第一讲函数 【目的与要求】 1、正确理解函数概念： 2、理解函数符号的意义，熟悉函数的特性，了解反函数的意义： 3、搞清复合函数的概念，知道分段函数的意义： 4、掌握初等函数的概念. 【知识要点】 1、定义域，四大特性。 2、复合函数，反函数，分段函数，初等函数 【重点与难点】 重点：(1)函数的概念：函数定义的三个内容（定义域、对应规律和值域）：函数符号及 函数的特性。 (2)复合函数的概念和分段函数概念的意义. 难点：确定函数的定义域：将复合函数拆成基本初等函数串：确定有界函数的界 【典型例题】 例1求下列函数的定义域 (1)y=In(x2-1)+aresin-1 +1 5x-x2 (2)y=g x2-1>0 解：(1)由题意{x+1≠0由x2-1>0得x1 1 +1 由1s1得x≤-2或x≥0，故定义域为(0-2U1+四). x+1 ②》由对数定义知：5，子>0，即0<r<5
第一讲 函数 【目的与要求】 1、正确理解函数概念； 2、理解函数符号的意义，熟悉函数的特性，了解反函数的意义； 3、搞清复合函数的概念，知道分段函数的意义； 4、掌握初等函数的概念. 【知识要点】 1、定义域，四大特性. 2、复合函数，反函数，分段函数，初等函数. 【重点与难点】 重点：（1）函数的概念；函数定义的三个内容(定义域、对应规律和值域)；函数符号及 函数的特性. （2）复合函数的概念和分段函数概念的意义. 难点：确定函数的定义域；将复合函数拆成基本初等函数串；确定有界函数的界. 【典型例题】 例 1 求下列函数的定义域 （1） ( ) 1 1 ln 1 arcsin 2 + = − + x y x （2） 4 5 lg 2 x x y − = 解：（1）由题意 2 1 0 1 0 1 1 1 x x x − + + 由 1 0 2 x − 得 x −1 或 x 1 由 1 1 1 x + 得 x −2 或 x 0 ，故定义域为 (−,−2(1,+) . （2）由对数定义知： 0 4 5 2 x − x ，即 0 x 5
当g5x-≥0时，函数有定义.即5x:之1， 4 4 可知1≤x≤4，故原函数定义域为：[山，4： 例2设fx)=e,fp(x】=1-x,且ox)20,求(x)的定义域. 解：由fx)=er知fo(x=e,又因fo(x=l-x, 所以e=1-x,于是o2(x)=n(1-x),再根据px)≥0， 可知：px)=Vn(1-x).因此p(x)的定义域为：h(1-x)20. 即x≤0或(-∞，0] 例3设利产，试证/W哪=，并求（间a* 解：设间=f四=()=f[(小()=f[/(小现在只 需要证f()=x.下有递推法证之： 图点闷1放 --el=-1-网 1 -r产x fx)=ffx】=ffx】=fx)=x. 下面再求 监a -2经80=任8*e
当 0 4 5 lg 2 x − x 时，函数有定义.即 1 4 5 2 x − x . 可知 1 x 4 ，故原函数定义域为： 1, 4. 例 2 设 ( ) 2 x f x = e ， f(x) =1− x ，且 (x) 0 ，求 (x) 的定义域. 解：由 ( ) 2 x f x = e 知 ( ) (x) f x e 2 = ，又因 f(x) =1− x ， 所以 ( ) e x x = 1− 2 ，于是 (x) = ln(1− x) 2 ，再根据 (x) 0 ， 可知： (x) = ln(1− x) .因此 (x) 的定义域为： ln(1− x) 0 . 即 x 0 或 (−, 0 . 例 3 设 ( ) −1 = x x f x ，试验证 f ff (f (x))= x ，并求 ( ) ( 0, 1) 1 x x f x f . 解：设 1 2 1 1 ( ) ( ) ; ; ; ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n n x f x f x f x f f x f x f f x x = = = = − − .现在只 需要证 f (x) = x 4 .下有递推法证之： 因 ( ) x x f (x) x x f x 1 1 1 ; 1 1 1 1 = − − = − = ；故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x x f x f f x f f x = − − = − = = = 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ， ( ) ( ) ( ) x x x f x f f x f x 1 1 1 1 3 2 − = − = = = ， f (x) = ff (x) = ff (x) = f (x) = x 4 3 2 . 下面再求 ( ) f x f 1 ，因 f (x) x 1 1 1 = − ，故 ( ) 1 ( 0, 1). 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − − − = = − x x x x x x f f x f 例 4 设 ( ) 2 , 0 2, 0 x x g x x x − = + ， ( ) 2 , 0 , 0 x x f x x x = − ，求 gf (x)
