第三讲函数的极限 【目的与要求】 1、正确理解函数极限的概念，理解变量极限是描述变量的变变化趋势的： 2、理解“￡-6”的极限定义，会用极限定义验证简单函数极限存在问题： 3、掌握无穷大量与无穷小量的概念及它们之间的关系，熟悉极限与无穷小量之间的 关系及无穷小阶的比较： 4、熟练运用极限的运算法则求函数的极限： 5、熟练运用两个重要极限求函数的极限： 6、能够熟练运用无穷小的性质和等价无穷小求极限. 【知识要点】 1、函数极限的形式及关系 (1)lim f(x)=A lim f(x)=4=lim f(x) (2)lim f(x)=A lim f(x)=4=lim f(x) 2、函数极限的若干性质 (1)唯一性；局部保号性：局部有界性。 (2)imf（x)=A台fx)=A+a(其中lma=0). 3、函数极限计算的常用方法 (1)四则运算：同除最高次项：有理化：去零因子 (2)无穷小与有界函数的乘积极限为零. (3)两个重要极限 lim sn△-1： A0△ I+A =e=m+△) (4)等价无穷小代换 常见的等价无穷小代换为：当△→0时，sin△~△：arcsin△~△：arctan△~△： 1-cosA~」 :e-1-A:i(+)-A. (⑤)洛必达法则 适合类型为： 00 ,0-0,00,1”，00 0’0 (6)泰勒展开
第三讲 函数的极限 【目的与要求】 1、 正确理解函数极限的概念，理解变量极限是描述变量的变变化趋势的； 2、 理解“ − ”的极限定义，会用极限定义验证简单函数极限存在问题； 3、 掌握无穷大量与无穷小量的概念及它们之间的关系，熟悉极限与无穷小量之间的 关系及无穷小阶的比较； 4、 熟练运用极限的运算法则求函数的极限； 5、 熟练运用两个重要极限求函数的极限； 6、 能够熟练运用无穷小的性质和等价无穷小求极限. 【知识要点】 1、函数极限的形式及关系 (1) f (x) A f (x) A f (x) x x x x x x → → + → − = = = 0 0 0 lim lim lim (2) f (x) A f (x) A f (x) x→ x→− x→+ lim = lim = = lim 2、函数极限的若干性质 (1)唯一性；局部保号性；局部有界性. (2) lim f (x) = A f (x) = A+ （其中 lim = 0 ）. 3、函数极限计算的常用方法 (1)四则运算；同除最高次项；有理化；去零因子. (2)无穷小与有界函数的乘积极限为零. (3)两个重要极限 1 sin lim 0 = → ; ( ) → → = = + + 1 0 lim 1 1 lim 1 e . (4)等价无穷小代换 常见的等价无穷小代换为: 当 →0 时， sin ~ ； arcsin ~ ； arctan ~ ； 2 2 1 1− cos ~ ； − e 1 ~ ； ln(1+) ~ . (5)洛必达法则 适合类型为： 0 0 ， ， − ，0， 1 ， 0 0 (6)泰勒展开
注：（⑤）、(6)可在讲完导数的应用时考虑. 4、无穷大与无穷小 若mfx)=0时，则称fx)为x→x时的无穷小： T无 若imfx)=oo时，则称fx)为x→x时的无穷大. 注：对x→o时情形可类似定义， (1)无穷小分类：等价无穷小：低阶无穷小：同阶无穷小：k阶无穷小 (2)无穷小和无穷大的关系：无穷小的倒数是无穷大（数零除外），无穷大的倒数是无 穷小 【重点与难点】 重点：(1)对“￡-6”语言极限定义的涵义的理解： (2)无穷小量的概念： (3)极限运算法则，两个重要极限和无穷小性质. 难点：(1)利用极限定义验证简单函数极限的存在： (2)利用两个重要极限求极限. 【典型例题】 x2-1 例13-x-1+x (62-3-x+1+x 解：原式=m =m-l+3-x++x) 3-x-1+x3-x+1+ 21-x) =-lim (k+13-x+1+因_-2N5 2 例2lim V4x2+x-1+x+1 T-0 x2+sin x 11 -x4+- +x+1 ,11 4+- -1 解：原式=lim x x2 =lim =1 -x1+ sin x x-- sin x 1+ 1-x+2 例3x-1x-
