第一讲定积分的概念与性质、微积分基本公式 【目的与要求】 1、正确理解定积分的概念，了解定积分的几何意义： 2、掌握定积分的性质： 3、掌握积分上限函数的概念、性质及其求导方法： 4、熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式. 【知识要点】 1、定积分的概念、性质及公式： 2、积分上限函数的概念、性质及变上限函数求导公式： 设u(x)和v(x)是[a,b]上的可微函数，f(x)是[a,b]上的连续函数， 则 [foad]=faura)-foere 3、牛顿-莱布尼茨公式： 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)为f(x)的一个原函数， 即F'(x)=f(x),则 fx)d=F北=Fb)-F(a) 【重点与难点】 重点：1、定积分的概念： 2、牛顿-莱布尼茨公式 难点：1、变上限函数求导： 2、用定积分求极限. 【典型例题】 例1用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分 w x√i+lnx 1 (4)
第一讲 定积分的概念与性质、微积分基本公式 【目的与要求】 1、正确理解定积分的概念，了解定积分的几何意义; 2、掌握定积分的性质; 3、掌握积分上限函数的概念、性质及其求导方法; 4、熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式. 【知识要点】 1、定积分的概念、性质及公式; 2、积分上限函数的概念、性质及变上限函数求导公式: 设 u(x) 和 v(x) 是 [a, b] 上的可微函数， f x( ) 是 [ , ] a b 上的连续函数， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x f t dt f u x u x f v x v x = − 3、牛顿-莱布尼茨公式: 若函数 f x( ) 在区间 [ , ] a b 上连续， F x( ) 为 f x( ) 的一个原函数， 即 F x f x ( ) ( ) = ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − . 【重点与难点】 重点: 1、定积分的概念; 2、牛顿-莱布尼茨公式. 难点: 1、变上限函数求导; 2、用定积分求极限. 【典型例题】 例 1 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分. （1） 1 2 0 1 dx + x （2） 3 1 1 1 ln e dx x x + （3） 3 2 2 1 1 (1 ) dx x x + （4） 2 2 1 1 cos dx x − + 解:（1） 1 1 2 0 0 1 4 dx arctgx x = = +
e广-广ml+h=2pn-22-=2 心小-*小-小岛 312 例2用定积分求极限：lim 1 √n2+1√m2+2 解：m =lim +…+ lim了 1 W+ =nr+i+可=lnl+2) 例3求极限lim 解：由洛比达法则得 sin limo esinx2·2x=lim -=lim 2xer x-0 x0 4xe*+x'e*xox3(4e*+xe*) 1 =lim- x→04e+xe4
（2） 3 3 1 1 1 1 (1 ln ) 1 ln 1 ln e e dx d x x x x = + + + 3 1 2 1 ln 2(2 1) 2 e = + = − = x （3） 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 x x dx dx dx dx x x x x x x + − = = − + + + 3 3 1 1 1 3 1 3 12 arctgx x = − − = − − （4） 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 cos 2 cos 2 x dx d x x − − = + 2 2 2 2 x tg − = = 例 2 用定积分求极限: 2 2 2 1 1 1 lim 1 2 n n n n n → + + + + + + . 解: 2 2 2 1 1 1 lim 1 2 n n n n n → + + + + + + = 2 2 2 2 2 1 1 1 1 lim 1 2 1 1 1 n n n n n n → + + + + + + = 2 1 2 1 1 lim . 1 n n i i n n → = + = 1 0 2 1 1 dx + x = 1 2 0 ln 1 x x + + = ln(1 2) + 例 3 求极限 2 0 4 0 sin lim x t x x e tdt → x e . 解: 由洛比达法则得 2 0 4 0 sin lim x t x x e tdt → x e = 2 2 3 4 0 sin 2 lim 4 x x x x e x x → x e x e + = 2 3 3 0 2 lim (4 ) x x x x x e → x e xe + = 2 0 1 lim 4 4 x x x x e → e xe = +
0≤x≤1 例4设f(x)={2-x, 12 求x)=f0)dh在（←∞，+o)内的表达式 解：当x2时， px)=jif0)dt=∫。td+∫2-t0dt+∫iodt=1. 0, x2 【课后训练与提高】 (A) 一、选择题 1、f)在[a,b]上连续是∫fx)d达存在的 (). A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 2、曲线y=e与该曲线过原点的切线及y轴所围成图形的面积值为()， A、j(e-ex)dk B、∫ny-ynyd C.J'(e"-ex)dy D、∫。my-yny. Fh等于（) 3 A、COSx B、cosxcosx C、-cos2x D、cosx 4、设函数y=∫V2+,则f'四=(). A、-√5 B、√6-√5 D、√5-√6
