第四讲空间直线及其方程 【目的与要求】 1、熟练掌握并会建立各种形式的直线方程： 2、掌握直线与直线、平面与直线之间的平行、垂直、相交的条件和夹角公式： 3、会求点到直线的距离： 4、掌握平面束方程及其应用. 【知识要点】 1、直线的一般式方程和对称式方程： Ax+By+Cz+D=0 般式方程： Ax+B3y+C2z+D=0 对称式方程：X-=y-必-- m 2、点到直线的距离公式： 设M。是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为5，则点M,到直线 L的距离为： MM×s d= 同 3、平面束方程： Ax+By+Cz+D=0 过直线L: 的平面束方程为 Ax+B3y+C2+D=0 Ax+By+Cz+D+(Ax+B2y+C,z+D2)=0(其中元为任意常数) 【重点与难点】 重点：1、直线的对称式方程和一般式方程的转化： 2、直线方程与平面方程的综合应用. 难点：平面束方程的运用 【典型例题】 例1求过点A(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z-10=0,又与直线
第四讲 空间直线及其方程 【目的与要求】 1、熟练掌握并会建立各种形式的直线方程; 2、掌握直线与直线、平面与直线之间的平行、垂直、相交的条件和夹角公式; 3、会求点到直线的距离; 4、掌握平面束方程及其应用. 【知识要点】 1、直线的一般式方程和对称式方程; 一般式方程: + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 对称式方程: p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 2、点到直线的距离公式; 设 M0 是直线 L 外一点,M 是直线 L 上任意一点,且直线的方向向量为 s ,则点 M0 到直线 L 的距离为: s M M s d = 0 3、平面束方程: 过直线 L: + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 的平面束方程为 A1 x + B1 y +C1 z + D1 + (A2 x + B2 y +C2 z + D2 ) = 0 （其中 为任意常数） 【重点与难点】 重点: 1、直线的对称式方程和一般式方程的转化; 2、直线方程与平面方程的综合应用. 难点:平面束方程的运用. 【典型例题】 例 1 求过点 A(-1 0 4 ，，) 且平行于平面 3x − 4y + z −10 = 0 ,又与直线
L。:x+1=y,3-三相交的直线方程 112 解法一：己知平面3x-4y+z-10=0的法向量7={3，-4,1}， 那么过点A(-1,0,4)且平行于平面3x-4y+z-10=0的平面π 的方程为： 3(x+1)-4(y-0)+(z-4)=0 即3x-4y+z-1=0 已知直线L。:x+_y二3=号的参数方程为： 1 1 x=-1+t,y=3+t,z=2t代入平面π的方程后得t=16 故直线L。与平面π的交点为B(15,19,32),则过A,B的直线方程为 x+1=y=2-4 161928 此即为所求直线的方程. 3x-4y+z-1=0 注：交点B也可用解联立方程组{x+1=y-3 的方法求得。 x+1= 2 解法二： 过点A(-1,0,4)且平行于已知平面3x-4y+z-10=0的平面π的方程 为：3x-4y+z-1=0 又因点C(-1,3,0)在已知直线L。 x+1_y-3=ξ上 112 若设P(x,y,z)为所求直线上的任意点，则AC,5={1,1,2}及AP三向量共面 所以，过点A(-1,0,4)及已知直线L,的平面方程为： x+1 y z-4 11 =0即-10x+4y+3z-22=0 0 3-4
