第二讲定积分换元法 【目的与要求】 1、掌握换元法计算定积分。 2、利用函数的周期性、奇偶性计算定积分， 【知识要点】 定积分的换元法：设f(x)是[a,b]上的连续函数，p(x)是[，]上的单调可微函数， 且p(a)=a,ob)=B.则jfx)k=∫。fop'd. 【重点与难点】 重点：定积分的换元法 【典型例题】 例1计算定积分 2)j。eh (3) cos.x-cos2xdk 解：（）令x=g,则1=amcg,则d水=sec2d,且当x=1时，1=：x=0时， t=0. 0时--js-点+2 2令-e产=，则=-h0-f),k=不，且当x=l2时， -;x=0时，t=0 2 -e---)h=-92+同 (3)值v6asx-eos7xd-2f月6 cosxsin=2j月6 cosxsin
第二讲 定积分换元法 【目的与要求】 1、掌握换元法计算定积分. 2、利用函数的周期性、奇偶性计算定积分. 【知识要点】 定积分的换元法:设 f x( ) 是 [ , ] a b 上的连续函数， ( ) x 是 [ , ] 上的单调可微函数， 且 ( ) , ( ) a a b = = .则 ( ) ( ( )) ( ) . b a f x dx f t t dt = 【重点与难点】 重点:定积分的换元法 【典型例题】 例 1 计算定积分 （1） ( ) 1 2 0 2 1 1 dx + x （2） ln 2 2 0 1 x e dx − − （3） x xdx − − 2 2 3 cos cos 解: （1）令 x tgt = ，则 t arctgx = ，则 2 dx tdt = sec ，且当 x =1 时， 4 t = ; x = 0 时， t = 0. ( ) 1 2 0 2 1 1 dx + x = 2 2 4 4 4 4 0 0 0 sec 1 cos (1 cos 2 ) sec 2 t dt tdt t dt t = = + = 4 0 1 1 1 ( sin 2 ) ( 2) 2 2 8 t t + = + （2）令 2 1 x e t − − = ，则 1 2 ln(1 ) 2 x t = − − ， 2 1 t dx dt t = − ，且当 x = ln2 时， 3 2 t = ; x = 0 时， t = 0. ln 2 2 0 1 x e dx − − = 3 3 2 2 2 2 2 0 0 1 3 1 ln(2 3) 1 1 2 t dt dt t t = − = − + + − − （3） x xdx − − 2 2 3 cos cos = 2 2 0 2 cos sin x xdx = 2 0 2 cos sin x x dx
-2j月(cos)dcosx--2os刘 例2设f(x)= 1+,x<0 le, x≥0 求∫fx-2 解：令x-2=t,则d=dt,且当x=3时，t=1:x=1时，t=-1. S'f(x-2)d-JfOd=5(+P)dt+e"dr *e- 【课后训练与提高】 (A) 一、填空题 arcsinx= 1小、J-天 「2 -x dx 二、选择题 1、设f)在[-a,a上连续，则fx)=（）. A、∫(fx)+f-x)kB、2fxC、2fx) D、0 2、设fw)在[a,b上连续，则∫。f(x)d=（). A、∫。fa+b-ah B、b-aj。a+b-ah c、∫fa+b-ah D、(b-a)ffa+b-at 3、下列定积分中其值为零的是(). A、∫冰B、∫xsinxd c、∫xsim2xdD、∫x2cos2xd 4、计算下列定积分
= 1 2 2 0 2 (cos ) cos x d x − = 3 4 (cos ) 3 2 2 2 0 3 2 − = x 例 2 设 2 1 , 0 ( ) , 0 x x x f x e x − + = ，求 3 1 f x dx ( 2) − . 解: 令 x t − = 2 ，则 dx dt = ，且当 x = 3 时， t =1 ; x =1 时， t =−1. 3 1 f x dx ( 2) − = 1 1 f t dt ( ) − = 0 1 2 1 0 (1 ) t t dt e dt − − + + = 0 3 1 0 1 3 t t t e− − + + − = 7 1 3 e − 【课后训练与提高】 （A） 一、填空题 1、 1 2 1 2 2 arcsin 1 x dx x − = − . 2、 2 1 2 1 2 sin x e xdx − − = . 3、 1 2 2 1 2 2 (arcsin ) 1 x dx x − = − . 二、选择题 1、设 f x( ) 在 [ , ] −a a 上连续，则 ( ) a a f x dx − = （ ）. A、 ( ) 0 ( ) ( ) a f x f x dx + − B、 0 2 ( ) a f x dx C、 2 ( ) f x D、 0 2、设 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，则 ( ) b a f x dx = （ ）. A、 1 0 f a b a t dt [ ( ) ] + − B、 1 0 ( ) [ ( ) ] b a f a b a t dt − + − C、 0 1 f a b a t dt [ ( ) ] − + − D、 0 1 ( ) [ ( ) ] b a f a b a t dt − − + − 3、下列定积分中其值为零的是（ ）. A、 2 1 xdx − B、 1 1 x xdx sin − C、 1 2 1 x xdx sin − D、 1 2 2 1 x xdx cos − 4、计算下列定积分
ω中产 simocos odo 8)∫2-7 ④∫。x-xdk x2 (5 j8 (6) d (1-x2) )。 d dx x2+d2)5 (B) 1、已知f(x)连续， ∫后fx-h=1-cosx,求后fx达的值 1 x≥0 2、f(x)= 1+x 1 求∫fx-l. (l+e' x<0 3、计算下列定积分： 0∫。2r-rd (2) ∫Vi+cos2xd 4、设f)是以I为周期的函数，证明：”x达的值与a无关 (C) 1、证明： snr本=骨eos (n-1)π n!! 2 当n为偶数时， (n-1)l n!l, 当n为奇数时
(1) 4 1 1 1 dx + x (2) 3 2 0 sin cos d (3) 2 2 0 2 − x dx (4) 1 0 x xdx 1− (5) 2 0 3sin 1 3cos x dx x + (6) 3 2 2 1 2 2 (1 ) x dx − x (7) 3 0 2 2 2 ( ) a dx x a + (8) 3 2 1 6 10 dx x x + + （B） 1、已知 f x( ) 连续， 0 ( ) 1 cos x tf x t dx x − = − ，求 2 0 f x dx ( ) 的值. 2、 1 , 0 1 ( ) 1 , 0 1 x x x f x x e + = + ，求 2 0 f x dx ( 1) − . 3、计算下列定积分: （1） 1 2 0 2x x dx − （2） 0 1 cos2xdx + 4、设 f x( ) 是以 l 为周期的函数，证明: ( ) a l a f x dx + 的值与 a 无关. （C） 1、证明: 2 2 0 0 (sin ) (cos ) n n x dx x = ( 1)!! , !! 2 ( 1)!! , !! n n n n n n − = − 当 为偶数时 当 为奇数时 ，