第二讲函数的求导法则 【目的与要求】 1、掌握函数的和、差、积、商的求导法则： 2、掌握反函数的求导法则； 3、掌握复合函数的求导法则. 【知识要点】 1、函数的和、差、积、商的求导法则 如果函数u=(x)及v=v(x)都在点x可导，则它们的和、差、积、商（分母为零的点 除外)都在点x可导，且 (1)[u(x)±v(x)]'=d'(x)±v'(x)方 (2)[u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v'(x); u(x) u'(x)v(x)-u(x)v(x) 3 (v(x)≠0)， v(x) v2(x) 2、反函数的求导法则 如果函数x=fy)在区间I,内单调、可导且f(y)≠0，则它的反函数y=∫-(x) 在区间I={x|x=f(y),y∈I,}内也可导，且 [/-axr=1 或 1 '(y) dx dx dy 3、复合函数的求导法则 如果u=g(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x]在 点x可导，且=(wg'() 或 dydy du dx dx du dx 4、基本求导公式 (1)(c)'=0 (2)(x")=ux"(3)(sinx)'=cosx (4)(cosx)'=-sinx (5)(tanx)'=sec2x (6)(cotx)'=-csc2x (7)(secx)'=secxtanx (8)(cscx)'=-cscxcotx (9)(a)'=aIna
第二讲 函数的求导法则 【目的与要求】 1、掌握函数的和、差、积、商的求导法则; 2、掌握反函数的求导法则; 3、掌握复合函数的求导法则. 【知识要点】 1、函数的和、差、积、商的求导法则 如果函数 u = u(x) 及 v = v(x) 都在点 x 可导，则它们的和、差、积、商(分母为零的点 除外) 都在点 x 可导，且 (1) [u(x) v(x)]' = u'(x) v'(x); (2) [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x); (3) 2 ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ( ) 0). ( ) ( ) u x u x v x u x v x v x v x v x − = 2、反函数的求导法则 如果函数 x = f ( y) 在区间 y I 内单调、可导且 f '( y) 0 ，则它的反函数 ( ) 1 y f x − = 在区间 { | ( ), } x y I = x x = f y y I 内也可导，且 . 1 '( ) 1 [ ( )]' 1 dy dx dx dy f y f x = = − 或 3、复合函数的求导法则 如果 u = g(x) 在点 x 可导，而 y = f (u) 在点 u = g(x) 可导，则复合函数 y = f [g(x)] 在 点 x 可导，且 dx du du dy dx dy f u g x dx dy = '( ) '( ) 或 = . 4、基本求导公式 ⑴ ( ) 0 c = ⑵ 1 ( ) x x − = ⑶ (sin ) cos x x = ⑷ (cos ) sin x x = − ⑸ 2 (tan ) sec x x = ⑹ 2 (cot ) csc x x = − ⑺ (sec ) sec tan x x x = ⑻ (csc ) csc cot x x x = − ⑼ ( ) ln x x a a a =
0 (e")=e" aDI0g。xy=1 (Inx)'=I xIna 1 (13 (arcsinx)'= √- (14 (arccosx)'=- V-R a的(arctanx')=1+x (6(arccotx)'=- +x2 【重点难点】反函数的求导法则：复合函数的求导法则。 【典型例题】 例1f)=+4cosx-sm子求fe)及f孕 解：f'(x)=3x2-4sinx 1=-4 例2y=nsin(cosx),求 解：可看成y=lnu,u=siny,v=cosx复合而成 dy dy du dy I cos(cosx)(-sinx). dx du dy dx u =ucosv.(-sinx)=--1 sin(cosx) 例3求下列函数导数： ①y=x y=e+xsin[cos'(tanx)] 解：Oy=x(rInx)=x(alna-lnx+a. ② y=-2inx-eh+sin2Canx川+xcosfcos2anx】 -2cos(tanx)-[-sin(tanx).1 cos2x =-e.(Inx)+sin[cos2(tanx)]-xcos[cos2(tan x)]-sin(2tanx).sec2x. ay-nn!) cosx.x2-2xsinx.In+ x x2
