第五讲函数的极值与最大值最小值、函数图形的描绘、曲率 【目的与要求】 1、理解函数的极值和极值点的概念，掌握求函数极值的方法： 2、会用极值的判定条件判定极值： 3、会求函数在闭区间的最大与最小值： 4、了解函数图形的描绘： 5、会求函数的曲率. 【知识要点】 1、定义设函数f(x)在点x。的某邻域U(x。)内有定义，如果对于去心邻域内的任一 x,有 f(x)f(x)) 那么就称f(xo)是函数f(x)的一个极大值（或极小值）· 2、定理1（必要条件）设函数f(x)在x。可导，且在x。处取得极值，那么f'(x。)=0. 3、定理2（第一充分条件）设函数f(x)在x。处连续，且在x。的某去心邻域内可导. (1)若x∈(x。-6,xo)时，f'(x)>0,而x∈(xo,x0+6) 时，f'(x)0,则f(x)在x。处取得极小值： (3)若在xo的某去心邻域内，'(x)的符号保持不变，则f(x)在x。处没有极值， 4、求极值的步骤： (1)求出导数f'(x) (2)求出f(x)的全部驻点与不可导点 (3)考察∫'(x)的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为 极值点：如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点
第五讲 函数的极值与最大值最小值、函数图形的描绘、曲率 【目的与要求】 1、理解函数的极值和极值点的概念,掌握求函数极值的方法; 2、会用极值的判定条件判定极值; 3、会求函数在闭区间的最大与最小值; 4、了解函数图形的描绘; 5、会求函数的曲率. 【知识要点】 1、 定义 设函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内有定义,如果对于去心邻域内的任一 x ,有 ( ) ( ) 0 f x f x （或 ( ) ( ) 0 f x f x ） 那么就称 ( ) 0 f x 是函数 f (x) 的一个极大值（或极小值）. 2、定理 1（必要条件）设函数 f (x) 在 0 x 可导,且在 0 x 处取得极值,那么 f (x0 ) = 0. 3、定理 2 （第一充分条件）设函数 f (x) 在 0 x 处连续,且在 0 x 的某去心邻域内可导. （1）若 ( , ) 0 0 x x − x 时, f (x) 0, 而 ( , ) x x0 x0 + 时, f (x) 0, 则 f (x) 在 0 x 处取得极大值; （2）若 ( , ) 0 0 x x − x 时, f (x) 0, 而 ( , ) x x0 x0 + 时, f (x) 0, 则 f (x) 在 0 x 处取得极小值; （3）若在 0 x 的某去心邻域内, f (x) 的符号保持不变,则 f (x) 在 0 x 处没有极值. 4、求极值的步骤: （1）求出导数 f (x) （2）求出 f (x) 的全部驻点与不可导点 （3）考察 f (x) 的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形,以确定该点是否为 极值点;如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点
(4)求出各极值点的函数值.就得函数f(x)的全部极值. 5、求函数f(x)在区间[a,b]最值方法： (1)若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则只要求出f(x)的所有极值，再与端点处函数 值进行比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值 (2)若连续函数f(x)在区间I的内部仅有唯一的极值点x。时，若f(x。)是极大值（或 极小值)，则它必是区间I上的最大值（或最小值）· 【重点难点】 重点：函数极值和最值的求法。 难点：函数图形的描绘 【典型例题】 例1求y=x+2cosx在区间[0，]上的最大值. 解：y=1-2sinx=0→sinx=2故)=0在[0，分上有唯一解x=名，而 0)=2.爱-名+6，孕-受由于名+5>2八号放最大值为名+5。 6 6 例2求函数f(x)=x-3(x-1)形的极值， 解：当x≠1时，f(x)=1-2(x-1)片.令f(x)=0,有(x-1)=2,得驻点x=9,又 了)-号x-.由于/9>0.x=呢断的极小值点极小值为/9-3. 当x=1时，f'(I)不存在.设h是任意小正数，由于f'(1-h)>0,f'(1+h)>0, .x=1是f(x)的极大值，极大值f(I)=1. 例3证明：当0≤x≤1，p>1时，2P≤xP+(1-x)P≤1. 证：f(x)=xP+(1-x)P,0≤x≤1，p>1,则f"(x)=pxP-1-p(1-x)P 令f)=0得x雨0)=0=1,1为=+=2，故f在0，训 上最大值为1，最小值为2P .当0≤x≤1，p>1时，不等式成立
