第一讲定积分的元素法、定积分在几何上的应用 【目的与要求】 1、掌握定积分的元素法： 2、会用元素法，解决几何上的问题， (掌握平面图形的面积、体积、弧长的计算公式) 【知识要点】 1、定积分的元素法： 微元素dU=f(x)d 2、应用元素法计算平面图形的面积： 直角坐标系情形： ①A=心fxd ②A=∫5()-川 ③由曲线 x=p() y=w(t) 成平面图形面积A=∫y)o')dh (其中t和工，对应曲线起点与终点的参数值)在[t,t2](或[t2,])上x=p()具 有连续导数，y=W(t)连续. 极坐标系情形： 由曲线r=p(0)及射线B=a、B=B围成平面图形面积（这里，p(0)在[a,B]上连 续，且p(0)≥0). A-J"loOFd0. 3、应用元素法计算空间某些立体图形的体积： ①由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的平面图形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为：V=心πfxd ②由连续曲线x=p(y)、直线y=c、y=d及y轴所围成的平面图形绕y轴旋转一
第一讲 定积分的元素法、定积分在几何上的应用 【目的与要求】 1、掌握定积分的元素法; 2、会用元素法,解决几何上的问题. （掌握平面图形的面积、体积、弧长的计算公式） 【知识要点】 1、定积分的元素法; 微元素 dU = f (x)dx 2、应用元素法计算平面图形的面积; 直角坐标系情形: ① = b a A f (x)dx ② 2 1 | ( ) ( ) | b a A f x f x dx = − ③由曲线 = = ( ) ( ) y t x t 围成平面图形面积 2 1 ( ) ( ) . t t A t t dt = （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值）在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上 x = (t) 具 有连续导数, y = (t) 连续. 极坐标系情形: 由曲线 r = ( ) 及射线 = 、 = 围成平面图形面积（这里,( ) 在 [, ] 上连 续,且 ( ) 0 ）． 1 2 [ ( )] . 2 A d = 3、应用元素法计算空间某些立体图形的体积; ①由连续曲线 y = f (x) 、直线 x = a、 x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的立体,体积为: V f x dx b a 2 [ ( )] = ②由连续曲线 x = ( y) 、直线 y = c 、 y = d 及 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一
周而成的立体，体积为V=π[p川 V=∫[py少（绕y轴旋转一周） ③平行截面面积为已知的立体的体积： 立体在x=a,x=b(a<b)之间，A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积，则立体 体积V=心A(x达 4、应用元素法求平面曲线的弧长： ①曲线方程为y=f(x) a≤x≤b,则s=∫√+y严k x=(1) ②曲线的参数方程为 (a≤t≤B)其中p(t),w(t)在[a,B]上具有连续导 y=w(t) 数，则 s-S o0+vROd. ③曲线的极坐标方程为r=r(0)(a≤0≤B)其中p(0)在[a,B]上具有连续导数， 则 s-5ao 【重点与难点】 重点：利用定积分求几何量 难点：所求量微元素的建立 【典型例题】 例1求由曲线y=x2与直线x=4,x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积， 解：（自己画图） 3 曲线y=x2与x=4的交点为(4,8)，所求体积等于矩形(0≤y≤8,0≤x≤4) 2 绕y轴旋转而成的旋转体的体积减去由曲线y=x2(既x=y3)与直线y=8,x=0所 围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积，即： -B..w-oy- 例2求由曲线r=√2sn0,r2=cos20所围图形公共部分的面积
