第二讲曲面、曲线及其方程 【目的与要求】 1、会求坐标面内的曲线绕坐标轴旋转而产生的旋转曲面方程： 2、会求母线平行于坐标轴的柱面方程： 3、熟练地掌握各种二次曲面及其方程： 4、了解空间曲线的一般方程和参数方程： 5、会求空间曲线在坐标面的投影柱面方程以及曲面在坐标平面上的投影区域. 【知识要点】 1、旋转曲面的方程：在yoz坐标面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转所得的曲 面方程为f(仕Vx2+z2,)=0:在y0z坐标面上的曲线f(y,z)=0绕y轴旋转所得的曲面 方程为fy,士Vx2+2)=0 2、柱面及其方程：母线平行于z轴的柱面方程为F(x,y)=0, 3、二次曲面的图形及其方程 F(x,y,z)=0 4、空间曲线的一般方程： G(x,y,z)=0 x=x(t)为 参数方程： {y=y(t), a≤t≤B 2=(1). 6、空间曲线在坐标面的投影柱面以及曲面在坐标面上的投影区域 【重点与难点】 重点：1、曲面方程的概念： 2、二次曲面的图形及其方程： 3、曲面在坐标面上的投影 难点：曲面方程的建立 【典型例题】 例1求与坐标原点O及点(2,3,4)的距离之比为1：2的点的全体所组成的曲面方程
第二讲 曲面、曲线及其方程 【目的与要求】 1、会求坐标面内的曲线绕坐标轴旋转而产生的旋转曲面方程; 2、会求母线平行于坐标轴的柱面方程; 3、熟练地掌握各种二次曲面及其方程; 4、了解空间曲线的一般方程和参数方程; 5、会求空间曲线在坐标面的投影柱面方程以及曲面在坐标平面上的投影区域. 【知识要点】 1、旋转曲面的方程:在 yoz 坐标面上的曲线 f ( y,z) = 0 绕 z 轴旋转所得的曲 面方程为 ( , ) 0 2 2 f x + z z = ;在 yoz 坐标面上的曲线 f ( y,z) = 0 绕 y 轴旋转所得的曲面 方程为 ( , ) 0 2 2 f y x + z = . 2、柱面及其方程:母线平行于 z 轴的柱面方程为 F(x, y) = 0 . 3、二次曲面的图形及其方程. 4、空间曲线的一般方程: = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 参数方程: = = = t z z t y y t x x t ( ). ( ), ( ), 6、空间曲线在坐标面的投影柱面以及曲面在坐标面上的投影区域. 【重点与难点】 重点: 1、曲面方程的概念; 2、二次曲面的图形及其方程; 3、曲面在坐标面上的投影. 难点: 曲面方程的建立. 【典型例题】 例 1 求与坐标原点 O 及点 (2,3,4) 的距离之比为 1: 2 的点的全体所组成的曲面方程
解：设动点为(xy,z),它满足条件： Vx2+y2+22 1 x-2)2+0y-3)2+(-4)2 2 化简得：红++0+2+(e+专-6 9 x=acosθ 例2求螺旋线{ y=asin0在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程. z=be 解：由前两个方程得x2+y2=a2,于是得到在x0y坐标面上的投影方程 x2+y2=a2 类似得到在xoz面和y0z面上的投影方程分别为 x acos() b和 z=0 y=0 y=asin x=0 【课后训练与提高】 (A) 一、填空题 1、以点(1,3，-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为 2、动点到点(2,0,0)的距离为到点(-4,0,0)的距离的一半，则动点的轨迹方程为. 3、将xoy面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，所生成的旋转面 方程分别为 与 4、将yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周，所生成的旋转面的方程为. 二、选择题 2x2+y2+z2=16 1、曲线 x2-y2+2=0 关于xOy面的投影柱面的方程为(）· A、3x2+2z2=16 B、3y2-z2=16 C、x2+2y2=16 x2+2y2=16 z=0