注：(5)、（6）可在讲完导数的应用时考虑. 4、无穷大与无穷小 若 lim ( ) 0 0 = → f x x x 时，则称 f (x) 为 0 x → x 时的无穷小； 若 ( ) = → f x x x0 lim 时，则称 f (x) 为 0 x → x 时的无穷大. 注：对 x → 时情形可类似定义. （1）无穷小分类：等价无穷小；低阶无穷小；同阶无穷小； k 阶无穷小. （2）无穷小和无穷大的关系：无穷小的倒数是无穷大（数零除外），无穷大的倒数是无 穷小. 【重点与难点】 重点：（1）对“ − ”语言极限定义的涵义的理解； （2）无穷小量的概念； （3）极限运算法则，两个重要极限和无穷小性质. 难点：（1）利用极限定义验证简单函数极限的存在； （2）利用两个重要极限求极限. 【典型例题】 例 1 x x x x − − + − → 3 1 1 lim 2 1 解：原式 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( x) x x x x x x x x x x x x x − − + − + + = − − + − + + − − + + = → → 2 1 1 1 3 1 lim 3 1 3 1 1 3 1 lim 1 2 1 ( )( ) 2 2 2 1 3 1 lim 1 = − + − + + = − → x x x x 例 2 x x x x x x sin 4 1 1 lim 2 2 + + − + + →− 解：原式 1 sin 1 1 1 1 1 4 lim sin 1 1 1 1 4 lim 2 2 2 2 = + + − − − = − + − + − + + = →− →− x x x x x x x x x x x x x x 例 3 − + − → − 1 2 1 1 lim 3 1 x x x x
解：原式=lim 2+x++2-m-m x+1=2 x3-1 1x3-1x2+x+13 例4m2+1-x 解：原式=im =lim Vx+l+x √x2+1+x9 1 2 1+ -+1 解：原式= g问到 例6m+snx2) 解：原式=m+snx2mr-w=e。 se2 1+xsin x-1 例7网 ex-l 1 Ixsin x 1 解：原式=im x-0 x2 1 (当x→0时， +xsin x-1~xsin x,e-1~x2) 例8lim 2+ex sin x 4 1+e* x 2+ex sinx 解：因为im 2+e*sinx lim 4 2+0-1=1 x-→0 1+0 |1+ex 1+ex 2+ex lim sin x x→01 4 l+ex x
解：原式 ( ) ( ) 3 2 1 1 lim 1 1 lim 1 1 2 lim 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + + = − − = − + + − + = → → → x x x x x x x x x x x x 例 4 x( x x) x + − →+ lim 1 2 解：原式 ( ) 2 1 1 1 1 1 lim 1 lim 1 1 lim 2 2 2 2 2 2 = + + = + + = + + + − = →+ →+ →+ x x x x x x x x x x x x 例 5 2 2 2 1 lim cos x x x → 解：原式 2 2 1 1 sin lim 2 1 sin 1 sin 1 2 2 2 2 2 1 2 lim 1 sin − − − − → = = = − → e e x x x x x x x x 例 6 ( ) x x x 1 cos 1 2 0 lim 1 sin − → + 解：原式 ( ) 2 2 1 lim 1 cos sin lim 1 cos sin sin 1 2 0 2 2 0 2 0 2 2 lim 1 sin x e e e x x x x x x x x x x = + = = = → − → − → 例 7 1 1 sin 1 lim 2 0 − + − x→ x e x x 解：原式 2 1 sin 2 1 lim 2 0 = = → x x x x （当 x →0 时，有 1+ x sin x −1～ x sin x 2 1 ， 1 2 − x e ～ 2 x ） 例 8 + + + → x x e e x x x sin 1 2 lim 4 1 0 解：因为 + + + → − x x e e x x x sin 1 2 lim 4 1 0 1 1 1 0 sin 2 0 1 2 lim 4 1 0 − = + + = − + + = → − x x e e x x x + + + → + x x e e x x x sin 1 2 lim 4 1 0