周而成的立体,体积为 V y dy d c 2 [( )] = V y dy d c 2 [( )] = （绕 y 轴旋转一周） ③平行截面面积为已知的立体的体积: 立体在 x = a, x = b （ a b ）之间, A(x) 表示过点 x 且垂直于 x 轴的截面面积,则立体 体积 V A x dx b a = ( ) 4、应用元素法求平面曲线的弧长; ① 曲线方程为 y = f (x) (a x b) ,则 2 1 . b a s y dx = + ② 曲线的参数方程为 , ( ) ( ) = = y t x t ( t ) 其中 (t), (t) 在 [, ] 上具有连续导 数,则 2 2 s t t dt ( ) ( ) . = + ③ 曲线的极坐标方程为 r = r( ) ( ) 其中 ( ) 在 [, ] 上具有连续导数, 则 2 2 s r r d ( ) ( ) . = + 【重点与难点】 重点:利用定积分求几何量. 难点:所求量微元素的建立. 【典型例题】 例 1 求由曲线 2 3 y = x 与直线 x = 4 , x 轴所围图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解:（自己画图） 曲线 2 3 y = x 与 x = 4 的交点为（4, 8）,所求体积等于矩形（ 0 8,0 4 y x ） 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积减去 由曲线 2 3 y = x （既 3 2 x = y ）与直线 y = 8, x = 0 所 围图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积,即: 2 8 8 2 2 3 0 0 V dy y dy = − 4 ( ) = 8 7 3 0 3 128 7 y − = 7 512 例 2 求由曲线 r = 2 sin , cos 2 2 r = 所围图形公共部分的面积
解：（自己画图） 先求圆r=√2sn0和双纽线r2=cos20的交点： 解方程组 r=√2sine r2 cos 20 2sin20=r2=cos 20=1-2sin20 所以4sin20=1,sin0=± ),0=π5π 636 26 由r=√2sin0≥0和r2=cos20≥0知圆的极角范围：0≤0≤π， 双纽线的极角范围：一三二44≤日≤⊙流 4 4 由图形的对称性，故所求面积为： 4=a}sn0md0-月 -cos20d0] =+15 622 例3设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时，y≥0，又已知该抛物线与x 轴及直线x=1所围成图形面积为。，试确定α，b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体 的体积V最小. 解：由于曲线过原点，故c=0 可设抛物线为y=ax2+bx 由愿意有A=∫(ax2+bx)=+- =3+23 所以b=21-a) r=可+加r=a号+空分
解:（自己画图） 先求圆 r = 2 sin 和双纽线 cos 2 2 r = 的交点: 解方程组 = = cos 2 2 sin 2 r r 有 2 2 2 2sin = r = cos 2 =1− 2sin 所以 4sin 1 2 = , 2 1 sin = , 6 5 , 6 = 交点 2 ( , ) 2 6 A = , 2 5 ( , ) 2 6 B = ） 由 r = 2 sin 0 和 cos 2 0 2 r = 知圆的 极角范围: 0 , 双纽线的极角范围: 4 4 − ; 4 5 4 3 由图形的对称性,故所求面积为: 6 2 4 0 6 1 1 2[ ( 2 sin ) cos 2 2 2 A d d = + ] 1 3 6 2 2 = + − 例 3 设抛物线 y = ax + bx + c 2 过原点,当 0 x 1 时, y 0 ,又已知该抛物线与 x 轴及直线 x =1 所围成图形面积为 3 1 ,试确定 a,b, c ,使此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体 的体积 V 最小. 解: 由于曲线过原点,故 c = 0 可设抛物线为 y = ax + bx 2 由题意有 1 2 0 1 ( ) 3 2 3 a b A ax bx dx = + = + = 所以 (1 ) 3 2 b = − a 2 2 1 2 2 0 ( ) ( ) 5 2 3 a ab b V ax bx dx = + = + +
