 2x cos x − 2 cos xdx 2 = x sin x + 2x cos x − 2sin x + c 2 （3） arcsin xdx = x arcsin x − x d arcsin x − = − dx x x x x 2 1 1 arcsin − − = + 2 2 1 (1 ) 2 1 arcsin x d x x x = x x + + x + c 2 arcsin 1 （4） e xdx x cos 2 = e d x x sin 2 = e x − e xdx x x sin 2 sin 2 2 = e x + e d x x x sin 2 cos 2 2 = e x + e x − e xdx x x x sin 2 cos 4 cos 2 2 2 所以 e xdx x cos 2 x x e c x = + + 2 (sin 2cos ) 5 1 例 2 计算下列有理积分 （1） − + dx x x 3 ( 2) 4 3 （2） + + + dx x(x 1)(x x 1) 1 2 解: （1） − + dx x x 3 ( 2) 4 3 dx x dx x − + − = 2 3 ( 2) 11 ( 2) 4
=-4-11 x-22-2+c ew--2 2 =hl-nk+l-方arctan 2x+1 -+c 例3求下列不定积分 x+sin xdx 派 (1) (2) dx J1+cosx x(F+) (3) ∫hx (4) dx dx (1+x2)2 J(2+cosx)sin x rx+sindx= x+2sin二cos 解：(1)+cosx1 2 2 dx 2cos2x 2 -xdtan 2 =xm子小m+∫mk 2 =xtan2+c e*ug - =6h+c t+1 In- +C “(Vx+1)6 (3)x= In tant sec2 tdt sec3t (1+x2)2
c x x + − − − = − 2 ( 2) 1 2 11 2 4 （2） + + + dx x(x 1)(x x 1) 1 2 + + − + = − dx x x dx x dx x 1 1 1 1 1 2 c x x x + + = − + − 3 2 1 arctan 3 2 ln ln 1 例 3 求下列不定积分 （1） + + dx x x x 1 cos sin （2） dx x x x x ( + ) 3 3 （3） + dx x x 2 3 2 (1 ) ln （4） + x x dx (2 cos )sin 解:（1） + + dx x x x 1 cos sin + = dx x x x x 2 2cos 2 cos 2 2sin 2 = + dx x dx x x 2 tan 2 sec 2 1 2 = + dx x x xd 2 tan 2 tan = − + dx x dx x x x 2 tan 2 tan 2 tan c x = x + 2 tan （2） dx x x x x ( + ) 3 3 + = dt t t t t t x t ( ) 6 6 3 2 2 5 6 + = ( 1) 6 t t dt + = − dt t t ) 1 1 1 6 ( c t t + + = 1 6ln c x x + + = 6 6 ( 1) ln （3） + dx x x 2 3 2 (1 ) ln = tdt t t x t 2 3 sec sec ln tan tan
-∫n tan idsin -sin ('In tant-[sinI secrd =sin (In tan--∫sectdt sin tIn tant-Insect+tan+c xhx-hx+vI+x+o 2 、an (④J2+cosx)simx5、 -dt —(2+ 1-22 1+21+2 - +h =写r+3)+写+c 【课后训练与提高】 (A) 一、填空 l、∫hxk= 2、∫xed= 3、∫xsin xdx= 4、[arctan xdx=】 -dx
= ln tan td sin t = − tdt t t t t 2 sec tan 1 sin ln tan sin = sin t ln tan t − sec tdt = sin t ln tan t − ln sect + tan t + c x x x c x x − + + + + = 2 2 ln ln 1 1 （4） + x x dx (2 cos )sin + + − + + = dt t t t t t t x 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 (2 1 2 2 tan + + = dt t t t ( 3) 1 2 2 + + = dt t t t ) 1 3 2 ( 3 1 2 + + + = t dt t d t 3 1 3 ( 3) 3 1 2 2 = t + + ln t + c 3 1 ln( 3) 3 1 2 c x x = + + 2 3tan 2 ln tan 3 1 3 【课后训练与提高】 （A） 一、填空 1、 ln xdx = . 2、 = − xe dx x . 3、 x sin xdx = . 4、 arctan xdx = . 5、 = − dx x x 2 8 3
二、计算下列不定积分 1、∫xcsc2xd 2、∫x2hxdk 3、∫xsin xcosxd 4停 6 2x+3dx 8、∫x+3x-0 2x 10、∫x+2x+5 1 一d -2x- dx 13、 J1+cos2x 4.rco 16、 Jx(1-x) 17、∫x2edk 1∫ (B) 一、选择题 1、设I=[arcsin xd,则I的值为（) 1 V1-x2 (A) +c (B)xarcsinx+ +C 2 (C)xarcsin x+1-x2+c (D)xarcsinx+- :+c 1-x2 2、设fx)=(>0),则fx)等于() 1 (A)2x+c B)nx+e(c)2+eD)左+e 二、计算下列不定积分 1、∫xn(x-l)dk 2、∫x2-0edk
二、计算下列不定积分 1、 x xdx 2 csc 2、 x ln xdx 2 3、 x sin x cos xdx 4、 dx x x 2 ln 5、 dx x x 2 sin 6、 dx x x x 2 sin cos 7、 + dx x x 3 3 8、 + − + dx x x x 3 10 2 3 2 9、 + + dx x x x ( 1)( 3) 2 2 2 10、 + + dx x 2x 5 1 2 11、 − − dx x 2x 3 1 2 12、 − − + dx x x x 3 2 ( 2) 4 8 13、 + + dx x x 1 cos 2 1 cos 2 14、 dx sin x cos x 1 15、 + dx x x 2 4 1 16、 − dx x x x (1 ) arcsin 17、 x e dx x 2 2 18、 − dx x x 1 4 4 （B） 一、选择题 1、设 I = arcsin xdx,则 I 的值为 （ ） （A） c x + − 2 1 1 （B） c x x x + − + 2 1 arcsin 2 （C） x x + − x + c 2 arcsin 1 （D） c x x x + − + 2 1 1 arcsin 2、设 ( 0) 1 ( ) 2 = x x f x ,则 f (x)dx 等于 （ ） （A） 2x + c （B） ln x + c （C） 2 x + c （D） c x + 1 二、计算下列不定积分 1、 x ln( x −1)dx 2、 x e dx x − ( −1) 2
3、[(x+V1+x2)dk 4、∫snnx)dc 经 6、「cos(In x)dx j5 &∫wn ∫ 0安+数-0 2x+3 dx 12、 r1+x) x3 0 三、已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)nx,求「f"(x)dk. 四、求积分「x In xdx,a为常数
3、 ln( x + 1+ x )dx 2 4、 sin(ln x)dx 5、 dx x ln x 6、 x dx cos(ln ) 7、 − + − dx x x x 4 5 3 2 2 8、 + dx x x dx 2 ( 1) 9、 −1 4 x dx 10、 dx x x x + − + 3 10 2 3 2 11、 − dx e xe x x 2 12、 + dx x x 3 2 ln(1 ) 13、 − + − dx x x x x 4 8 3 5 4 14、 + dx x x 1 sin sin 三、已知 f (x) 的一个原函数为 (1+ sin x)ln x ,求 xf (x)dx . 四、求积分 x ln xdx , 为常数