例 4 设 , 0 1 ( ) 2 , 1 2 0, 0 2 x x f x x x x x = − 或 求 0 ( ) ( ) x x f t dt = 在 ( , ) − + 内的表达式. 解: 当 x 0 时， 0 0 ( ) ( ) 0 0 x x x f t dt dt = = = 当 0 1 x 时， 2 0 ( ) 2 x x x tdt = = 当 1 2 x 时， 2 1 0 0 1 ( 2) ( ) ( ) (2 ) 1 2 x x x x f t dt tdt t dt − = = + − = − 当 x 2 时， 0 ( ) ( ) x x f t dt = = 1 0 tdt + 2 1 2 (2 ) 0 1 x − + = t dt dt . 综上， 2 2 0, 0 , 0 1 2 ( ) ( 2) 1 , 1 2 2 1, 2 x x x x x x x = − − 【课后训练与提高】 （A） 一、选择题 1、 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续是 ( ) b a f x dx 存在的 （ ）. A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 2、曲线 x y e = 与该曲线过原点的切线及 y 轴所围成图形的面积值为（ ）. A、 1 0 ( ) x e ex dx − B、 0 (ln ln ) e y y y dy − C、 0 ( ) e x e ex dy − D、 1 0 (ln ln ) y y y dy − . 3、 sin 2 0 1 d x t dt dx − 等于 （ ）. A、 cos x B、 cos cos x x C、 2 −cos x D、 cos x 4、设函数 2 2 2 x y t dt = + ，则 f (1) = （ ）. A、 − 3 B、 6 3 − C、 3 D、 3 6 −
if 5、若f(x)为可导函数，且已知f(0)=0,f'(0)=2,则1im 一之值为(). 程+ x2 A、0 B、1 C、2 D、不存在 二、试解下列各题 1、计算下列定积分 (1sin (2) [x+1, x≤1 ④)∫fxk, 其中f(x)= x>1 2、求下列极限 (arctg)'d (2)lim- x->0 1+x2 a) (3)lim 3、求函数y=∫。Vu-I的定义域、单调区间和极值， 4、用定积分求极限：lim 月0 n+1n+2 (B) 一、计算题 1、已1=子求1=+2++ n n 2、求极限lim-) [x 12 3、设a,b为常数，若lim -bx-sinx0√a2+2 dh=1,求a,b. 4、设f(x)= sinx,0≤x≤π ,求()=jf0h在(-0+o)上的表达式 0 xπ
5、若 f x( ) 为可导函数，且已知 f (0) 0 = ， f (0) 2 = ，则 0 2 ( ) lim x n f t dt → x 之值为（ ）. A、0 B、1 C、2 D、不存在 二、试解下列各题 1、计算下列定积分 （1） 2 0 sin x dx （2） 2 1 1 e1 dx x − − − + （3） 3 1 2 3 1 1 dx + x （4） 2 0 f x dx ( ) ，其中 2 1, 1 ( ) 1 , 1 2 x x f x x x + = 2、求下列极限 （1） 0 0 1 sin lim x x t dt → x t （2） ( ) 2 0 0 2 lim 1 x x arctgt dt x → + （3） ( ) 2 2 2 0 2 0 lim x t x n t e dt e dt → 3、求函数 0 ( 1) x y t t dt = − 的定义域、单调区间和极值. 4、用定积分求极限: 1 1 1 lim n→ n n n n 1 2 + + + + + + . （B） 一、计算题 1、已知 1 2 0 1 1 4 dx x = + ，求 2 2 2 2 2 2 lim n 1 2 n n n I → n n n n = + + + + + + . 2、求极限 1 1 lim 1 n n i i → n n = + . 3、设 a b, 为常数，若 2 0 2 2 1 lim 1 sin x n t dt bx x a t → = − + ，求 a b, . 4、设 1 sin , 0 ( ) 2 0, 0, x x f x x x = ，求 0 ( ) ( ) x = x f t dt 在 ( , ) − + 上的表达式
cOSx, 5、设f(x)= 2,求F()=∫f0h在[-元，+]上的表达式 ≤x≤π 2 6、证明：limf0m=lim”在=0. 月00 m→J01+x (C) Srox 1、设F(x)= x≠0 0, x=0 其中f(x)有连续的导数，且f(0)=0 (1)讨论F(x)的连续性； (2)求F'(x),并研究F'(x)在x=0处的连续性
5、设 cos , 2 ( ) 0, 2 x x f x x = ，求 ( ) ( ) x F x f t dt − = 在 [ , ] − + 上的表达式. 6、证明: 1 2 0 lim ( ) lim 0 1 n n n x f n dx → → x = = + . （C） 1、设 0 2 ( ) , 0 ( ) 0, 0 x tf t dt F x x x x = = 其中 f x( ) 有连续的导数，且 f (0) 0 = (1) 讨论 F x( ) 的连续性; (2) 求 F x ( ) ，并研究 F x ( ) 在 x = 0 处的连续性