2-f(x),f(x)≤0∫2+x2,x0{2+xx20 例5设f(cos2x)=cos2x-cot2x(0<x<I),求f(x) 解，os2刘=2cos2x-11c0o cos2x 故=2x-1x2-已 1 例6设fx)满足a)+bf(-x)=-S(a,b,c均为常数)，且la≠l,求fx) 解：a时x)+bf-x)= …① X 取x=1-t,则t=1-x, 故a0-小+r0=台 …② 联0®调)。6（任-） 例7设p(x)与f(x)互为反函数，求fx-2)的反函数. 解：由y=fxx=p6y)知x=fx,于是从y=fx-2)得(y)=pfx-2 即p(y)=x-2,故x=py)+2,所以fx-2)的反函数为y=(x)+2. 【课后训练与提高】 (A) 一、 填空题 1、函数f)=V3-x+arctan的定义域是」 2、设f(x)的定义域是[0，，则fe)的定义域是 3、设p(x)= 分一动- 0 (-2)= 二、 选择题
解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 0 2 , 0 2, 0 2 , 0 f x f x x x g f x f x f x x x − + = = + + . 例 5 设 ( ) ( ) 2 2 f x x x x cos cos 2 cot 0 1 = − ，求 f (x) . 解： ( ) x x f x x 2 2 2 2 1 cos cos cos 2cos 1 − = − − ， 故 ( ) x x x x f x x − = − − = − − 1 1 2 1 2 1 . 例 6 设 f (x) 满足 ( ) ( ) x c af x + bf 1− x = （ a,b, c 均为常数），且 a b ，求 f (x) . 解： ( ) ( ) x c af x + bf 1− x = ……① 取 x =1−t ，则 t =1− x， 故 ( ) ( ) t c af t bf t − − + = 1 1 ……② 联立①、②得到： ( ) − − − = x bc x ac a b f x 1 1 2 2 . 例 7 设 (x) 与 f (x) 互为反函数，求 f (x − 2) 的反函数. 解：由 y = f (x), x =(y) 知 x =f (x) ，于是从 y = f (x − 2) 得 (y) =f (x − 2)， 即 (y) = x − 2 ，故 x =(y)+ 2 ，所以 f (x − 2) 的反函数为 y =(x)+ 2 . 【课后训练与提高】 （A） 一、 填空题 1、函数 ( ) x f x x 1 = 3− + arctan 的定义域是 . 2、设 f (x) 的定义域是 0,1 ，则 ( ) x f e 的定义域是 . 3、设 ( ) sin , 3 0, 3 x x x x = ，则 = 6 、 = − 2 、 (− 2) = . 二、 选择题
1、设f()= -sin3x,-π≤x≤0 则此函数为( sin3x,00)的定 义域。 3、已知2f(x)+f1-x)=x2,求fx) 4、设f(sin2x)=cos2x+tan2x(0<x<1),求f() 5设f)=e-e以求f产)
1、设 ( ) 3 3 sin , 0 sin , 0 x x f x x x − − = ，则此函数为（ ）. A、周期函数 B、单调函数 C、奇函数 D、偶函数 2、设 f (x) e g(x) x x 2 = , = sin ，则 fg(x)= （ ）. A、 x e 2 sin B、 ( ) x e 2 sin C、e x x 2 sin D、( ) 2 2 sin x e x 3、设 f x x x ( ) = − + sin ( ) ，则此函数是（ ）. A、奇函数 B、既不是奇函数，又不是偶函数 C、周期为 2 的周期函数 D、周期为 的周期函数 4、设 f (x) 为奇函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）. A、 f (x)+ c （ c 为非零常数） B、 f (− x)+ c （ c 为非零常数） C、 f x( ) D、 ff (x) 三、 试解下列各题 1、 设 ( ) 2 2 1, 1 2 , 1 x x x f x x x x − − = − ，求 2 1 f ; f a f a a (1 1 0 + − − ) ( ) ( ) . 2、 设 ( 1) 3 2 2 f x + = x − x + ，求 f (x) . 3、设 ( ) x x f x + − = 1 1 ，求 ff (x). 4、设 y =1+ ln(x + 2) ，求其反函数. （B） 1、求函数 ( ) 5 2 1 6 arcsin 2 − = − − + x f x x x 的定义域. 2、设 f (x) 的定义域是 0, 1 ，求 ( ) 2 f x 、 f (x +1)、 f (x + a)+ f (x − a)(a 0) 的定 义域. 3、已知 ( ) ( ) 2 2 f x + f 1− x = x ，求 f (x) . 4、设 ( ) ( ) 2 2 f x x x x sin cos 2 tan 0 1 = + ，求 f (x) . 5、设 ( ) ( ) x x f x e e − = − 2 1 ，求 f (x) −1
1,x1 按·求创=7U7 (C) 1、已知fx)=snx,f儿p(x=1-x2,求(x)及其定义域. r)-6sU哪
6、设 ( ) 1, 1 0, 0 1, 1 x f x x x = = − ， ( ) x g x e = ，求 f g x [ ( ) ] 和 g f x [ ( )]. 7、设 ( ) 2 1 x x f x + = ，求 ff (x)、 f ff (x) 及 f (x) f f f f (x) n n = . （C） 1、 已知 f (x) = sin x， ( ) 2 f x = 1− x ，求 (x) 及其定义域. 2、 设 ( ) 1, 1 0, 1 x f x x = ，求 f ff (x)