L0 : 1 2 3 1 x 1 y z = − = + 相交的直线方程. 解法一:已知平面 3x − 4y + z −10 = 0 的法向量 n = {3,-4,1}, 那么过点 A(-1 0 4 ，，) 且平行于平面 3x − 4y + z −10 = 0 的平面 的方程为: 3(x +1) − 4( y − 0) + (z − 4) = 0 即 3 4 1 0 x y z − + − = 已知直线 L0 : 1 2 3 1 x 1 y z = − = + 的参数方程为: x = −1+ t, y = 3 + t,z = 2t 代入平面 的方程后得 t =16 故直线 L0 与平面 的交点为 B(15 19 32 ， ， ) ,则过 A,B 的直线方程为 28 4 16 19 1 − = = x + y z 此即为所求直线的方程. 注:交点 B 也可用解联立方程组 3 4 1 0 1 3 1 2 x y z x y z x − + − = + = − + = 的方法求得. 解法二: 过点 A(-1 0 4 ，，) 且平行于已知平面 3x − 4y + z −10 = 0 的平面 的方程 为: 3x − 4y + z −1= 0 又因点 C(-1, 3, 0) 在已知直线 L0 : 1 2 3 1 x 1 y z = − = + 上 若设 P x y z ( , , ) 为所求直线上的任意点,则 AC , s ={1, 1, 2}及 AP 三向量共面. 所以,过点 A(-1 0 4 ，，) 及已知直线 L0 的平面方程为: 1 4 1 1 2 0 0 3 4 x y z + − = − 即 −10x + 4y + 3z − 22 = 0
3x-4y+z-1=0 故所求直线的方程为 10x-4y-3z+22=0 解法三：设(m,n,p}为所求直线L的方向向量， 因A(-1,0,4),C(-1,3,0)在直线L上， 故{m,n,p},{0,3,-4},{1,1,2}三向量共面，有 m n P 11 =0 即-10m+4n+3p=0 0 3 -4 又因为L∥已知平面 所以{m,n,p}.{3,-4,1}=0 得 3m-4n+p=0 所以m= 4p 19p 7.n= 28 故所求直线L的方程为x+上=2-4 161928 解法四： 设点B(x0,yo,20)为所求直线L与已知直线L,的交点， 则6+--3==1 1 12 即x0=t-1,yo=t+3,20=21 又因为所求直线L平行已知平面，则有： {x0+1,yo-0,z0-4}·{3,-4,1}={t,t+3,21-4}·{3,-4,1} =3t-4t+3)+2t-4=t-16=0 所以t=16,进而x=15,%=19,2。=32 故所求直线方程为X+1=y=-4 161928 例2设两直线l x-3y+z=0 2x-4y+:=-,6x=+=2二3 34 2,求过1，且平行于1，的平
故所求直线的方程为 3 4 1 0 10 4 3 22 0 x y z x y z − + − = − − + = 解法三: 设{ m, n, p }为所求直线 L 的方向向量, 因 A(-1 0 4 ，，) ,C(-1 3 0 ，，) 在直线 L 上, 故{ m, n, p },{0, 3, -4},{1, 1, 2}三向量共面,有 1 1 2 0 0 3 4 m n p = − 即 −10m + 4n + 3p = 0 又因为 L ∥已知平面 所以{ m, n, p } {3, -4, 1}=0 得 3m − 4n + p = 0 所以 7 4 p m = , 28 19p n = 故所求直线 L 的方程为 28 4 16 19 1 − = = x + y z 解法四: 设点 B （ 0 0 0 x , y ,z ）为所求直线 L 与已知直线 L0 的交点, 则 t x y z = = − = + 1 2 3 1 0 1 0 0 即 x t 1, y t 3,z 2t 0 = − 0 = + 0 = 又因为所求直线 L 平行已知平面,则有: { x0 +1, y0 −0,z0 − 4 } {3,-4,1}= { , 3, 2 4} t t t + − {3,-4,1} = 3t − 4(t + 3) + 2t − 4 = t −16 = 0 所以 t =16 ,进而 0 0 0 x y z = = = 15, 19, 32 故所求直线方程为 28 4 16 19 1 − = = x + y z 例 2 设两直线 1 l : − + = − − + = 2 4 1 3 0 x y z x y z , 4 2 3 1 : 2 − = + = y z l x ,求过 1 l 且平行于 2 l 的平
