第四讲函数的单调性与曲线的凹凸性 【目的与要求】 1、会用导数判别函数的单调性： 2、理解函数凹凸性的定义，会用导数判断函数的凹凸性： 3、会利用函数的单调性与凹凸性解决问题 【知识要点】 1、函数的单调性 定理1设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加： (2)如果在(a,b)内f'(x)x)+f,) 2 那么称f(x)在区间I的图形是（向上）凸的（或凸弧）： 2)定理2设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么 (1)如果在(a,b)内f"(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上的图形是凹的： (2)如果在(a,b)内f"(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上的图形是凸的. (3)拐点定义：一般地，设f(x)在区间I上连续，x。是I的内点.如果曲线y=f(x)在 经过点(xo,f(x。)时，曲线的凸凹性改变了，那么就称点(x。,f(x。)》为这曲线的拐点 3)求拐点的步骤：
第四讲 函数的单调性与曲线的凹凸性 【目的与要求】 1、会用导数判别函数的单调性; 2、理解函数凹凸性的定义,会用导数判断函数的凹凸性; 3、会利用函数的单调性与凹凸性解决问题. 【知识要点】 1、函数的单调性 定理 1 设函数 y = f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a, b) 内可导. （1）如果在 (a, b) 内 f (x) 0 ,那么函数 y = f (x) 在 [a,b] 上单调增加; （2）如果在 (a, b) 内 f (x) 0 ,那么函数 y = f (x) 在 [a,b] 上单调减少. 2、曲线的凸凹性与拐点 1）设 f (x) 在区间 I 上连续,如果对 I 上任意两点 1 2 x , x 恒有 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f + + , 那么称 f (x) 在区间 I 的图形是（向上）凹的（或凹弧）; 如果对 I 上任意两点 1 2 x , x 恒有 2 ( ) ( ) ) 2 ( 1 2 1 2 x x f x f x f + + , 那么称 f (x) 在区间 I 的图形是（向上）凸的（或凸弧）; 2）定理 2 设函数 y = f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a, b) 内具有一阶和二阶导数,那么 （1）如果在 (a, b) 内 f (x) 0 ,那么函数 y = f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的; （2）如果在 (a, b) 内 f (x) 0 ,那么函数 y = f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的. （3）拐点定义:一般地,设 f (x) 在区间 I 上连续, 0 x 是 I 的内点.如果曲线 y = f (x) 在 经过点（ , ( )) 0 0 x f x 时,曲线的凸凹性改变了,那么就称点（ , ( )) 0 0 x f x 为这曲线的拐点. 3）求拐点的步骤:
(1)求f"(x): (2)令f"(x)=0,解出这方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f"(x)不存在的 点： (3)对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x。,检查f"(x)在x。左右 两侧附近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x。,f(x。)》是拐点，当两侧的符号相同时， 点(x。,f(xo)不是拐点. 【重点难点】 重点：1、会用导数判别函数的单调性： 2、会用导数判断函数的凹凸性. 难点：会利用函数的单调性与凹凸性解决问题。 【典型例题】 例1设函数f(x)在区间a,b上连续，区间(a,b)上可导，且满足f(a)=0,若f'(x)单 调递增，则()=f田在(a)上单调递增。 x-a 证明：：f(x)=f(x)-f(a=(x-a)f'(5),5∈(a,x) 又f'(x)单调递增，于是有f'(x)>f'(5),(当x>5) 所t以o=-af'）--af⑤.f)-f且>0，（x∈a,) (x-a2 x-a 故p(=田在a,)上单调递增 x-a 例2讨论曲线y=x+一x x2- 的凹凸性及拐点。 解：y-1+1- 2x3+6x (x2-)2少= (x2-胡 令y"=0→x=0, 当-11时，y"(x)>0,为凹区间： 当x<-1或0<x<1时，y"(x)<0,为凸区间：
