第二讲不定积分法I(第一、二换元法) 【目的与要求】 1、熟练掌握换元积分法： 2、掌握典型的第二换元积分法. 【知识要点】 1、第一换元积分法（凑微分）设函数f()在区间I上连续，函数f()在区间J上 可导，且p(J)cI,则 (x(x)dx=[f(u)dul 2、 第二换元积分法 设函数f(x)在区间I上连续，函数W(t)在区间J上可导， 且w(J)cI,'(t)≠0，则 ∫fx)达=可(di'e 其中1=y(x)是x=y(t)的反函数. 【重点与难点】 重点：第一换元积分法（凑微分法）· 难点：1、凑微分的技巧： 2、第二换元积分法， 【典型例题】 例1求下列不定积分 Jx-1 dk (2) arctan x(1+x) sinx+cosx (3) -dx Jsin x-cosx
第二讲 不定积分法Ⅰ（第一、二换元法） 【目的与要求】 1、熟练掌握换元积分法; 2、掌握典型的第二换元积分法. 【知识要点】 1、第一换元积分法（凑微分） 设函数 f (u) 在区间 I 上连续,函数 f (u) 在区间 J 上 可导,且 (J ) I ,则 = = ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x f x x dx f . 2、 第二换元积分法 设函数 f (x) 在区间 I 上连续,函数 (t) 在区间 J 上可导, 且 (J ) I , (t) 0 ,则 − = = ( ) ( ) [ [ ( )] ( ) ] 1 t x f x dx f t t dt 其中 ( ) 1 t x − = 是 x = (t) 的反函数. 【重点与难点】 重点:第一换元积分法（凑微分法）. 难点: 1、凑微分的技巧; 2、第二换元积分法. 【典型例题】 例 1 求下列不定积分 （1） − dx x x 1 1 2 （2） + dx x x x (1 ) arctan （3） − + dx x x x x 3 sin cos sin cos （4） + dx x x 2 3 9 解:（1） − dx x x 1 1 2 dx x x − = 2 2 ) 1 1 ( 1
d V1- 1 =-arcsin-+c artan区=∫1+x (2) 2arctand √x1+x) =2arctan xd(arctanx) =(arctanx)2+c (3) sin x+cosx Jsin x-cosx dx=[(sin x-cosx)3d(sin x-cosx) 3 (sin x-cosx)+c wja -d(x2) -a-g2) =2r-9(9+x2+c 例2利用第二换元法求下列积分 ∫+ dx d (2) ,(a>0) x2+a dx x 8)∫4-司 ④1+ 解：设x则血=户业代入人原式海 --jG-1+
− = − 2 ) 1 1 ( 1 x x d c x = − + 1 arcsin （2） + dx x x x (1 ) arctan + = d x x x 2 1 ( ) 2arctan = 2 arctan xd(arctan x) = x + c 2 (arctan ) （3） − + dx x x x x 3 sin cos sin cos = − − − (sin cos ) (sin cos ) 3 1 x x d x x = x − x + c 3 2 (sin cos ) 2 3 （4） + dx x x 2 3 9 + = xdx x x 2 2 9 + + − = ( ) 9 9 9 2 1 2 2 2 d x x x + = − ) ( ) 9 9 (1 2 1 2 2 d x x = [x − 9ln( 9 + x )] + c 2 1 2 2 例2 利用第二换元法求下列积分 （1） ( +1) 4 2 x x dx （2） + , ( 0) 2 2 a x a dx （3） x(4 − x) dx （4） + x e dx 1 解:（1）设 t x 1 = ,则 dt t dx 2 1 = − .代入原式,得 ( +1) 4 2 x x dx dt t t + = − 2 4 1 + = − − + dt t t ) 1 1 ( 1 2 2
、3 3+1-arctant+c 3x+ (2)解法一： 设x=tant,,(←T0,则dk=2tdt.代入原式，得 可 2arcsin-+c
t t c t = − + − arctan + 3 3 c x x x = − + − + 1 arctan 1 3 1 2 （2）解法一: 设 ) 2 2 tan ,( x = a t − t ,则 dx a tdt 2 = sec .代入原式,得 + 2 2 x a dx = dt a t a t sec sec 2 = sec tdt = ln sect + tan t + c c a x a a x + + = ln( + ) 2 2 1 2 2 = ln( x + x + a ) + c 解法二: 设 x = asht ,那么 dx = achtdt ,代入原式,得 = + dt acht acht x a dx 2 2 = dt = t + c c a x = arsh + c a x a x = ln[ + ( ) +1] + 2 1 2 2 = ln( x + x + a ) + c （3）设 , 0 2 x = t t ,则 dx = 2tdt .代入原式,得 x(4 − x) dx − = 2 4 2 t dt c t = + 2 2arcsin