2+ex sn x =lim =lim 一+ =0+1=1 x-→01 4 x→0 4 1+ex ex+1 2+ex sin x 所以im =1 4 1+e* 例9 lim (x+2a =8,求a. x-a 解：网 x+2a x-a3ata x-a 、,.1t3a=im1+3a）3a =ea-8 x-a x-a ∴.a=n2 例10己知lim x3+am2+b=8,求a,b的值。 X+2 x-2 解：lim(x-2)=0 r2 mm(3+a2+b)=0,得b=-4a-8, r→2 (x-2x2+2x+ar+2a+4) 则有：原式=im x+ax2-4a-8=lim x+2 x-2 x+2 x-2 =limk2+2x+ar+2a+4)=12+4a=8 2 ∴.a=-1,b=-4. 例11已知当x→0时，V1+arx2-1与sin2x是等价无穷小，求常数a的值. 解：lim I+ar-1=1, X→0 sin2x 又当x→0时，+m2-1~x,s2xx2, 2 1 V1+m2-1 1 故有m 0 sin2x 0x2=)a=1, -lim 2 2 a=2 【课后训练与提高】 (A)
0 1 1 sin 1 2 lim sin 1 2 lim 4 4 3 0 4 1 0 = + = + + + = + + + = − − − → + → + x x e e e x x e e x x x x x x x 所以 1 sin 1 2 lim 4 1 0 = + + + → x x e e x x x 例 9 8 2 lim = − + → x x x a x a ，求 a . 解： 3 3 2 3 3 3 lim lim 1 lim 1 8 x a x x a a a a x x x x a a a e x a x a x a − + → → → + = + = + = = − − − ∴ a = ln 2 例 10 已知 8 2 lim 3 2 2 = − + + → x x ax b x ，求 a, b 的值. 解： lim ( 2) 0 2 − = → x x ∴ lim ( ) 0 3 2 2 + + = → x ax b x ，得 b = −4a −8， 则有：原式 ( )( ) 2 2 2 2 4 lim 2 4 8 lim 2 2 3 2 2 − − + + + + = − + − − = → → x x x x ax a x x ax a x x lim( 2 2 4) 12 4 8 2 2 = + + + + = + = → x x ax a a x ∴ a =−1，b = −4 . 例 11 已知当 x →0 时， 1 1 2 + ax − 与 x 2 sin 是等价无穷小，求常数 a 的值. 解： 1 sin 1 1 lim 2 2 0 = + − → x ax x ， 又 当 x →0 时， 1 1 2 + ax − ～ 2 2 1 ax ， x 2 sin ~ 2 x ， 故有 1 2 2 1 1 lim sin 1 1 lim 2 2 0 2 2 0 = = = + − → → a x ax x ax x x ， ∴ a = 2 . 【课后训练与提高】 （A）