91 +3a-+ 41-d)] 2 2a,128 令V'=5+33 a- 0-a1=0得a=- 27 ,代入得b= 5 5、4π 又因V(-=135 0知体积最小， 【课后训练与提高】 (A) 一、填空题 1、曲线xy=1,y=x,x=2所围成图形的面积是 2、由曲线y=f(x)(f(x)>0)和直线x=a,x=b(aa>0)所围成平面图形 面积是( ) 11 B、二- b a C、b-a D、a-b a b 2、曲线r=30(0≤0≤2π)所围成平面图形面积是( A、4π3 B、12π3 C、6π3 D、3π3 3、曲线y=sin2x(0≤x≤π)与x轴所围成平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的 体积为( ) 4π 2π2 A、 B、 D、 2π 3 4-3 3 3 4、曲线y=e与其过原点的切线及y轴所围成平面图形的面积为(
2 1 4 2 [ (1 ) (1 ) 5 3 27 a = + − + − a a a ] 令 (1 )] 0 27 8 3 2 3 1 5 2 = [ + − a − − a = a V 得 4 5 a = − ,代入得 2 3 b = 又因 0 135 4 ) 4 5 (− = V 知体积最小. 【课后训练与提高】 （A） 一、填空题 1、曲线 xy =1, y = x , x = 2 所围成图形的面积是 . 2、由曲线 y = f (x) （ f (x) 0 ）和直线 x = a, x = b （ a b ）及 x 轴所围成平面图 形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 . 3、由曲线 2 2 x y = 和直线 x =1, x = 2, y = −1 所围成平面图绕 y = −1 旋转而成的旋转 体的体积为 . 4、曲线 r = 2(1+ cos ) 的全长为 . 5、由曲线 x y = e , x y e − = 及直线 x =1 所围成图形的面积是 . 二、选择题: 1、曲线 y = −ln x , y 轴与直线 y = ln a , y = ln b , (b a 0) 所围成平面图形 面积是（ ）. A、 b a 1 1 − B、 a b 1 1 − C、b − a D、a − b 2、曲线 r = 3 （ 0 2 ）所围成平面图形面积是 （ ）. A、 3 4 B、 3 12 C、 3 6 D、 3 3 3、曲线 y x 2 3 = sin （ 0 x ) 与 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的 体积为（ ）. A、 3 4 B、 3 4 C、 3 2 2 D、 3 2 4、曲线 x y = e 与其过原点的切线及 y 轴所围成平面图形的面积为（ ）
A、∫e-ex)d B、∫iny-ylny)d c∫ie-xed D、Jny-ynya 三、计算： 1、求由下列曲线所围成的图形的面积： (1)y=x2,x+y=0,及x=2: (2)y=hx,y=0,x=三及x=2: (3)摆线x=a(1-snt),y=a(1-cost)的一拱与x轴所围成平面图形面积. 2、求下列曲线的弧长： )x=y2-hy上相应于从1到e一段弧的长度 (2)计算星形线x=acos3t,y=asn3t的全长 (3)计算曲线y= （B-对上相应与于1≤x≤3的一段弧的长度. 3 3、求由曲线y=x3,x=2,y=0所围成平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积. 4、求圆(x-b)2+y2=a2(b>a>0)绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积. 5、求由曲线y=sinx,y=0,0≤x≤π所围成平面图形绕x轴，y轴旋转一周生成旋 转体的体积。 6、计算底面是半径为R=2的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三 角形的立体的体积 (B) 1、求曲线r=√3a,r=2acos0所围成图形的公共部分面积. 2、求曲线r=3c0s0,r=1+c0s0所围成图形的公共部分面积. 3、求由曲线y=xe与直线y,=ex所围成的图形面积. 4、求由曲线y=x+二与直线x=2,y=2所围成的图形面积. 5、求由曲线y=e-及直线y=e2和x=0所围成图形的面积及其绕x轴旋转而成的旋 转体的体积
