第二讲洛必达法则 【目的与要求】 掌握洛必达法则 【知识要点】 定理1设1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零， 2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0 3)lim "(四存在（或为无穷大） →aF'(x) 那么 lim f(x)=lim f'(x) →aF(x)xaF'（(x) 定理2设1)当x→o时，函数f(x)及F(x)都趋于零， 2)当x>N时，f"(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0 3)lim '(四存在（或为无穷大） F'(x) 那么 lim f(x) =lim f'(x) x→oF(x)xeF'(x) 【重点难点】 洛必达法则 【典型例题】 例1求下列极限： (1)lm x-(I+x)n(1+x) (2)lim 1+ +3 x- (3)lm(1-x)tan 2 (4)lim xsinx (5)lm(x、1 x-1 In x 解：(1)lim x-(1+x)(1+x)-lim 1-n(1+x)-1 =lim -n1+x) x2 x→0 2x x-0 2x
第二讲 洛必达法则 【目的与要求】 掌握洛必达法则. 【知识要点】 定理 1 设 1）当 x →a 时,函数 f (x) 及 F(x) 都趋于零, 2）在点 a 的去心邻域内, f (x) 及 F(x) 都存在且 F(x) 0 3） ( ) ( ) lim F x f x x a → 存在（或为无穷大） 那么 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a = → → . 定理 2 设 1）当 x → 时,函数 f (x) 及 F(x) 都趋于零, 2）当 x N 时, f (x) 及 F(x) 都存在且 F(x) 0 3） ( ) ( ) lim F x f x x → 存在（或为无穷大） 那么 ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x = → → . 【重点难点】 洛必达法则 【典型例题】 例 1 求下列极限: （1） 2 0 (1 )ln(1 ) lim x x x x x − + + → （2） x x x x 1 ) ln(1 ) lim ( + → （3） 2 lim (1 ) tan 1 x x x − → （4） x x x sin 0 lim → （5） ) ln 1 1 lim ( 1 x x x x − → − 解:（1） 2 0 (1 )ln(1 ) lim x x x x x − + + → = x x x 2 1 ln(1 ) 1 lim 0 − + − → = x x x 2 ln(1 ) lim 0 − + →
1 =lim 1+x=- →0 2 2 h(1+x),: Indn(+x (2)lim )*=lim exx 先考察m11+.兰型，利用 r-oo x 00 洛必达法则： lim i()=lim x-In(1+x) x1+ x-(1+x)ln(1+x) x-oX →ln(1+x) x2 =lim x(1+x)In(1+x) 、1 -ln(1+x)一=lim 1+ =imd+2x)in(+x+x2lnd+)+ =0 +2x+1 1+x 1π tan Tx cos2 x 2 (3)lm1-x)tan交=lim 2=1im 2 -x2 lim- 2 2 1 x→1 1 x→ 1-x cos2( (1-x)2 元im -2(1-x) =-2li 1-x 2x1 os x(-sin cos x→i-sinπx 2 22 -1 2 =-2lim- xlC0Sπx·ππ (4)lim xsinx=lim esinxlnx=e sinx x-0 x→0 -=-lm sin x.lim sin x=0 x0-COSX x→0Xx→0C0SX sinx sin2x 所以m xsinx=lim esinxx=e sinx=eo-l. x->0 x 1 xh x-x+1-lim- 1 (5)lim( )=lim x-1 In x (x-1)Inx x-+1+2 x x2 【课后训练与提高】 (A) 求下列极限：