一、 填空题 x2+4 1、lim →x4-3x2+1 x3+x-2 2、lim x1x2-3x+2 3、如果imf(x)=c（c为常数)，则直线y=c是曲线y=fx)的 渐近线 1r300 x2 cos 4.m。snx x=:lim arctan x= x-→DX 5、1 =e3,则k=一 sink=2,则k= x→02x 6、当x→0时，2x-x2是x2-x3的阶无穷小 7设f)=r-5x+6 x2-4 则当x→时，fx)为无穷大：当x→一时， fx)为无穷小. 1-e x>0 8、设f(x)= 1 x=0在x=0处极限存在，则a= x2 sin-+a,x<0 二、 选择题 1、设f)=压- -1 则limf(x)为( r A、0 B、-1 C、1 D、不存在 2、im,fx)、lim.fx)存在且相等是imf(x)存在的( x+xd r T→T A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件 3、当x→0时，1-cosx)2是sin2x的( ) A、同阶无穷小 B、同阶无穷小，但不是等价无穷小 C、低阶无穷小 D、等价无穷小
一、 填空题 1、 = − + + → 3 1 4 lim 4 2 2 x x x x . 2、 = − + + − → 3 2 2 lim 2 3 1 x x x x x . 3、如果 f (x) c x = → lim （ c 为常数），则直线 y = c 是曲线 y = f (x) 的 渐近线. 4、 = → x x x x sin 1 cos lim 2 0 ； = → x x x arctan 1 lim . 5、 3 lim 1 e x k x x = + → ，则 k = ； 2 2 sin lim 0 = → x kx x ，则 k = . 6、当 x →0 时， 2 2x − x 是 2 3 x − x 的 阶无穷小. 7、设 ( ) 4 5 6 2 2 − − + = x x x f x ，则当 x → 时， f (x) 为无穷大；当 x → 时， f (x) 为无穷小. 8、设 ( ) 2 1 , 0 1, 0 1 sin , 0 x e x x f x x x a x x − = = + 在 x = 0 处极限存在，则 a = . 二、 选择题 1、设 ( ) 1 1 − − = x x f x ，则 f (x) x 1 lim → 为（ ）. A、 0 B、 −1 C、1 D、不存在 2、 f (x) x x → + 0 lim 、 f (x) x x → − 0 lim 存在且相等是 f (x) x x0 lim → 存在的（ ）. A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、无关条件 3、当 x →0 时， ( ) 2 1− cos x 是 x 2 sin 的（ ）. A、同阶无穷小 B、同阶无穷小，但不是等价无穷小 C、低阶无穷小 D、等价无穷小
4、极限m xsin 1-sin x 的计算结果是( ). xx A、-1 B、1 C、0 D、不存在 5、下列等式中( )的极限值等于e· A、m+x片 c=- + ex+1,x0 2、设)--，求m了付及m了).并间▣付是否存在 四、 计算下列函数的极限 l、im_ x2-3 2、lim x2-2x+1 5x2+1 91x2-1 4 5mx-引Br+2 1+x-1 (5x+1)50 6、x 7、m2+x-2-) sin(x-2) 8、x-4 9、0-小am子 10凰2”m是 x2 sin -
4、极限 − → x x x x x sin 1 1 lim sin 0 的计算结果是（ ）. A、 −1 B、1 C、0 D、不存在 5、下列等式中（ ）的极限值等于 e . A、 ( ) x x x 1 lim 1+ → B、 1 1 lim 1 − →− + x x x C、 x x x − →− 1 lim 1 D、 x x x + → 1 lim 1 0 三、 1、设 ( ) 1 2 1, 0 0, 0 1 , 0 x e x f x x x x + = = + ，求 ( ) 0 lim x f x → . 2、设 ( ) x x x f x − = ，求 f (x) x→ + 0 lim 及 f (x) x→ − 0 lim ，并问 f (x) x 0 lim → 是否存在. 