⑽ ( ) x x e e = ⑾ 1 (log ) ln a x x a = ⑿ 1 (ln ) x x = ⒀ 2 1 (arcsin ) 1 x x = − ⒁ 2 1 (arccos ) 1 x x = − − ⒂ 2 1 (arctan ) 1 x x = + ⒃ 2 1 (arccot ) 1 x x = − + 【重点难点】反函数的求导法则;复合函数的求导法则. 【典型例题】 例 1 3 ( ) 4cos sin 2 f x x x = + − ，求 f x ( ) 及 ( ) 2 f . 解: 2 f x x x ( ) 3 4sin = − 3 2 ( ) 4 2 4 f = − 例 2 y x = ln sin(cos ) ,求 dy dx . 解:可看成 y u u v v x = = = ln , sin , cos 复合而成 1 1 cos ( sin ) cos(cos ) ( sin ) sin(cos ) dy dy du dv v x x x dx du dv dx u x = = − = − − . 例 3 求下列函数导数: ① x a y x = ② 2 ln 2 sin[cos (tan )] x y e x x − = + ③ 2 sin 1 ln x y x x = 解:① 1 ( ln ) ( ln ln ) x x a x a x x y x a x x a a x a = = + x ② 2 2 ln 2 2 ln sin[cos (tan )] cos[cos (tan )] x y x e x x x x − = − + + 2 1 2cos(tan ) [ sin(tan )] cos x x x − 2 ln 2 2 2 2 ( ln ) sin[cos (tan )] cos[cos (tan )] sin(2 tan ) sec x e x x x x x x x − = − + − . ③ 2 2 sin 1 sin 1 ln ln x x y x x x x = + 2 4 2 2 cos 2 sin 1 sin ( 1) ln x x x x x x x x x x − − = +
(2sin x-xcosx).Inx-sinx] 【课后训练与提高】 (A) 求下列函数的导数或在指定点处的导数， (1)y=(2x+5)4 (2)y=cos(4-3x) (3)y=e (4)y=ln(2+x2) (5)y=sinx (6)y=(arcsin x)月 ()y=sinx-cosx,求y儿 (8)f(x)= 3+士，求f0)和f) 5- 5 (B) 求下列函数的导数 (1)y=e 3 cos2x ②y=-arccos 1 (3)y= 1+Inx 1-Inx (④)y=ln(secx+tanx) (⑤)y=arcsin ⑥)y=√+√反 (7)y=ch(shx) +x (8)y=sin2x.sin(x2)(9)y=a 0y= +x-√1-x V1+x-+V1-x Dy=arcsin 1+2 a②y=f(x2)(设f(x)可导)a3y=xarcsin +V4-x2 (C) 1、设给定抛物线y=x2+4x+3 (1)求过点(0,3)的切线、法线方程. (2)求a,b使y=2x+a,y=2x+b分别是抛物线的切线和法线方程. Inx, x≥1 2、设函数y= -x2+3x-2,0≤x≤1，求y. /x, x<0 3、 ①求和Sm=1+2x+3x2+…+mm-1(x≠1). ②当2x<1时，求lim S m→00
3 1 [(2sin cos ) ln sin ] x x x x x x = − − 【课后训练与提高】 （A） 求下列函数的导数或在指定点处的导数. (1) 4 y x = + (2 5) (2) y x = − cos(4 3 ) (3) 2 x y e − = (4) 2 y x = + ln(2 ) (5) 3 y x = sin (6) 3 y x = (arcsin ) (7) yxx = − sin cos , 求 6 x y = (8) 2 3 ( ) , 5 5 x f x x = + − 求 f (0) 和 f x ( ) . （B） 求下列函数的导数 ⑴ 3 cos2 x y e x − = ⑵ 2 1 y arccos x = ⑶ 1 ln 1 ln x y x + = − ⑷ y x x = + ln(sec tan ) ⑸ 1 arcsin 1 x y x − = + ⑹ y x x = + ⑺ y ch hx = (s ) ⑻ 2 2 y x x = sin sin( ) ⑼ x x y a = ⑽ 1 1 1 1 x x y x x + − − = + − + − ⑾ 2 arcsin 1 t y t = + ⑿ 2 y f x = ( ) （设 f x( ) 可导）⒀ 2 arcsin 4 2 x y x x = + − （C） 1、设给定抛物线 2 y x x = + + 4 3 ⑴求过点 (0, 3) 的切线、法线方程. ⑵求 a b, 使 y x a y x b = + = + 2 , 2 分别是抛物线的切线和法线方程. 2、设函数 2 ln , 1 3 2, 0 1 1 , 0 x x y x x x x x = − + − ，求 y . 3、 ①求和 2 1 1 2 3 ( 1) m m S x x mx x − = + + + + . ②当 2 1 x 时，求 lim m m S →
4、设y=e+lnx(x>0),求其反函数x=x)的导数 dv 5、设f,为可导函数，且y=fe)e,求 dx
4、设 ln ( 0) x y e x x = + ，求其反函数 x x y = ( ) 的导数 dx dy . 5、设 f x( ) 为可导函数，且 ( ) ( )x f x y f e e − − = ，求 dy dx