=2arcsin 区c (4)设1+e=1,则=】d.代入原式，得 1-1 -fG h ike =In-e* +C e*+1 【课后训练与提高】 (A) 一、填空题 1 a-x 3、∫(ar+b)ood&= 4、若f(x)dk=F(x)+c,则f[g(x)g(x)= 5、「esin= 二、选择题 1、设f(x)为可导函数，则(). (A)∫f(2x)=f(2x) (B)∫f'(2x)=f(2x) c可fr=/2) (D)(f(2x)dx)'=f(2x) 2、若f(x)d=F(x)+c,则ef(e)k的值为(). (A)F(e')+c (B)-F(e)+c (C)F(e)+c (D)F(e)+c
c x = + 2 2arcsin （4）设 e t x 1+ = ,则 dt t dx 1 1 − = .代入原式,得 + x e dx 1 − = t(t 1) dt dt t t − − = ) 1 1 1 ( c t t + − = 1 ln c e e x x + + = 1 ln 【课后训练与提高】 （A） 一、填空题 1、 = a − x dx . 2、 = − dx x 2 7 5 1 . 3、 ax + b dx = 100 ( ) . 4、若 f (x)dx = F(x) + c ,则 = f [g(x)]dg(x) . 5、 e xdx = x sin cos . 二、选择题 1、设 f (x) 为可导函数,则（ ）. （A） f (2x)dx = f (2x) （B） f (2x)dx = f (2x) （C） (2 ) 2 1 ( f (2x)dx) = f x （D） ( f (2x)dx) = f (2x) 2、若 f (x)dx = F(x) + c ,则 e f e dx x x ( ) − − 的值为（ ）. （A） F e c x ( ) + （B） F e c x − + − ( ) （C） F e c x + − ( ) （D） c x F e x + − ( )
3设1= 在，则1的值为(). V9-x (A) 3arcsinx+c (B)arcsin x+c (C) 3arcsin +c 3 (D)3arcsin 4设1=x本，则1的值为（)· zcos/+c 1 (A)-2cos√x+C (B)- (c)2cos+c (D) 2cos+c 三、计算下列积分 1、∫(ar+b)-d& 2、 3、∫e-2dh 4、 7、∫tanxsec2xdk 9、∫x2cos(x3+5)dk 11、J arcsindx 12、 1-sin x dx 1-x2 Jx+cosx 13、∫x(2x+5)°dx 14、 15、 -9k (x2-a2)5 17、 18、 (B) 一、计算下列积分
3、设 − = dx x I 2 9 1 ,则 I 的值为（ ）. （A） arcsin x + c 3 1 （B） c x + 3 arcsin （C） c x + 3 arcsin 3 1 （D） c x + 3 3arcsin 4、设 = dx x x I sin ,则 I 的值为（ ）. （A） − 2cos x + c （B） − cos x + c 2 1 （C） 2cos x + c （D） cos x + c 2 1 三、计算下列积分 1、 − ax + b dx n 1 ( ) 2、 dx x x + 2 1 3、 − e dx 3x 2 4、 dx x ln x 1 5、 − dx x 2 1 9 1 6、 + dx x x 2 2 3 7、 x xdx 2 tan sec 8、 dx e e x −x + 1 9、 x cos(x + 5)dx 2 3 10、 − dx x x 2 2 11、 dx x x − 2 1 arcsin 12、 + − dx x x x cos 1 sin 13、 x x + dx 10 (2 5) 14、 + + dx 1 1 x 1 15、 − dx x x 9 2 16、 − 2 3 2 2 (x a ) dx 17、 dx a x x − 2 2 2 18、 + dx x x 1 1 2 2 （B） 一、计算下列积分
sin xcosdx 1、J1+sin4x 7、∫cos3xd 8、∫cos4xdk 9、∫tan3xdk 10、∫tan4xd 山 -xfr x2v1+x2dx 15、 16、 d xx6+④ 二、设f'(sim2x)=cosx,试求f(x). (C) 一、计算积分 d x1+x2 二、试证递推公式：∫sn”x=-cossi+"-sn2x,并计算 n n [sin”xdk的值
1、 dx x x x + 4 1 sin sin cos 2、 − dx x x 2 2 1 3、 + dx x x 4 1 4、 + dx x x 2 1 sin cos 5、 + − dx x x 2 1 1 6、 + dx e x 1 1 7、 xdx 3 cos 8、 xdx 4 cos 9、 xdx 3 tan 10、 xdx 4 tan 11、 − − dx x x 2 (1 ) 1 1 12、 x + x dx 2 2 1 1 13、 (1+ ) 4 2 x x dx 14、 dx e x + 2 1 1 15、 + dx 1 sin x 1 16、 ( + 4) 6 x x dx 二、设 f (sin x) cos x 2 = ,试求 f (x) . （C） 一、计算积分 + 4 2 x 1 x dx . 二、试证递推公式: − − − = − + xdx n n x x n xdx n n 1 n 2 sin 1 cos sin 1 sin ,并计算 xdx n sin 的值