四、 计算下列函数的极限 1、 1 3 lim 2 2 3 + − → x x x 2、 1 2 1 lim 2 2 1 − − + → x x x x 3、 − − → − 3 1 1 3 1 1 lim x x x 4、 2 1 1 lim 2 2 − − − → x x x x 5、 ( ) ( ) ( ) 50 20 30 5 1 2 3 3 2 lim + − + → x x x x 6、 x x x 1 1 lim 0 + − → 7、 lim ( 1) 2 2 + − − →+ x x x x 8、 ( ) 4 sin 2 lim 2 2 − − → x x x 9、 ( x) x x 2 lim 1 tan 1 − → 10、 x x x 2 1 lim 2 sin →+ 11、 2 1 1 sin lim 2 2 − →+ x x x x 12、 2 2 lim 1 + → + x x x 13、 x x x − →+ 1 lim 1 14、 x x x x − + → 2 1 2 3 lim
15、lim 1-cos 2x r→0 xsin x 16、lmos2x后 17、m1+3x)品 tan x-sin x 18、 sin3 x 五、 试解下列各题 1、设lim- - -2-x+4具有极限1，试求a和1的值. x+1 2、设lim Wax2+br+1-x=3,求a,b的值. 3、设lim x-→3 x2+ax+b=2,求a,b的值. x-3 4、己知lm =4,求c的值. 5、设1+x-1~ax→0)，求a的值. (B) 一、 填空题 1、mx-1 2、当x→0时，1+ar2）片-1与xsmx是等价无穷小，则a= x+2a3 3、lim =8,求a= r-oo x-a 二 计算下列各题 √3-x-√1+x 1、计算lim x x2-x-2 1 3sin x+x2 cos 2、计算0+cosx刘h0+刘 X 1+xsin x-1 3、计算im 0h1+x2)
15、 x x x x sin 1 cos 2 lim 0 − → 16、 ( ) x x x 2 sin 1 2 0 lim cos → 17、 ( ) x x x sin 2 0 lim 1+ 3 → 18、 x x x x 3 0 sin tan sin lim − → 五、 试解下列各题 1、设 3 2 1 4 lim x 1 x ax x →− x − − + + 具有极限 l ，试求 a 和 l 的值. 2、设 lim ( 1 ) 3 2 + + − = →+ ax bx x x ，求 a, b 的值. 3、设 2 3 lim 2 3 = − + + → x x ax b x ，求 a, b 的值. 4、已知 lim = 4 − + → x x x c x c ，求 c 的值. 5、设 1 1 3 + x − ～ ax(x →0) ，求 a 的值. （B） 一、 填空题 1、 = − − − → 1 2 1 1 1 1 lim x x e x x . 2、当 x →0 时， (1 )4 1 1 2 + ax − 与 x sin x 是等价无穷小，则 a = . 3、 8 2 lim 3 = − + → x x x a x a ，求 a = . 二、 计算下列各题 1、计算 2 3 1 lim 2 1 − − − − + → x x x x x . 2、计算 ( x) ( x) x x x x + + + → 1 cos ln 1 1 3sin cos lim 2 0 . 3、计算 ( ) 2 3 0 ln 1 1 sin 1 lim x x x x + + − →
4、己知lim =1,求im f(2x) 0f(4x) r->O 1 1 2x+1 5、计算lim x→0 2x-1 三、设当xx时，ax)Bx)是无穷小，且a(x)-Bx)≠0.证明：当x→x时， e-e)与a(x)-Bx)是等价无穷小. 四、利用“&-6”语言证明lim x2-4 =4 2X-2 (C) 1、己知limn f(w) =5,求lm f(x) 1+ 0 sin 2x 0x2 2、计算lm a*+b*+c* a,b,c>0) 3 3、当x→0时，若1-cose-1)与2mx"等价，求m,n的值， 4、设f(x)是三次多项式，且有lim f☒=m于 f过=1a≠0，求。 f() x2a x-2a 4a x-4a x3a x-3a 第四讲函数的连续性 【目的要求】 1、掌握函数在一点连续及间断的定义，对于具体函数能找到它的连续区间及间断点， 并对间断点进行分类： 2、能熟练地利用函数的连续性和连续的运算法则求函数的极限： 3、掌握一切初等函数在其定义区间内是连续的这一初等函数的性质： 4、能利用在闭区间上连续函数的基本性质分析一般函数的性质. 【知识要点】 1、连续的定义：imfx)=fxo),等价定义：im。△y=0:其中，函数有定义， x→xa 有极限、极限值等于函数值三者缺一不可，否则称为间断点：连续点的全体称为连续区 间. 2、使函数间断的点：(1)初等函数无意义的点（孤立点）：(2)分段函数的分断点（需
