第一讲微分中值定理 【目的与要求】 1、理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理： 2、会用中值定理证明简单的不等式、恒等式等问题 【知识要点】 1、罗尔定理：如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内 可导，(3)f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点5，使得f'()=0. 2、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间 (a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点5，使得f(b)-f(a)=f'(5)b-a). 3、柯西中值定理：如果函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b) 内可导，(3)对任一x∈(a,b),F'(x)≠0，则在开区间(a,b)内至少存在一点5，使得 f(b)-f(a）f'(5) b-a F'() 4、定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数. 【重点难点】 重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理： 难点：会用中值定理证明简单的不等式、恒等式等问题 【典型例题】 例1设函数f(x)在，2]上有二阶导数，且f①)=f2)=0,又设F(x)=(x-1)2fx), 证明在(1,2)内至少存在一点5，使得F"(5)=0. 证明：因为fI)=f(2)=0,则有F1)=F(2)=0,对F(x)=(x-1)2f(x)在1,2上 应用罗尔定理： Fxx5=2(x-10fx)+(x-1)2f'(x)5=0,51∈(1,2) 又F'()=0,即F'(5)=F'()=0,由已知条件F'(x)在(1,5)C(L,2)
第一讲 微分中值定理 【目的与要求】 1、理解罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理; 2、会用中值定理证明简单的不等式、恒等式等问题. 【知识要点】 1、罗尔定理:如果函数 f (x) 满足（1）在闭区间 [a,b] 上连续,（2）在开区间 (a, b) 内 可导,（3） f (a) = f (b) ,则在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ,使得 f ( ) = 0. 2、拉格朗日中值定理:如果函数 f (x) 满足（1）在闭区间 [a,b] 上连续,（2）在开区间 (a, b) 内可导,则在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ,使得 f (b) − f (a) = f ( )(b − a). 3、柯西中值定理:如果函数 f (x) 满足（1）在闭区间 [a,b] 上连续,（2）在开区间 (a, b) 内可导,（3）对任一 x(a,b), F(x) 0 ,则在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ,使得 ( ) ( ) ( ) ( ) F f b a f b f a = − − 4、定理 如果函数 f (x) 在区间 I 上的导数恒为零,那么 f (x) 在区间 I 上是一个常数. 【重点难点】 重点:罗尔定理、拉格朗日中值定理; 难点:会用中值定理证明简单的不等式、恒等式等问题. 【典型例题】 例 1 设函数 f (x) 在 1,2 上有二阶导数,且 f (1) = f (2) = 0 ,又设 ( ) ( 1) ( ) 2 F x = x − f x , 证明在（1,2）内至少存在一点 ,使得 F( ) = 0 . 证明:因为 f (1) = f (2) = 0 ,则有 F(1) = F(2) = 0 ,对 ( ) ( 1) ( ) 2 F x = x − f x 在 1,2 上 应用罗尔定理: ( ) 2( 1) ( ) ( 1) ( ) 0, (1,2) 1 2 1 1 F x x= = x − f x + x − f x x= = 又 F(1) = 0, 即 F( 1 ) = F(1) = 0,由已知条件 F(x) 在 (1, ) (1,2) 1
上满足罗尔定理，则有F"(5)=0,5∈(L,51)C(1,2) 例2证明不等式 a-E≤tana-tanpsa-B cos2 B cos2 a .其中00)上连续，在(0，x)内可导，且f0)=0,试证：在(0，x) 内存在一个5，使f(x)=(1+)1+x)f'(5) 证明：令F()=f),G)=(1+),在[0，x(x>0)上使用柯西中值定理 Fx)-F(O)_F'(5) ，5∈(0，x) G(x)-G(0)G'(5) 所以 f(x) n(1+x) =1+5)f'(5),即fx)=(1+)hn(1+x)f'(5): 例4设f(x)在[a,b上连续，证明在(a,b)内存在5、n,使 f"5=f) ab 分析：因为f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，满足拉格朗日中值定理， 故由拉格朗日中值定理，存在5∈(a,b),使f(b)-f(a)=f'(5)b-a)
