第三讲泰勒公式 【目的与要求】 1、理解泰勒中值定理，掌握麦克马林公式： 2、掌握基本公式（带有皮亚诺余项和拉格朗日余项的麦克马林公式）. 【知识要点】 1、泰勒中值定理：如果函数f(x)在含有x。的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的 导数，则对于任一x∈(a,b),有 f)=f)+fxXx-x)+'6x-2++ 21 (o)(x-%"+R() n 其中 R树=fam但x-》 (n+1)1 这里5是x。与x之间的某个值。 2、麦克劳林公式 f=j0+/0x+0r2+…+fOxr+fe"6x0<0<D 2 n! (n+1)川 【典型例题】 V1+x+V1-x-2 例1求lm x→0 x2 解：利用带皮亚诺余项的泰勒公式，因为 +=1+-+ox-=1-- 28 -2-8 +0(x2) +o(x2) lim +x+1-x-2=m4 x-0 X→0 x2 4 例2把f(x)=h +x在x=0处展开成带皮亚诺余项的泰勒公式， 1-x
第三讲 泰勒公式 【目的与要求】 1、理解泰勒中值定理,掌握麦克马林公式; 2、掌握基本公式（带有皮亚诺余项和拉格朗日余项的麦克马林公式）. 【知识要点】 1、泰勒中值定理:如果函数 f (x) 在含有 0 x 的某个开区间 (a, b) 内具有直到 (n +1) 阶的 导数,则对于任一 x(a,b) ,有 − + + = 0 + 0 − 0 + 0 ( 0 ) 2 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) x x f x f x f x f x x x ( ) ( ) ! ( ) 0 0 ( ) x x R x n f x n n n − + 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x 这里 是 0 x 与 x 之间的某个值. 2、麦克劳林公式 + + = + + 2 2! (0) ( ) (0) (0) x f f x f f x + n n x n f ! (0) ( ) 1 ( 1) ( 1)! ( ) + + + n n x n f x (0 1) 【典型例题】 例 1 求 2 0 1 1 2 lim x x x x + + − − → . 解: 利用带皮亚诺余项的泰勒公式,因为 ( ) 2 8 ( ), 1 1 2 8 1 1 2 2 2 2 o x x x o x x x x + x = + − + − = − − + 2 0 1 1 2 lim x x x x + + − − → = 4 1 ( ) 4 lim 2 2 2 0 = − − + → x o x x x . 例 2 把 x x f x − + = 1 1 ( ) ln 在 x = 0 处展开成带皮亚诺余项的泰勒公式
解：fx)=h}+x-h1+对-n1-对 1-x 2n 3 =2(x+ 31 ）+o(x2").(x→0) 2n-11 例3设函数f(x)在闭区间一1,1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0,f1)=1,f'(0)=0, 证明：在开区间(-1,1)内至少存在一点5，使f"(5)=3. 证明：f(x)在x=0点的泰勒展开式为 f)=f0)+f0x+0x2+"mx,其中5在0与x之间-a) 21 3 在(1)中分别取x=1与x=-1得： f0=1=f0+0)+f0+"0,0≤n<1 (2) 2 3 f-l=f0-f'0+0x2-02x,-1<%<1 (3) 21 31 (2)-(3)得：f"()+f"(72)=6 由f"(x)在[-l,]上的连续性，知它在[7,2]c1,上存在最大值M与最小值m, 故m≤[/(n,)+f,】sM.再由介值定理，知 在开区间(L山内至少存在一点5，使∫"(5)=)")+f(,】=3. 【课后训练与提高】 (A) 1、按(x-4)的幂展开多项式f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 2、求函数f(x)=二按(x+I)的幂展开的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式. 3、求函数f(x)=x3nx在x=1处的泰勒公式. (B) 1、利用泰勒公式求极限：
解: x x f x − + = 1 1 ( ) ln = ln(1+ x) − ln(1− x) 2 3 2 2 3 2 2 2 ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 n n x x x x x x n n x o x x o x n n = − + + − + − − − − + − + 3 2 1 2 2( ) ( ).( 0) 3 2 1 n x x n x o x x n − = + + + + → − 例 3 设函数 f (x) 在闭区间 −1,1 上具有三阶连续导数,且 f (−1) = 0, f (1) =1, f (0) = 0 , 证明: 在开区间 (−1, 1) 内至少存在一点 ,使 f ( ) = 3 . 证明: f (x) 在 x = 0 点的泰勒展开式为 2 3 3! ( ) 2! (0) ( ) (0) (0) x f x f f x f f x + = + + ,其中 在 0 与 x 之间 --（1） 在（1）中分别取 x =1 与 x = −1 得: ,0 1 3! ( ) 2! (0) (1) 1 (0) (0) 1 + = = + + f f f f f ------------------（2） , 1 1 3! ( ) 2! (0) ( 1) (0) (0) 2 2 3 − − − = − + x f x f f f f ------------（3） （2）—（3）得: f (1 ) + f (2 ) = 6 . 由 f (x) 在 −1, 1 上的连续性,知它在 , 1,1 1 2 − 上存在最大值 M 与最小值 m , 故 m f ( ) + f ( ) M 2 1 1 2 .再由介值定理,知 在开区间 (−1,1) 内至少存在一点 ,使 ( ) ( ) 3 2 1 ( ) f = f 1 + f 2 = . 【课后训练与提高】 （A） 1、按 (x − 4) 的幂展开多项式 ( ) 5 3 4 4 3 2 f x = x − x + x − x + . 2、求函数 x f x 1 ( ) = 按 (x +1) 的幂展开的带有拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式. 3、求函数 f (x) x ln x 3 = 在 x =1 处的泰勒公式. （B） 1、利用泰勒公式求极限:
e'-1-x-X2_x 1)lim 26 1,1 2)lim (-cot x) x→0 x→0XX x2 x2 1+ -V1+x2 3)lim 2 4)lim x0√1+xsinx-cosx x0 (cosx-e*)sin x2 2、把f(x)=n(1+sinx)在x=0处展开到x4(带皮亚诺余项)的泰勒公式. (c) 1、设函数f(x)在0,1上具有二阶导数，且满足f(x)≤a,f"(x)≤b,其中 a,b是非负常数，C是(0，)内任意一点，证明/"(x川<2a+2 2、设函数f(x)在x=0的某一邻域内具有一阶连续导数，且f(O)≠0，f'(0)≠0， 若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b值
1） 4 2 3 0 2 6 1 lim x x x e x x x − − − − → 2） cot ) 1 ( 1 lim 0 x x x x − → 3） x x x x x 1 sin cos lim 2 0 + − → 4） 2 2 2 0 (cos )sin 1 2 1 lim 2 x e x x x x x − + − + → 2、把 f (x) = ln(1+ sin x) 在 x = 0 处展开到 4 x （带皮亚诺余项）的泰勒公式. （C） 1、设函数 f (x) 在 0,1 上具有二阶导数,且满足 f (x) a , f (x) b ,其中 a, b 是非负常数,C 是 (0,1) 内任意一点,证明 2 ( ) 2 b f x a + . 2、设函数 f (x) 在 x = 0 的某一邻域内具有一阶连续导数,且 f (0) 0, f (0) 0, 若 af (h) + bf (2h) − f (0) 在 h →0 时是比 h 高阶的无穷小,试确定 a, b 值