（4）求出各极值点的函数值.就得函数 f (x) 的全部极值. 5、求函数 f (x) 在区间 a,b 最值方法: （1）若函数 f (x) 在区间 a,b 上连续,则只要求出 f (x) 的所有极值,再与端点处函数 值进行比较,最大的就是最大值,最小的就是最小值. （2）若连续函数 f (x) 在区间 I 的内部仅有唯一的极值点 0 x 时,若 ( ) 0 f x 是极大值（或 极小值）,则它必是区间 I 上的最大值（或最小值）. 【重点难点】 重点:函数极值和最值的求法. 难点:函数图形的描绘. 【典型例题】 例 1 求 y x x = + 2cos 在区间 [0, ] 2 上的最大值. 解: 1 1 2sin 0 sin 2 y x x = − = = ,故 y x ( ) 0 = 在 [0, ] 2 上有唯一解 6 x = ,而 y(0) 2 = , ( ) 3 6 6 y = + , ( ) 2 2 y = ,由于 3 2 6 2 + ,故最大值为 3 6 + . 例 2 求函数 2 3 f x x x ( ) 3( 1) = − − 的极值. 解:当 x 1 时, 1 3 f x x ( ) 1 2( 1)− = − − .令 f x ( ) 0 = ,有 1 3 ( 1) 2 x − = ,得驻点 x = 9 ,又 4 3 2 ( ) ( 1) 3 f x x − = − .由于 f (9) 0 , =x f x 9 ( ) 是 的极小值点,极小值为 f (9) 3 = − . 当 x =1 时, f (1) 不存在.设 h 是任意小正数,由于 f h (1 ) 0 − , f h (1 ) 0 + , x =1 是 f x( ) 的极大值,极大值 f (1) 1 = . 例 3 证明:当 0 1, 1 x p 时, 1 2 (1 ) 1 p p p x x − + − . 证: ( ) (1 ) p p f x x x = + − , 0 1, 1 x p ,则 1 ( ) (1 ) p p f x px p x − = − − 令 f x ( ) 0 = ,得 1 2 x = ,而 f f (0) (1) 1 = = , 1 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 p p p f − = + = ,故 f x( ) 在 [0,1] 上最大值为 1,最小值为 1 2 − p . 当 0 1, 1 x p 时,不等式成立
例4要造一圆柱形油罐，体积为V,问地面半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？ 这时底半径与高的比是多少？ 解：设表面积为1，则1=2r+2h.由于V=rh,所以h=产，从而 A=2r+2亚，r∈0，.求导得=4r-2y=4r2,令=0，得唯一驻点 2 为极小 值点.，而且它是A=4的唯一极值点，放它也是最小值点这时h==227 因此底 直径与高的比为2r:h=1:1. 【课后训练与提高】 (A) 1、求下列函数的极值 (1)y=2x3-6x2-18x+7 (2)y=-x4+2x2 (3)y= 1+3x V4+5x2 (4)y=e*cosx 2、求下列函数的最值. ()y=2x3-3x2, -1≤x≤4 (2)y=x4-8x2+2,-1≤x≤3 (B) 1、求y=sin3x+cos3x的极值. 2、求椭圆云+ x2 y2 =1的内接矩形中面积最大的矩形面积 3、证明：双曲线y=c2上任一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积为常数