上满足罗尔定理,则有 F( ) = 0, (1, ) (1,2) 1 . 例 2 证明不等式 2 2 cos tan tan cos − − − ,其中 2 0 . 证明:令 f (x) = tan x ,则 x f x x 2 2 cos 1 ( ) = sec = , 因为 2 , 0, （ = 时不等式显然成立）,所以 f (x) = tan x 在 2 , 0, 满足连续与可导条件,则: f () − f () = f ( )( − ) , ,,即 2 cos tan tan − − = , 由 cos x 在 ) 2 (0, 内的单调性得: 2 2 2 cos cos cos , 2 2 2 cos 1 cos 1 cos 1 , 所以 2 2 cos tan tan cos − − − . 例 3 设 f (x) 在 0, x,(x 0) 上连续, 在 (0, x) 内可导, 且 f (0) = 0 , 试证: 在 (0, x) 内存在一个 , 使 f (x) = (1+ )ln(1+ x) f ( ) . 证明: 令 F(t) = f (t) , G(t) = ln(1 + t) , 在 0, x,(x 0) 上使用柯西中值定理 ( ) ( ) ( ) (0) ( ) (0) G F G x G F x F = − − , (0, x) 所以 (1 ) ( ) ln(1 ) ( ) f x f x = + + , 即 f (x) = (1+ )ln(1+ x) f ( ) . 例 4 设 f (x) 在 a,b, 上连续, 证明在 (a, b) 内存在 、 ,使 ab f f ( ) ( ) 2 = 分析: 因为 f (x) 在 a,b, 上连续, 在 (a, b) 内可导,,满足拉格朗日中值定理, 故由拉格朗日中值定理,存在 (a,b) ,使 f (b) − f (a) = f ( )(b − a)
于是问题变为证明在(a,b)内存在刀使6)-f(@_”f) b-a ab →fb-f@=-nr)→fb-f@-fm 11 11 1 ba 6-a 故可用柯西中值定理，令F(t)=-f(t),G()=二即可. 证明略. 【课后训练与提高】 (A) 1、验证罗尔定理对函数y=nsnx在区间 5π 上的正确性. 6’6 2、验证拉格朗日中值定理对函数y=x2-2x+1在区间0,2上的正确性， 3、不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)导数，说明方程f'(x)=0 有几个实根，并指出他们所在区间. (B) 1、证明方程x5+x-1=0只有一个实根. 2、设a>b>0,证明：a-b<h9<a-b bb 3、若函数f(x)在[a,b]内有二阶导数，且f(x)=f(x2)=f(x3),其中 a<x1<x2<x3<b,证明在(x1,x3)内存在一个5，使f"(5)=0. 4、证明：arctan a-arctan b≤a-b. 、证明：arcsin+arccosx=7,x∈【1，. 2 (C) 1、设a,b,c是任意给定实数，求证方程e"=ax2+bx+c至多有三个根. 2、设函数f(x)在(a,+oo)上可导，且imf'(x)=0,证明：lim f)=0. 3、设函数f(x)在[a,b内连续，f(x)在[a,b]内可导，且f(a)=f(b)=0, 证明存在、n,使e”-(f(n)+f'()=1
于是问题变为证明在 (a, b) 内存在 使 ab f b a f (b) f (a) ( ) 2 = − − , 2 2 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) − = − − = − − − f b a f b f a f b a f b f a , 故可用柯西中值定理,令 F(t) = f (t) , t G t 1 ( ) = 即可. 证明略. 【课后训练与提高】 （A） 1、验证罗尔定理对函数 y = ln sin x 在区间 6 5 , 6 上的正确性. 2、验证拉格朗日中值定理对函数 2 1 2 y = x − x + 在区间 0,2 上的正确性. 3、不用求出函数 f (x) = (x −1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) 导数,说明方程 f (x) = 0 有几个实根,并指出他们所在区间. （B） 1、证明方程 1 0 5 x + x − = 只有一个实根. 2、设 a b 0 ,证明: b a b b a a a b − − ln . 3、若函数 f (x) 在 a,b 内有二阶导数,且 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 f x = f x = f x ,其中 a x1 x2 x3 b ,证明在 ( , ) 1 3 x x 内存在一个 ,使 f ( ) = 0 . 4、证明: arctan a − arctan b a − b . 5、证明: 2 arcsin arccos x + x = , x−1,1. （C） 1、设 a,b, c 是任意给定实数,求证方程 e ax bx c x = + + 2 至多有三个根. 2、设函数 f (x) 在 (a,+) 上可导,且 lim ( ) = 0 →+ f x x ,证明: 0 ( ) lim = →+ x f x x . 3、设函数 f (x) 在 a,b 内连续, f (x) 在 a,b 内可导,且 f (a) = f (b) = 0 , 证明存在 、 ,使 ( ( ) + ( )) =1 − e f f
4、设函数f(x)在4，b内有二阶导数，且f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)>0, 证明存在5∈(a,b)和n∈(a,b)使f(5)=0及f"(n)=0
4、设函数 f ( x ) 在 a , b 内有二阶导数,, 且 f ( a ) = f ( b ) = 0 , f ( a ) f ( b ) 0 , 证明存在 ( a , b ) 和 ( a , b ) 使 f ( ) = 0 及 f ( ) = 0