（1）求 f x ( ) ; （2）令 f (x) = 0 ,解出这方程在区间 I 内的实根,并求出在区间 I 内 f (x) 不存在的 点; （3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点 0 x ,检查 f (x) 在 0 x 左右 两侧附近的符号,那么当两侧的符号相反时,点（ , ( )) 0 0 x f x 是拐点,当两侧的符号相同时, 点（ , ( )) 0 0 x f x 不是拐点. 【重点难点】 重点:1、会用导数判别函数的单调性; 2、会用导数判断函数的凹凸性. 难点:会利用函数的单调性与凹凸性解决问题. 【典型例题】 例 1 设函数 f (x) 在区间 a,b 上连续,区间 (a,b) 上可导,且满足 f (a) = 0 ,若 f (x) 单 调递增,则 x a f x x − = ( ) ( ) 在 (a,b) 上单调递增. 证明: f (x) = f (x) − f (a) = (x − a) f (), (a, x) 又 f (x) 单调递增,于是有 f (x) f ( ), （当 x ） 所以 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 − − = − − − − = x a f x f x a x a f x x a f x ,（ x(a,b) ） 故 x a f x x − = ( ) ( ) 在 (a,b) 上单调递增. 例 2 讨论曲线 1 2 − = + x x y x 的凹凸性及拐点. 解: 2 2 2 ( 1) 1 1 − − − = + x x y ; ( ) 3 2 3 1 2 6 − + = x x x y . 令 y = 0 x = 0, 当 −1 x 0 或 x 1 时, y (x) 0 ,为凹区间; 当 x −1 或 0 x 1 时, y (x) 0 ,为凸区间;
拐点为(0,0)点. 例3证明不等式snx≥2x.(00,f(x)个，所以f(x)>f(0)=0: xe)/1受=0， 所以当0子x 2 例4讨论方程x·e=a,(a>0)有几个实根. 解：设f(x)=x·e-a,在(-oo,+∞)上连续， 当x0时，f'(x)>0,所以f(x)在[0，+o)上单调递增，而f0)=-a0) 有一个实根，且在(0，+∞)内. 【课后训练与提高】 (A) 1、确定下列函数的单调区间： 1)y=2x3-6x2-18x-7 2)y=2x+8.（x>0 3)y=n(x+√1+x2) 4)y=(x-1)x+1)3 2、判断下列曲线的凹凸性： 1 1)y=4x-x2 2)y=x+(x>0) (B) 1、证明下列不等式： 1 1D当x>0时，1+2X>1+
拐点为（0,0）点. 例 3 证明不等式 x x 2 sin .（ 2 0 x ）. 证明:设 f x x x 2 ( ) = sin − ,则 2 f (x) = cos x − ,令 f (x) = 0 ,得 2 arccos x0 = 当 x(0, x0 ), f (x) 0, f (x) ,所以 f (x) f (0) = 0 ; , ( ) 0, ( ) 2 , 0 x x f x f x ,所以 ) 0 2 ( ) ( = f x f , 所以当 2 0 x 时, x x 2 sin . 例 4 讨论方程 x e = a,(a 0) x 有几个实根. 解:设 f x x e a x ( ) = − ,在 (− ,+) 上连续, 当 x 0 时, f (x) −a 0,所以 f x x e a x ( ) = − 在 (− ,0) 无零点, 由 f (x) = e + xe = e (x +1) x x x , 当 x 0 时, f (x) 0 ,所以 f (x) 在 0,+) 上单调递增,而 f (0) = −a 0 , = + →+ lim f (x) x ,所以 f (x) 在 (0,+) 内有唯一零点,即方程 x e = a,(a 0) x 有一个实根,且在 (0,+) 内. 【课后训练与提高】 （A） 1、确定下列函数的单调区间: 1） 2 6 18 7 3 2 y = x − x − x − 2） ,( 0) 8 = 2 + x x y x 3） ln( 1 ) 2 y = x + + x 4） 3 y = (x −1)(x +1) 2、判断下列曲线的凹凸性: 1） 2 y = 4x − x 2） 1 y x x ( 0) x = + （B） 1、证明下列不等式: 1）当 x 0 时, + x 1+ x 2 1 1
2)当0smx>2x 2 π 当0好 2、试讨论方程anx=x的实根情况. 3、利用函数图形的凹凸性证明不等式： 1) extey rty ->e2,(x≠y): 2)xhx+yly>(x+y)h+.(x>0.y>0.x+y) 2 4、问a,b为何值时，点(1,3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？ (C) 1、证明函数f(x)=(1+)产在区间0，+)上单调递增。 2、求函数y=x2.n(a),(a>O)的拐点M,并求当a变动时M的轨迹方程. 3、设x∈(0，)，证明-1<1一-1< 分n2 In(1+x)x2
2）当 2 0 x 时, x x x 2 sin 3）当 2 0 x 时, 3 3 1 tan x x + x 2、试讨论方程 tan x = x 的实根情况. 3、利用函数图形的凹凸性证明不等式: 1） ,( ) 2 2 e x y e e x y x y + + ; 2） ,( 0, 0, ) 2 ln ln ( )ln x y x y x y x x y y x y + + + 4、问 a, b 为何值时,点（1,3）为曲线 3 2 y = ax + bx 的拐点？ （C） 1、证明函数 x x f x ) 1 ( ) = (1+ 在区间 0,+) 上单调递增. 2、求函数 ln( ),( 0) 2 y = x ax a 的拐点 M ,并求当 a 变动时 M 的轨迹方程. 3、设 x(0, 1) ,证明 2 1 1 ln(1 ) 1 1 ln 2 1 − + − x x