例 4 要造一圆柱形油罐,体积为 V ,问地面半径 r和高h 等于多少时,才能使表面积最小? 这时底半径与高的比是多少? 解:设表面积为 A ,则 2 A r rh = + 2 2 .由于 2 V r h = ,所以 2 V h r = ,从而 2 2 2 V A r r = + , r + (0, ) .求导得 3 2 2 2 4 2 4 V r V A r r r − = − = ,令 A = 0,得唯一驻点 为 3 0 2 V r = ,而当 0 3 2 V r 时, A 0 ; 3 2 V r 时, A 0.因此 3 0 2 V r = 为极小 值点,而且它是 A A r = ( ) 的唯一极值点,故它也是最小值点.这时 3 2 2 2 V V h r = = ,因此底 直径与高的比为 2 : 1:1 r h = . 【课后训练与提高】 （A） 1、求下列函数的极值 ⑴ 3 2 y x x x = − − + 2 6 18 7 ⑵ 4 2 y x x = − + 2 ⑶ 2 1 3 4 5 x y x + = + ⑷ cos x y e x = 2、求下列函数的最值. ⑴ 3 2 y x x x = − − 2 3 , 1 4 ⑵ 4 2 y x x x = − + − 8 2, 1 3 （B） 1、求 3 3 y x x = + sin cos 的极值. 2、求椭圆 2 2 2 2 1 x y a b + = 的内接矩形中面积最大的矩形面积. 3、证明:双曲线 2 xy c = 上任一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积为常数
4、描绘函数y=x2+二的图形 5、求抛物线f(x)=x2+3x+2过点x=1处的曲率和曲率半径. (C) 1、设函数f(x)对一切实数x满足微分方程 xf"(x)+3x[f"(x)]=1-ex (I)若f(x)在点x=c(c≠O)有极值，证明它是极小值. (2)若f(x)在点x=0有极值，则它是极大值还是极小值？ 2、求曲线y=lnx上曲率最大的点 3、求方程e-sec2x=0在(0，)内根个数. 【复习题】 1、求下列函数的极限 (1)lm x-x* 1-x+Inx (2）lim 1 0 In(1+x)x x=arctant 2、设y=y(x)由 2y-ty2+e'=5 所确定，求 x 3、设f(x)=alnx+bx2+x在x=1、x2=2都取到极值.试求出a、b. 的值，并问此时f(x)在x与x,处取得极大值还是极小值. 4、证明方程1-x-tanx=0在(0,1)内有唯一实根. 5、证明不等式 当x>0时，ln(1+x)> arcigx 1+x 6、己知y= ,求 (x-1)2 (1)函数的增减区间及极值. (2)函数的凸凹区间及拐点
4、描绘函数 2 1 y x x = + 的图形. 5、求抛物线 2 f x x x ( ) 3 2 = + + 过点 x =1 处的曲率和曲率半径. （C） 1、设函数 f x( ) 对一切实数 x 满足微分方程 2 ( ) 3 [ ( )] 1 x xf x x f x e− + = − ⑴若 f x( ) 在点 x c c = ( 0) 有极值,证明它是极小值. ⑵若 f x( ) 在点 x = 0 有极值,则它是极大值还是极小值？ 2、求曲线 y x = ln 上曲率最大的点. 3、求方程 2 sec 0 x e x − = 在 (0, ) 2 内根个数. 【复习题】 1、求下列函数的极限 (1) x x x x x x 1 ln lim 1 − + − → (2) − x→ + x x 1 ln(1 ) 1 lim 0 2、设 y y x = ( ) 由 2 arctan 2 5 t x t y ty e = − + = 所确定,求 dy dx . 3、设 2 f x a x bx x ( ) ln = + + 在 1 x = 1、 2 x = 2 都取到极值.试求出 a 、b . 的值,并问此时 f x( ) 在 1 x 与 2 x 处取得极大值还是极小值. 4、证明方程 1 tan 0 − − = x x 在（0,1）内有唯一实根. 5、证明不等式 当 x 0 时, ln(1 ) 1 arctgx x x + + . 6、已知 ( ) 3 2 1 x y x = − ,求: （1）函数的增减区间及极值. （2）函数的凸凹区间及拐点
(3)函数图形的渐近线. 7、研究k的不同取值，确定方程x-严sinx=k在区间(O,交)内根的个数，并证明结 论 8、设函数f(x)在a,+∞)上连续，并当x≥a时，f'(x)>k>0,其中k为常数，又 f(a)<0,证明方程f(x)=0在区间 a.a-Ma) 内有唯一实根
（3）函数图形的渐近线. 7、研究 k 的不同取值,确定方程 sin 2 x x k − = 在区间（0, 2 ）内根的个数,并证明结 论. 8、设函数 f (x) 在 a,+) 上连续,并当 x a 时, f (x) k 0 ,其中 k 为常数,又 f (a) 0,证明方程 f (x) = 0 在区间 − k f a a a ( ) , 内有唯一实根