面方程 解：设过1的平面束方程为 x-3y+z+(2x-4y+z+1)=0 即(1+22)x+(-3-4)y+(1+2)z+元=0 则该平面π，的法向量 i2=(1+2元，-3-4元，1+) 又直线，：x=+1_一2的方向向量5，=山，3,9 3 4 因为直线l,平行于平面π 则有1+22--3-421+元 1 4 3 解得1=- (把入代入平面束方程) 则所求平面为：x+3y-2z+3=0. 【课后训练与提高】 (A) 一、选择题 x+2y=1 1、直线 与直线=”1-1的 =0=1 关系是(). 2y+z=1 A、平行 B、重合 C、垂直 D、既不平行也不垂直 2、直线二2片2与平面x=y-2+1=0的关系是（)，一 A、垂直 B、相交但不垂直C、直线在平面上 D、平行 两线么骨牛与 x-y=6 的夹角为()· 2y+z=3 A、6 、4、设空间直线的对称式方程为：。='- = 三则该直线必(）· A、过原点且垂直于OX轴 B、过原点且垂直于OY轴 C、过原点且平行于OX轴 D、过原点且垂直于OZ轴
面方程. 解: 设过 1 l 的平面束方程为 x −3y + z + (2x − 4y + z +1) = 0 即 (1+ 2)x + (−3− 4) y + (1+ )z + = 0 则该平面 的法向量 n = (1 2 , 3 4 , 1 ) + − − + 又直线 4 2 3 1 : 2 − = + = y z l x 的方向向量 2 s =(1, 3, 4) 因为直线 2 l 平行于平面 则有 4 1 3 3 4 1 1 2 + = − − = + 解得 = 5 3 − （把 代入平面束方程） 则所求平面为: x + 3y − 2z + 3 = 0 . 【课后训练与提高】 （A） 一、选择题 1、直线 + = + = 2 1 2 1 y z x y 与直线 1 1 0 1 1 − = − = x y z 的 关系是（ ）. A、平行 B、重合 C、垂直 D、既不平行也不垂直 2、直线 2 2 1 1 3 + = − = x − y z 与平面 x − y − z + 1 = 0 的关系是（ ）. A、垂直 B、相交但不垂直 C、 直线在平面上 D、平行 3、两直线 L1 : 1 8 2 5 1 1 + = − − = x − y z 与 L2 : + = − = 2 3 6 y z x y 的夹角为（ ）. A、 6 B、 4 C、 3 D、 2 4、设空间直线的对称式方程为: 0 1 2 x y z = = 则该直线必（ ）. A、过原点且垂直于 OX 轴 B、过原点且垂直于 OY 轴 C、过原点且平行于 OX 轴 D、过原点且垂直于 OZ 轴
二、填空题 1、设直线X-1=y+2=E-)与平面-3x+6y+3z+25=0垂直，则 m 2 m= 2、若直线 3x-y+2z-6=0与Z轴相交，则D一 x+4y-z+D=0 三、计算题 1、求过点(-3,2，-5)且与两平面x-4z-3=0和2x-y-5z+1=0都平行的直 线方程。 2、求过点(1,0，-2)且与平面3x+4y-:+6=0平行，又与直线X-3=y+2-三 14=i 垂直的直线方程。 3、求点P1,1,4到直线L:x-2=y-3-2-4 1 1-2 的距离. 4、求直线L:X-1-)=-在平面x:x-y+2:-1=0上的投影直线方程， 11-1 5、设直线L:x+1=y-1=二和直线L2:x二1=y+-相交于一点，试求交点 12 及元. 6、把直线L的一般式方程 x+2y-3z=4 化为对称式方程. 3x-y+5z=-9 7、已知平面元：通过直线L:x,2=y+1--2且垂直于平面 324 π，：x+4y-3z+7=0,求平面π的方程. 2x-4y+z=0 8、求直线 3x-y-2z-9=0 在平面4x-y+z=1上的投影直线方程。 (B) 1、求经过直线 x+5y+z=0 且与平面π：x-4y-8z+12=0相交成7角的平面 x-z+4=0 方程. 2、设直线L过点B(1,1,1),并且与直线L1:x=二-三相交，与直线 23 L,:,=二2-一3垂直，试求直线L的方程 2=14