4、已知 ( ) 1 4 lim 0 = → f x x x ，求 ( ) x f x x 2 lim →0 . 5、计算 − − + → x x x x x sin 2 1 2 1 lim 1 1 0 . 三、设当 0 x → x 时， (x), (x) 是无穷小，且 (x)−(x) 0 .证明：当 0 x → x 时， (x) (x) e e − 与 (x)− (x) 是等价无穷小. 四、利用“ − ”语言证明 4 2 4 lim 2 2 = − − → x x x . （C） 1、已知 ( ) 5 sin 2 lim ln 1 0 = + → x f x x ，求 ( ) 2 0 lim x f x x→ . 2、计算 ( , , 0) 3 lim 1 0 + + → a b c a b c x x x x x . 3、当 x →0 时，若 1−cos( −1) x e 与 m n 2 x 等价，求 m, n 的值. 4、设 f (x) 是三次多项式，且有 ( ) ( ) 1( 0) 4 lim 2 lim 2 4 = − = → − → a x a f x x a f x x a x a ，求 ( ) x a f x x a 3 lim →3 − . 第四讲 函数的连续性 【目的要求】 1、掌握函数在一点连续及间断的定义，对于具体函数能找到它的连续区间及间断点， 并对间断点进行分类； 2、能熟练地利用函数的连续性和连续的运算法则求函数的极限； 3、掌握一切初等函数在其定义区间内是连续的这一初等函数的性质； 4、能利用在闭区间上连续函数的基本性质分析一般函数的性质. 【知识要点】 1、 连续的定义： ( ) ( ) 0 0 lim f x f x x x = → ，等价定义： lim 0 0 = → y x ；其中，函数有定义， 有极限、极限值等于函数值三者缺一不可，否则称为间断点；连续点的全体称为连续区 间. 2、 使函数间断的点：（1）初等函数无意义的点（孤立点）；（2）分段函数的分断点（需
验证)· 3、间断点的分类：f(x。-0),f(x。+0)均存在为第一类，否则为第二类具体可 分为：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点， 4、区间上连续函数的性质： (1)最大最小值定理：(2)有界性定理：(3)介值性定理：(4)零点定理， 注：方程fx)=0有根问题等价于函数f(x)有零点问题. 5、初等函数在其定义域内是连续的. 【重点与难点】 重点：函数在一点连续定义及间断定义：利用函数的连续性和连续函数的运算法则求函 数的极限：闭区间上连续函数的性质， 难点：确定函数的间断点及间断点的分类：闭区间上连续函数性质的应用. 【典型例题】 1、讨论函数的连续性 e x1 性。 解：由mfx)=mex=0,imfx)=lm0=0,得mf)=0, 又f0)=0,所以1mfx)=0=f0),从而fx)在x=0处连续。 由票)=mk-小m-0,卧f=0=0 1 31 可得Iimf(x)=0,但f(x)在x=1无定义，所以f(x)在x=1处不连续， 2、连续函数中参数的确定 a+br2,x≤0. 例2若fx)= sin bx 2x,r>0. 在x=0处连续，则常数a和b应该满足的关系是什 么？