解: 设动点为 (x, y,z) ,它满足条件: 2 1 ( 2) ( 3) ( 4) 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + + x y z x y z 化简得: 9 116 ) 3 4 ) ( 1) ( 3 2 ( 2 2 2 x + + y + + z + = . 例 2 求螺旋线 cos sin x a y a z b = = = 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程. 解: 由前两个方程得 2 2 2 x + y = a ,于是得到在 xoy 坐标面上的投影方程 2 2 2 0 x y a z + = = .类似得到在 xoz 面和 yoz 面上的投影方程分别为 cos( ) 0 z x a b y = = 和 sin( ) 0 z y a b x = = 【课后训练与提高】 （A） 一、填空题 1、以点 (1, 3, 2) − 为球心,且通过坐标原点的球面方程为 . 2、动点到点 (2, 0, 0) 的距离为到点 ( 4, 0, 0) − 的距离的一半,则动点的轨迹方程为. 3、将 xoy 面上的双曲线 4 9 36 2 2 x − y = 分别绕 x 轴及 y 轴旋转一周,所生成的旋转面 方程分别为 与 . 4、将 yoz 面上的曲线 f ( y,z) = 0 绕 z 轴旋转一周,所生成的旋转面的方程为. 二、选择题 1、曲线 2 2 2 2 2 2 2 16 0 x y z x y z + + = − + = 关于 xoy 面的投影柱面的方程为（ ）. A、 3 2 16 2 2 x + z = B、3 16 2 2 y − z = C、 2 16 2 2 x + y = D、 2 2 2 16 0 x y z + = =
x2+y2+z2=9 2、曲线 在oz面上的投影曲线的方程为()· x+z=1 x2+y2+z2=9 2x2+y2-2x=8 z=0 z=0 x2+y2+z2=9 2z2+y2-2z=8 C、 x-z=1 z=0 三、指出下列方程表示什么曲面，并画出其图形. 1、++2=1 49 2、2=3(x2+y2) 3、y2+z2=9 x2+y2-2=0 4 四、求由上半球面z=√2-x2-y2及旋转抛物面z=x2+y2围成的空间立体在xoy 面上的投影 (B) 一、动点M到平面x-1=0的距离等于它与x轴距离的两倍，又点M到A(0,-1,2)的 距离为1，求动点M的轨迹方程， 二、求直线1：x-1=y-2-1 绕z轴旋转所得旋转曲面的方程， 121 三、求旋转抛物面z=x2+y2与平面y+z=1的交线在xoy面上的投影方程. 四、求曲线C: x=y2+22 在三个坐标平面上的投影曲线方程. x+2y-z=0
2、曲线 2 2 2 9 1 x y z x z + + = + = 在 yoz 面上的投影曲线的方程为（ ）. A、 2 2 2 9 0 x y z z + + = = B、 2 2 2 2 8 0 x y x z + − = = C、 2 2 2 9 1 x y z x z + + = − = D、 2 2 2 2 8 0 z y z z + − = = 三、指出下列方程表示什么曲面,并画出其图形. 1、 1 4 9 2 2 2 + + z = x y 2、 3( ) 2 2 z = x + y 3、 9 2 2 y + z = 4、 0 4 2 2 2 − = + z x y 四、求由上半球面 2 2 z = 2 − x − y 及旋转抛物面 2 2 z = x + y 围成的空间立体在 xoy 面上的投影. （B） 一、动点 M 到平面 x −1= 0 的距离等于它与 x 轴距离的两倍,又点 M 到 A(0, 1, 2) − 的 距离为 1,求动点 M 的轨迹方程. 二、求直线 1 1 1 2 1 : − = = x − y z l 绕 z 轴旋转所得旋转曲面的方程. 三、求旋转抛物面 2 2 z = x + y 与平面 y + z = 1 的交线在 xoy 面上的投影方程. 四、求曲线 2 2 : 2 0 x y z C x y z = + + − = 在三个坐标平面上的投影曲线方程