A、 1 0 ( ) x e ex dx − B、 1 (ln ln ) e y y y dx − C、 1 ( ) e x x e xe dx − D、 1 0 (ln ln ) y y y dx − 三、计算: 1、求由下列曲线所围成的图形的面积: （1） 2 y = x , x + y = 0 ,及 x = 2 ; （2） y = ln x , y = 0 , 2 1 x = 及 x = 2 ; （3）摆线 x = a(1− sin t) , y = a(1 − cost) 的一拱与 x 轴所围成平面图形面积. 2、求下列曲线的弧长: （1） x y ln y 2 1 4 1 2 = − 上相应于从 1 到 e 一段弧的长度; （2）计算星形线 x a t 3 = cos , y a t 3 = sin 的全长; （3）计算曲线 (3 ) 3 x x y = − 上相应与于 1 x 3 的一段弧的长度. 3、求由曲线 3 y = x , x = 2 , y = 0 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积. 4、求圆 2 2 2 (x − b) + y = a （ b a 0) 绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 5、求由曲线 y x y x = = sin , 0, 0 所围成平面图形绕 x 轴, y 轴旋转一周生成旋 转体的体积. 6、计算底面是半径为 R = 2 的圆,而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三 角形的立体的体积. （B） 1、求曲线 r = 3a , r = 2acos 所围成图形的公共部分面积. 2、求曲线 r = 3cos , r =1+ cos 所围成图形的公共部分面积. 3、求由曲线 1 x y xe = 与直线 2 y ex = 所围成的图形面积. 4、求由曲线 1 y x x = + 与直线 x y = = 2, 2 所围成的图形面积. 5、求由曲线 x y e − = 及直线 2 y = e 和 x = 0 所围成图形的面积及其绕 x 轴旋转而成的旋 转体的体积
6、求由抛物线y2=4(1-x)及抛物线在点(0,2)的切线，x轴所围成图形绕x轴旋 转的旋转体的体积 7、当a为何值时，抛物线y=x2与三直线x=a,x=a+1,y=0所围成图形的面积最 小 8、函数y=snx(0≤x≤)，y=1(0≤10)所围图形公共部分的面积. 10、设平面图形由x2+y2≤2，y≥x所确定，求图形绕x=2旋转一周所得的旋转体的 体积. 11、设D是由抛物线y=2x2和直线x=a,x=2及y=0所围成的平面区域： 设D,是由抛物线y=2x2和直线x=a,y=0所围成的平面区域，其中00,x≥0)与y=1-x2交于点A,过坐标原点O和A的直线与 曲线y=x围成一平面图形，问α为何值时该图形绕X轴旋转一周所得的旋转体体积最大， 最大体积是多少？
6、求由抛物线 4(1 ) 2 y = − x 及抛物线在点（0, 2）的切线, x 轴所围成图形绕 x 轴旋 转的旋转体的体积. 7、当 a 为何值时,抛物线 2 y = x 与三直线 x = a, x = a +1, y = 0 所围成图形的面积最 小. 8、函数 y = sin x （ 2 0 x ）, y = t （ 0 t 1 ）, x = 0 , 2 x = 问当 t 取何值时围 成的面积最小. 9、求由曲线 r = asin , r = a(cos + sin ) （ a 0 ）所围图形公共部分的面积. 10、设平面图形由 x + y 2, y x 2 2 所确定,求图形绕 x = 2 旋转一周所得的旋转体的 体积. 11、设 D1 是由抛物线 2 y = 2x 和直线 x = a, x = 2 及 y = 0 所围成的平面区域; 设 D2 是由抛物线 2 y = 2x 和直线 x = a, y = 0 所围成的平面区域,其中 0 a 2 （1）试求 D1 绕 x 轴旋转的旋转体的体积 V1 ; D2 绕 y 轴旋转的旋转体的体积 V2 . （2）问当 a 为何值时 V1 +V2 取得最大值？试求此最大值. 12、过坐标原点作曲线 y = ln x 的切线,该切线与曲线 y = ln x 及 X 轴围成平面图形 D a) 求 D 的面积 A ; b) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 13、设曲线 2 y ax a x = ( 0, 0) 与 2 y x = −1 交于点 A ,过坐标原点 O 和 A 的直线与 曲线 2 y ax = 围成一平面图形,问 a 为何值时该图形绕 X 轴旋转一周所得的旋转体体积最大, 最大体积是多少？