第三讲平面及其方程 【目的与要求】 1、熟练地掌握平面的点法式和一般式方程： 2、会求点到平面的距离： 3、会求两个平面间的夹角. 【知识要点】 1、平面方程的点法式：A(x-x,)+B(y-y。)+C(z-zo)=0: 2、平面方程的一般式：Ax+By+Cz+D=0: 3、两平面间的关系： 4、两平面间的夹角： 设平面π，和平面π2的法线向量依次为i1={A,B,C}和i2={A2,B2,C2},那么这 两个平面的夹角0的余弦c0s0= 44+BB2 +CiC2 +B2+C+B+C3 【重点与难点】 重点：平面的点法式方程 【典型例题】 例按下列条件求平面方程 1)平行于x0z面且经过点(2，-5,3)： 2)经过z轴和点(-3,1，-2)： 3)平行于x轴且经过两点(4,0，-2)和(5,1,7) 解：1)所求平面平行于x0z面，故其法向量为i=(0,1,0) 又该平面经过点(2，-5,3) ∴.有点法式方程，得y+5=0. 2)所求平面经过z轴，故可设平面方程为Ax+By=0 又该平面经过点(-3,1，-2)，代入Ax+y=0,得
第三讲 平面及其方程 【目的与要求】 1、熟练地掌握平面的点法式和一般式方程; 2、会求点到平面的距离; 3、会求两个平面间的夹角. 【知识要点】 1、平面方程的点法式: A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 ; 2、平面方程的一般式: Ax + By + Cz + D = 0 ; 3、两平面间的关系; 4、两平面间的夹角: 设平面 1 和平面 2 的法线向量依次为 { , , } n1 = A1 B1 C1 和 { , , } n2 = A2 B2 C2 ,那么这 两个平面的夹角 的余弦 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 cos A B C A B C A A B B C C + + + + + + = . 【重点与难点】 重点: 平面的点法式方程. 【典型例题】 例 按下列条件求平面方程 1) 平行于 xoz 面且经过点 (2, 5, 3) − ; 2) 经过 z 轴和点 ( 3, 1, 2) − − ; 3）平行于 x 轴且经过两点 (4, 0, 2) − 和 (5, 1, 7) . 解:1) 所求平面平行于 xoz 面,故其法向量为 n = (0, 1, 0) 又该平面经过点 (2, 5, 3) − 有点法式方程,得 y + 5 = 0 . 2) 所求平面经过 z 轴,故可设平面方程为 Ax + By = 0 又该平面经过点 ( 3, 1, 2) − − ,代入 Ax + By = 0 ,得
-3A+B=0,即B=3A .平面方程为Ax+3Ay=0即x+3y=0. 3)记M,(4,0,-2),M2(5,1,7)则该平面的法向量方⊥M1M2· 记x轴方向的单位向量为e=(1,0,0) 又.n垂直于x轴..n(MM2×e) i j k ∴.i=119=(0,9,-1) 100 于是，所求平面方程为9y-z-2=0. 【课后训练与提高】 (A) 一、填空题 1、过点(3,0，-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程为 2、过三点(1,1，-1)、(-2，-2,2)和(1，-1,2)的平面方程为 3、过点(5，-7,4)且在三个坐标轴上的截距相等的平面方程为 4、过点(0，-1,3)和y轴的平面方程为 5、点(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距离d=」 二、确定参数k的值，使平面x+ky-2z=9分别适合下列条件 1、经过(5，-4，-6) 2、与平面2x+4y+3z=3垂直 3、与平面2x-3y+z=0成7角 4、与原点相距3个单位 三、求过点(3,1，-2)且与平面x+2z=1和y-3z=2平行的直线方程. 四、已知平面元1：x-2y+z-2=0,π2：x-2y+z-6=0,求到平面π1和π2的距 离之比为1：3的点的轨迹 (B) 一、设一平面经过原点及点(6，-3,2)，且与平面4x-y+2z=8垂直，求此平面方程
−3A+ B = 0,即 B = 3A 平面方程为 Ax + 3Ay = 0 即 x + 3y = 0 . 3) 记 1 M (4, 0, 2) − , 2 M (5, 1, 7) 则该平面的法向量 n ⊥ M1M2 . 记 x 轴方向的单位向量为 e = (1, 0, 0) 又 n 垂直于 x 轴. //( ) 1 2 n M M e (0,9, 1) 1 0 0 = 1 1 9 = − i j k n 于是,所求平面方程为 9y − z − 2 = 0 . 【课后训练与提高】 （A） 一、填空题 1、过点 (3, 0, 1) − 且与平面 3x − 7y + 5z −12 = 0 平行的平面方程为 . 2、过三点 (1, 1, 1) − 、 ( 2, 2, 2) − − 和 (1, 1, 2) − 的平面方程为 . 3、过点 (5, 7, 4) − 且在三个坐标轴上的截距相等的平面方程为 . 4、过点 (0, 1, 3) − 和 y 轴的平面方程为 . 5、点 (1, 2, 1) 到平面 x + 2y + 2z −10 = 0 的距离 d = . 二、确定参数 k 的值,使平面 x + ky − 2z = 9 分别适合下列条件 1、经过 (5,−4,−6) 2、与平面 2x + 4y + 3z = 3 垂直 3、与平面 2x − 3y + z = 0 成 4 角 4、与原点相距 3 个单位 三、求过点 (3, 1, 2) − 且与平面 x + 2z =1 和 y − 3z = 2 平行的直线方程. 四、已知平面 1 : x − 2y + z − 2 = 0 , 2 : x − 2y + z − 6 = 0 ,求到平面 1 和 2 的距 离之比为 1: 3 的点的轨迹. （B） 一、设一平面经过原点及点 (6, 3, 2) − ,且与平面 4x − y + 2z = 8 垂直,求此平面方程
二、试求二平面x-3y+2z-5=0,3x-2y-z+3=0的夹角平分面方程. 三、设两个平面的方程是2x-y+z-7=0,x+y+2z-11=0 1、求两个平面的夹角： 2、求两个平面的角平分面方程. 四、平面+兰+三=1与xy,z轴分别交于4(a,0,0),B0,b,0,C0,0,c),试用 a b c a、b、c表示△abc的面积
二、试求二平面 x y z x y z − + − = − − + = 3 2 5 0, 3 2 3 0 的夹角平分面方程. 三、设两个平面的方程是 2 7 0, 2 11 0 x y z x y z − + − = + + − = 1、求两个平面的夹角; 2、求两个平面的角平分面方程. 四、平面 + + = 1 c z b y a x 与 x, y,z 轴分别交于 A a B b C c ( , 0, 0), (0, , 0), (0, 0, ) ,试用 a、b 、 c 表示 abc 的面积