2721相似三角形的判定 第4课时两角分别相等的两个三角形相似 学司目标 1.理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义,能分清条件和结论,并能用文字、 图形和符号语言表示;(重点) 2.会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似,并解决简单的问 题.(难点) 数学过程 、情境导入 与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A·都等于给定的∠a, ∠B和∠B'都等于给定的∠β,比较你们画的两个三角形,∠C与∠C相等吗?对应边的比 AB,_AC,BC相等吗?这样的两个三角形相似吗?和同学们交流 A′BA′CB′C 二、合作探究 探究点:两角分别相等的两个三角形相似 【类型一】利用判定定理证明两个三角形相似 D 例如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AB边上一点,且∠ADE=60° (1)求证:△ABD∽△DCE (2)若BD=3,CE=2,求△ABC的边长 解析:(1)由题有∠B=∠C=60°,利用三角形外角的知识得出∠BAD=∠CDE,即可 证明△ABD∽△DCE;(2)根据△ABD∽△DCE,列出比例式,即可求出△ABC的边长 乙(1)证明:在△ABD中,∠ADC=∠B+∠BAD,又∠ADC=∠ADE+∠EDC,而∠B= IDE=60°,∴∠BAD=∠CDE在△ABD和△DCE中,∠BAD=∠CDE,∠B=∠C=60°, ∵.△ABD∽△DCE BC-B:3=:x= AB=x,则DC=x-3,由△ABD∽△DCE,,ABBD 9即等边△ABC的边长为9 方法总结:本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”,解答此题的关键是利 用三角形的外角的知识得出角相等 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型二】添加条件证明三角形相似
27.2.1 相似三角形的判定 第 4 课时 两角分别相等的两个三角形相似 1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、 图形和符号语言表示；(重点) 2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问 题．(难点) 一、情境导入 与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A 和∠A ′都等于给定的∠α， ∠B 和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C 与∠C′相等吗？对应边的比 AB A′B′ ， AC A′C′ ， BC B′C′ 相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流． 二、合作探究 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 【类型一】 利用判定定理证明两个三角形相似 如图，在等边△ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AB 边上一点，且∠ADE＝60°. (1)求证：△ABD∽△DCE； (2)若 BD＝3，CE＝2，求△ABC 的边长． 解析：(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可 证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC 的边长． (1)证明：在△ABD 中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝ ∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE 中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE； (2)解：设 AB＝x，则 DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴ AB DC＝ BD DE，∴ x x－3 ＝ 3 2 ，∴x＝ 9.即等边△ABC 的边长为 9. 方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利 用三角形的外角的知识得出角相等． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 5 题 【类型二】 添加条件证明三角形相似
2如图,在△ABC中,D为AB边上的一点,要使△ABC∽△AED成立,还需要添 加一个条件为 解析:∵∠ABC=∠AED,∠A=∠A,∴△ABC∽△AED,故添加条件∠ABC=∠AED 即可求得△4BC△4ED同理可得∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AC=AB可以得出 △ABC∽△AED故答案为∠ADE=∠C或∠AED=∠B或 AD AE AC AB 方法总结:熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型三】担相似三角形与圆的综合应用 3如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,CD⊥AB于点D,交AE于点G,弦 CE交AB于点F,求证:AC2=AGAE 解析:延长CG,交⊙O于点M,连接AM,根据圆周角定理,可证明∠ACG=∠E,根 据相似三角形的判定定理,可证明△CAG∽△EAC,根据相似三角形对应边成比例,可得出 证明:延长CG,交⊙O于点M,连接AM,∵AB⊥CM,∴AC=AM,∴∠ACG=∠E, 又∵∴∠CAG=∠EAC,∴△CAG∽△EAC,∴ AC AG EAC,∴AC2=AGAE 方法总结:相似三角形与圆的知识综合时,往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系 证明三角形相似 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 【类型四】相似三角形与四边形知识的综合 例4如图,在口ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点
