第一讲不定积分的概念与性质 【目的与要求】 1、准确理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，明确不定积分与微分的运 算关系： 2、熟记不定积分的基本公式. 【知识要点】 1、原函数的概念： 2、不定积分的定义： 3、基本积分表： 4、不定积分的性质。 【重点与难点】 重点：不定积分的概念，基本积分公式 【典型例题】 例1写出下列函数的原函数. (1)sin 2x (2)a2 解：(1)sn2x的原函数为：-一cos2x+c: (2)a2r的原函数为： q24 -+C 2In 例2一条曲线通过点(2,3)，且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数， 求该曲线方程。 解：由题意知， 攻-上所以y=女=h+c,又因面线过点（e3》 dx x 有：3=ne2+c,故c=1.所以曲线方程为y=nx+1. 例3计算下列不定积分 j+-2h 4sin'x-1d (2)sin2x 2-3-52k cos2x (3) (4) -dx 3 cos2xsin 2x
第一讲 不定积分的概念与性质 【目的与要求】 1、准确理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的性质,明确不定积分与微分的运 算关系; 2、 熟记不定积分的基本公式. 【知识要点】 1、原函数的概念; 2、不定积分的定义; 3、基本积分表; 4、不定积分的性质. 【重点与难点】 重点:不定积分的概念,基本积分公式. 【典型例题】 例 1 写出下列函数的原函数. （1） sin 2x （2） x a 2 解:（1） sin 2x 的原函数为: − cos 2x + c 2 1 ; （2） x a 2 的原函数为: c a a x + 2ln 2 例 2 一条曲线通过点（ ,3 2 e ）,且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线方程. 解:由题意知, dx x dy 1 = ,所以 dx x c x y = = + ln 1 ,又因曲线过点（ ,3 2 e ） 有: = e + c 2 3 ln ,故 c =1.所以曲线方程为 y = ln x +1. 例 3 计算下列不定积分 （1） dx x x x + − ) 1 ( 1)( （2） − dx x x 2 3 sin 4sin 1 （3） dx x x x − 3 2 3 5 2 （4） dx x x x 2 2 cos sin cos 2
解+e左=a+-l店 =jxk+jxdk-∫k-∫xdk 2x+x2-x-2x3+c e=小a如恤-4 =-4cosx+cotx+c o252=j-h -2x- 5 ()+c n2-h33 (4) cos2x -女 cos2 xsin2x =∫csc2x-sec2x)dk =-cot x-tanx+c 【课后训练与提高】 (A) 一、判断下列命题的真假 1、一切初等函数在其定义区间上都有原函数. 2、(f"(x)y=f(x) 3、函数nx与hx是同一函数的原函数. 4、若∫fx)dk=F(x)+c,则∫几g(x)k=F[g(x]+c 二、填空题 1、若Jf(x)dk=cos(Inx)+c,则f(x)= 2起烟a且0-受期-
解:（1） dx x x x + − ) 1 ( 1)( = + − − dx x x x x ) 1 ( 1 − = x dx + xdx− dx − x dx 2 1 2 3 = x + x − x − x + c 2 1 2 2 5 2 2 1 5 2 （2） − dx x x 2 3 sin 4sin 1 = − dx x xdx 2 sin 1 4sin = −4cos x + cot x + c （3） dx x x x − 3 2 3 5 2 = − dx x ) ] 3 2 [2 5( x c x + − = − ) 3 2 ( ln 2 ln 3 5 2 （4） dx x x x 2 2 cos sin cos 2 dx x x x x − = 2 2 2 2 cos sin cos sin = (csc x − sec x)dx 2 2 = −cot x − tan x + c 【课后训练与提高】 （A） 一、判断下列命题的真假 1、一切初等函数在其定义区间上都有原函数. （ ） 2、 ( f (x)dx) = f (x) . （ ） 3、函数 ln x 与 ln x 是同一函数的原函数. （ ） 4、若 f (x)dx = F(x) + c ,则 f g x dx = F g x + c [ ( )] [ ( )] . （ ） 二、填空题 1、若 f (x)dx = cos(ln x) + c ,则 f (x) = . 2、若已知 2 1 1 ( ) x f x − = ,且 2 (0) f = ,则 f (x) =
4、∫(x2-3x+2)dc=」 6secx(secx-tan x)dx= 三、计算下列积分 4∫ d sin2x+2cos2x 5、∫sin5 xcosxdx 6、∫3e'dk 7∫eos5h 8、 arctan xdx 1+x2 (B) 一、计算下列积分 n 1+x dx 1-x 3、∫++2 x3 r21-5 5、」10 一dx tan x dx d 8、∫tan'xdx 9、 r1+cos2xdx J1-cos2x to. 二、已知f(x)的一个原函数为x2e2x,求f(x). 三、已知函数f(x)的切线方程为sec2x+sinx,且f(O)=1,求f(x)的表达式
3、 = x x dx 2 . 4、 (x − 3x + 2)dx = 2 . 5、 = + dx x x 2 2 1 . 6、 sec x(sec x − tan x)dx = . 三、计算下列积分 1、 a − x dx 2、 x x dx ln 3、 + + 2 5 4x x dx 4、 x + x dx 2 2 sin 2cos 5、 sin x cos xdx 5 6、 e dx x x 3 7、 dx x 2 cos 2 8、 + dx x x 2 1 arctan （B） 一、计算下列积分 1、 + dx x x 1 4 5 2、 − + − dx x x x 1 1 ln 1 1 2 3、 + + − dx x x x 3 4 4 2 4、 + + dx e e x x 1 1 3 5、 + − − dx x x x 10 2 5 1 1 6、 dx x x cos tan 7、 − + dx e e x x 1 8、 xdx 4 tan 9、 dx x x − + 1 cos 2 1 cos 2 10、 + dx x x 1 3 二、已知 f (x) 的一个原函数为 x x e 2 2 ,求 f (x) . 三、已知函数 f (x) 的切线方程为 sec x sin x 2 + ,且 f (0) = 1,求 f (x) 的表达式