二、填空题 1、设直线 ( 1) 2 1 2 = − + = − z y m x 与平面 − 3x + 6y + 3z + 25 = 0 垂直,则 m= , = . 2、若直线 + − + = − + − = 4 0 3 2 6 0 x y z D x y z 与 Z 轴相交,则 D = . 三、计算题 1、求过点（-3, 2, -5）且与两平面 x − 4z − 3= 0 和 2x − y − 5z + 1= 0 都平行的直 线方程. 2、求过点（1, 0, -2）且与平面 3x + 4y − z + 6 = 0 平行,又与直线 4 1 2 1 x 3 y z = + = − 垂直的直线方程. 3、求点 P(1, 1, 4) 到直线 L : 2 4 1 3 1 2 − = − = x − y z 的距离. 4、求直线 L : 1 1 1 1 1 − − = = x − y z 在平面 : x − y + 2z −1= 0 上的投影直线方程. 5、设直线 L1 : x +1= y −1= z 和直线 L2 : 1 2 1 1 1 − = + = x − y z 相交于一点,试求交点 及 . 6、把直线 L 的一般式方程 − + = − + − = 3 5 9 2 3 4 x y z x y z 化为对称式方程. 7、已知平面 :通过直线 4 2 2 1 3 2 : − = + = x − y z L 且垂直于平面 1 : x + 4y − 3z + 7 = 0 ,求平面 的方程. 8、求直线 2 4 0 3 2 9 0 x y z x y z − + = − − − = 在平面 4x − y + z =1 上的投影直线方程. (B) 1、求经过直线 5 0 4 0 x y z x z + + = − + = 且与平面 : x − 4y − 8z +12 = 0 相交成 4 角的平面 方程. 2、设直线 L 过点 0P (1, 1, 1) ,并且与直线 L1 : 2 3 y z x = = 相交,与直线 L2 : 4 3 1 2 2 1 − = − = x − y z 垂直,试求直线 L 的方程
3、求与已知直线L:牛3-”二5=三和1，：二3-”中-都相交且与 211 141 L3:x+2=y-=-3平行的直线方程 2-1 4、直线L过点2，山3)且与直线儿：2-：十2相交，且平行于平面 π：3x-2y+z+5=0求直线L的方程. 5、设-平面垂直于：=0，并通过从点(1，山，)到直线-2+1=0 的垂线，求此平 x=0 面的方程. 6、试求二直线L:+1y+3与直线L,片2=7的公垂线方程 321 4x+2y+3z=6 7、求通过直线 且与球面x2+y2+z2=4相切的平面方程. 2x+y=0
3、求与已知直线 L1 : 1 1 5 2 x 3 y z = − = + 和 L2 : 4 1 1 1 x 3 y z = + = − 都相交,且与 L3 : 1 3 2 1 3 2 − = − = x + y z 平行的直线方程. 4、直线 L 过点 (2 -1 3 ， ， ) 且与直线 L1 : 1 2 2 1 1 + = − = x − y z 相交,且平行于平面 : 3x − 2y + z + 5 = 0 求直线 L 的方程. 5、设一平面垂直于 z = 0 ,并通过从点 (1， -1 1，) 到直线 1 0 0 y z x − + = = 的垂线,求此平 面的方程. 6、试求二直线 L1 : 2 1 3 3 x 1 y z = + = + 与直线 L2 : 7 2 2 5 1 − = + = x y z 的公垂线方程. 7、求通过直线 4 2 3 6 2 0 x y z x y + + = + = 且与球面 4 2 2 2 x + y + z = 相切的平面方程