验证）. 3、间断点的分类： ( 0) f x0 − ， ( 0) f x0 + 均存在为第一类，否则为第二类.具体可 分为：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点. 4、区间上连续函数的性质： （1）最大最小值定理；（2）有界性定理；（3）介值性定理；（4）零点定理. 注：方程 f (x) = 0 有根问题等价于函数 f (x) 有零点问题. 5、初等函数在其定义域内是连续的. 【重点与难点】 重点：函数在一点连续定义及间断定义;利用函数的连续性和连续函数的运算法则求函 数的极限;闭区间上连续函数的性质. 难点：确定函数的间断点及间断点的分类;闭区间上连续函数性质的应用. 【典型例题】 1、讨论函数的连续性 例1 讨论函数 ( ) ( ) 1 , 0 0, 0 1 1 1 sin , 1 1 x e x f x x x x x = − − 在 x = 0, x = 1 处的连续 性. 解：由 lim ( ) lim 0 1 0 0 = = → − → − x x x f x e ， lim ( ) lim 0 0 0 0 = = → + → + x x f x ，得 lim ( ) 0 0 = → f x x ， 又 f (0) = 0 ，所以 lim ( ) 0 (0) 0 f x f x = = → ，从而 f (x) 在 x = 0 处连续. 虽由 ( ) ( ) 0 1 1 lim lim 1 sin 1 1 = − = − → + → + x f x x x x ， lim ( ) lim 0 0 1 1 = = → − → − x x f x 可得 lim ( ) 0 1 = → f x x ，但 f (x) 在 x =1 无定义，所以 f (x) 在 x =1 处不连续. 2、连续函数中参数的确定 例2 若 ( ) + = , 0. 2 sin , 0. 2 x x bx a bx x f x 在 x = 0 处连续，则常数 a 和 b 应该满足的关系是什 么？
解：由于fx)在x=0连续， 则g=g+x片a=0=回=典-号 b 从而得a= 3.确定函数的间断点及其类型 例3设f(x)=im ”-指出f)的间断点. nx2 解：当时l时，f(x)=lim x2m-1 =lim-x2 x2m+11+ =1, 1 当x=±1时， fx)=0. -l,x1 可看出x=士1为f(x)第一类间断点. 例4确定函数f(x)= x2-2x 的间断点并确定类型. x(x2-4) 解：函数间断点为x=0,-2,2, 由于limf(x)=lim x2-2x1 1w-x24-2 x2-2x1 /()=哪-42 故x=0为第一类跳跃型间断点. x2-2x i(x)=1i四 =lim2于 (x-2)x -2-x(x2-4) =00. -2-x(x-2)(x+2) 故x=一2是第二类的无穷型间断点
解：由于 f (x) 在 x = 0 连续， 则 f (x) (a bx ) a f ( ) f (x) x x x → − → − → + = + = = = 0 2 0 0 lim lim 0 lim 2 2 sin lim 0 b x bx x = = → + 从而得 2 b a = . 3. 确定函数的间断点及其类型 例3 设 ( ) , 1 1 lim 2 2 + − = → n n n x x f x 指出 f (x) 的间断点. 解：当 x 1 时， ( ) 1 1 1 lim 2 2 = − + − = → n n n x x f x , x 1 时， ( ) 2 2 2 2 1 1 1 lim lim 1 1 1 1 n n n n n n x x f x x x → → − − = = = + + , 当 x = 1 时， f (x)= 0. 综上有 ( ) 1, 1 0, 1 1, 1 x f x x x − = = 可看出 x = 1 为 f (x) 第一类间断点. 例4 确定函数 ( ) 2 2 2 ( 4) x x f x x x − = − 的间断点并确定类型. 解：函数间断点为 x = − 0, 2, 2, 由于 ( ) 2 2 0 0 2 1 lim lim . x x ( 4) 2 x x f x x x → → − − − = = − − − ( ) 2 2 0 0 2 1 lim lim . x x ( 4) 2 x x f x x x → → + + − = = − 故 x = 0 为第一类跳跃型间断点. ( ) 2 2 2 2 2 2 ( 2) lim lim lim . ( 4) ( 2)( 2) x x x x x x x f x →− →− →− x x x x x − − = = = − − − − + 故 x = −2 是第二类的无穷型间断点