= 2 1 1 lim 0 x x + − → = 2 1 − ; （2） x x x x 1 ) ln(1 ) lim ( + → = ) ln(1 ) ln( 1 lim x x x x e + → 先考察 ) ln(1 ) ln( 1 lim x x x x + → , 型,利用 洛必达法则 : ) ln(1 ) ln( 1 lim x x x x + → 2 ln(1 ) 1 lim ln(1 ) x x x x x → x x − + + = + (1 )ln(1 ) lim (1 )ln(1 ) x x x x → x x x − + + = + + ln(1 ) lim (1 2 )ln(1 ) x x → x x x − + = + + + 1 1 lim 0 1 2 2ln(1 ) 1 1 x x x x x → − + = = + + + + + （3） 2 lim (1 ) tan 1 x x x − → 1 tan 2 lim 1 1 x x x → = − 2 1 2 1 2 cos 2 lim 1 (1 ) x x x → = − 2 1 2 (1 ) 2 lim cos ( ) 2 x x x → − = 1 2(1 ) lim 2 2cos ( sin ) 2 2 2 x x x x → − − = − 1 1 2lim x sin x → x − = − − 1 1 2lim cos x→ x − = − 2 = − . （4） x x x sin 0 lim → = x x x e sin ln 0 lim → = x x x e sin 1 ln lim →0 x x x sin 1 ln lim →0 = x x x x 2 0 sin cos 1 lim→ − = x x x x x x cos sin lim sin lim →0 →0 − =0 所以 x x x sin 0 lim → = x x x e sin ln 0 lim → = x x x e sin 1 ln lim →0 = 0 e =1. （5） ) ln 1 1 lim ( 1 x x x x − → − = x x x x x x ( 1)ln ln 1 lim 1 − − + → = 1 1 ln ln lim 1 − + → x x x x = 2 1 1 1 1 lim x x x x + → = 2 1 . 【课后训练与提高】 （A） 求下列极限:
1)lim n(1+x) 2)lim ex-e-x 3)lim sin x-sin a x→0 x 0sinx x-a x-a n(1+-) 4)lim sin 2x 5)lim- r→xtan3x 6)lim x2e x→+arc cotx x→0 2-1》 )mx2-1x- (B) 1、下列极限： 1) im(白)m 2)lim(tan 2x+1 2 3)lim(二arctan x)' 4)m(x2+a2) x-→+pπ x- 5)lim xsin 1 1 6)m( X+00 a arctan2x 11 I产0 (1+x)严 x>0 2、讨论函数f(x)= e 在点x=0处的连续性。 e2, x≤0 3、验证极限lim x+smx存在，但不能用洛必达法则. X+0 (C) 1、设f"(x)存在，求证：lm fx+2)-2fx+h)+f田=f”(x). h-0 h2 2、由拉格朗日中值定理，对x>1,30∈(0,1)，使得 +刘=1+)-h1+0证明：m)上 x-0 2 3、已知f(x)在(-0，+o)内可导，且 )-e.()-m(()-f(x-D). xx-C
1） x x x ln(1 ) lim 0 + → 2） x e e x x x sin lim 0 − → − 3） x a x a x a − − → sin sin lim 4） x x x tan 3 sin 2 lim → 5） arc x x x cot ) 1 ln(1 lim + →+ 6） 2 1 2 0 lim x x x e → 7） ) 1 1 1 2 lim( 2 1 − − x→ x − x （B） 1、下列极限: 1） x x x tan 0 ) 1 lim ( → + 2） x x x x 1 ) 2 1 lim (tan → + 3） x x arctan x) 2 lim ( →+ 4） 2 1 2 2 lim ( ) x x x + a → 5） x→ lim a x x sin 6） ) 1 arctan 1 lim ( 2 2 0 x x x − → 7） n n n n ) 1 1 lim (1 2 + + → 2、讨论函数 1 1 1 2 (1 ) , 0 ( ) , 0 x x x x f x e e x − + = 在点 x = 0 处的连续性. 3、验证极限 x x x x sin lim + → 存在,但不能用洛必达法则. （C） 1、设 f (x) 存在,求证: ( ) ( 2 ) 2 ( ) ( ) lim 2 0 f x h f x h f x h f x h = + − + + → . 2、由拉格朗日中值定理,对 x 1, (0,1) ,使得 x x x x + + = + − + = 1 ln(1 ) ln(1 ) ln(1 0) ,证明: 2 1 lim ( ) 0 = → x x . 3、已知 f (x) 在 (−,+) 内可导,且 lim ( ) , lim ( ) = lim ( ( ) − ( −1)) − + = → → → f x f x x c x c f x e x x x
求c的值
求 c 的值