如图，在△ABC 中，D 为 AB 边上的一点，要使△ABC∽△AED 成立，还需要添 加一个条件为____________． 解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠ABC＝∠AED 即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE ＝∠C 或∠AED＝∠B 或 AD AC＝ AE AB可以得出 △ABC∽△AED.故答案为∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B 或 AD AC＝ AE AB. 方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 3 题 【类型三】 相似三角形与圆的综合应用 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD⊥AB 于点 D，交 AE 于点 G，弦 CE 交 AB 于点 F，求证：AC2＝AG·AE. 解析：延长 CG，交⊙O 于点 M，连接 AM，根据圆周角定理，可证明∠ACG＝∠E，根 据相似三角形的判定定理，可证明△CAG∽△EAC，根据相似三角形对应边成比例，可得出 结论． 证明：延长 CG，交⊙O 于点 M，连接 AM，∵AB⊥CM，∴AC ︵ ＝AM ︵ ，∴∠ACG＝∠E， 又∵∠CAG＝∠EAC，∴△CAG∽△EAC，∴ AC AE＝ AG AC，∴AC2＝AG·AE. 方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系 证明三角形相似． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 3 题 【类型四】 相似三角形与四边形知识的综合 如图，在▱ABCD 中，过点 B 作 BE⊥CD，垂足为 E，连接 AE，F 为 AE 上一点
且∠BFE=∠C若AB=8,BE=6,AD=7,求BF的长 解析:可通过证明∠BAF=∠AED,∠AFB=∠D,证得△ABF∽△EAD,可得出关于 AB,AE,AD,BF的比例关系.已知AD,AB的长,只需求出AE的长即可.可在直角三角 形ABE中用勾股定理求出AE的长,进而求出BF的长 解:在平行四边形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AED∵∠AFB+∠BFE=180° ∠D+∠C=180°,∠BFE=∠C,∴∠AFB=∠D,∴△ABF∽△EAD∵BE⊥CD,AB∥CD BE BE⊥AB,∴∠ABE=90°,∴AE=AB2+BE +62=10∴△ABF∽△EAD,·AD ∴BF=5.6 方法总结:相似三角形与四边形知识综合时,往往要用到平行四边形的一些性质寻找角 的等量关系证明三角形相似 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型五】相似三角形与二次函数的综合 5如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=5m,AB=10mM点在线段CA上,从C 向A运动,速度为1m/s:同时N点在线段AB上,从A向B运动,速度为2ms运动时间为 (1)当t为何值时,△AMN的面积为6m2 (2)当t为何值时,△AMN的面积最大?并求出这个最大值 解析:(1)作MH⊥AC于H,证得△ANH∽△ABC,从而得到比例式,然后用t表示出 MH,根据△AMN的面积为6m2,得到关于t的方程求得t值即可;(2)根据三角形的面积计 算得到有关t的二次函数求最值即可 解:(1)在Rt△ABC中,∵AB2=BC+AC2,∴AC=5√3m如图,作MH⊥AC于H,∴ ∠MHMA=∠C=90,∵A是公共角,∴:△MHA△BC,:AN=M,即2=M,∴MH =1,∴SAwN=5(53-)=6,解得n=√3,h=43(舍去),故当t为秒时,△AMN的 面积为6m2 H 22(53-0=-(2-531+4)+2=5 N2+.…当/=5N时,S m 方法总结:解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式,从而解决问题
且∠BFE＝∠C.若 AB＝8，BE＝6，AD＝7，求 BF 的长． 解析：可通过证明∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠D，证得△ABF∽△EAD，可得出关于 AB，AE，AD，BF 的比例关系．已知 AD，AB 的长，只需求出 AE 的长即可．可在直角三角 形 ABE 中用勾股定理求出 AE 的长，进而求出 BF 的长． 解：在平行四边形 ABCD 中，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.∵∠AFB＋∠BFE＝180°， ∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.∵BE⊥CD，AB∥CD， ∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴AE＝ AB2＋BE2＝ 8 2＋6 2＝10.∵△ABF∽△EAD，∴ BF AD＝ AB AE，∴ BF 7 ＝ 8 10，∴BF＝5.6. 方法总结：相似三角形与四边形知识综合时，往往要用到平行四边形的一些性质寻找角 的等量关系证明三角形相似． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 7 题 【类型五】 相似三角形与二次函数的综合 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5m，AB＝10m.M 点在线段 CA 上，从 C 向 A 运动，速度为 1m/s；同时 N 点在线段 AB 上，从 A 向 B 运动，速度为 2m/s.运动时间为 ts. (1)当 t 为何值时，△AMN 的面积为 6m2? (2)当 t 为何值时，△AMN 的面积最大？并求出这个最大值． 解析：(1)作 NH⊥AC 于 H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用 t 表示出 NH，根据△AMN 的面积为 6m2，得到关于 t 的方程求得 t 值即可；(2)根据三角形的面积计 算得到有关 t 的二次函数求最值即可． 解：(1)在 Rt△ABC 中，∵AB2＝BC2＋AC2，∴AC＝5 3m.如图，作 NH⊥AC 于 H，∴ ∠NHA＝∠C＝90°，∵∠A 是公共角，∴△NHA∽△BCA，∴ AN AB＝ NH BC ，即 2t 10＝ NH 5 ，∴NH ＝t，∴S△AMN＝ 1 2 t(5 3－t)＝6，解得 t1＝ 3，t2＝4 3(舍去)，故当 t 为 3秒时，△AMN 的 面积为 6m2 . (2)S△AMN＝ 1 2 t(5 3－t)＝－ 1 2 (t 2－5 3t＋ 75 4 )＋ 75 2 ＝－ 1 2 (t－ 5 3 2 ) 2＋ 75 2 ，∴当 t＝ 5 3 2 时，S 最 大值＝ 75 2 m2 . 方法总结：解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而解决问题．
板书设计 1.三角形相似的判定定理 两角分别相等的两个三角形相似 2.应用判定定理解决简单的问题 教学反思 在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者,教学过程中 鼓励学生大胆探索,引导学生关注过程,及时肯定学生的表现,鼓励创新.备课时应多考虑 学生学法的突破,教学时只在关键处点拨,在不足时补充.与学生平等地交流,创设民主、 和谐的学习氛围
三、板书设计 1．三角形相似的判定定理： 两角分别相等的两个三角形相似； 2．应用判定定理解决简单的问题． 在探究式教学中教师是学生学习的组织者、引导者、合作者、共同研究者，教学过程中 鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．备课时应多考虑 学生学法的突破，教学时只在关键处点拨，在不足时补充．与学生平等地交流，创设民主、 和谐的学习氛围