282,2应用举例 第2课时利用仰俯角解直角三角形 学司国标 1.使学生掌握仰角、俯角的意义,并学会正确地判断:(重点 2.初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力.(难点) 情境导入 人角 线角水平线 视线 在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅 垂线就构成了直角三角形.当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方 的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问 合作探究 探究点:利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】利用仰角求高度 例1星期天,身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园,用他们所学的知识测算一 座塔的高度.如图,小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°,小涛站在B处测得塔 顶C的仰角β为30°,他们又测出A、B两点的距离为41.5m,假设他们的眼睛离头顶都是 l0cm,求塔高(结果保留根号) 解析:设塔高为m,利用锐角三角函数关系得出PM的长,再利用C=mn30°,求出 x的值即可 解:设塔底面中心为O,塔高xm,MN∥AB与塔中轴线相交于点P,得到△CPM△CPN 是直角三角形,则 (1.6-0.1) PM tan45°,∵tan45°=1,∴PM=CP=x-1.5在Rt△CPN
28.2.2 应用举例 第 2 课时 利用仰俯角解直角三角形 1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点) 2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点) 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅 垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问 题． 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度 星期天，身高均为 1.6 米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一 座塔的高度．如图，小红站在 A 处测得她看塔顶 C 的仰角 α 为 45°，小涛站在 B 处测得塔 顶 C 的仰角 β 为 30°，他们又测出 A、B 两点的距离为 41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是 10cm，求塔高(结果保留根号)． 解析：设塔高为 xm，利用锐角三角函数关系得出 PM 的长，再利用CP PN＝tan30°，求出 x 的值即可． 解：设塔底面中心为 O，塔高 xm，MN∥AB 与塔中轴线相交于点 P，得到△CPM、△CPN 是直角三角形，则 x－（1.6－0.1） PM ＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在 Rt△CPN
tan30°,即 15=￥5,解得x=83+8 83√3+89 答:塔高为 方法总结:解决此类问题要了解角与角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三 角形.当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】利用俯角求高度 例2如图,在两建筑物之间有一旗杆EG,高15米,从A点经过旗杆顶部E点恰好看 到矮建筑物的墙角C点,且俯角a为60°,又从A点测得D点的俯角B为30°若旗杆底 部G点为BC的中点,求矮建筑物的高CD 解析:根据点G是BC的中点,可判断EG是△ABC的中位线,求出AB.在Rt△ABC和 Rt△AFD中,利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF,继而可求出CD的长度 解:过点D作DF⊥AF于点F,∵点G是BC的中点,EG∥AB,∴EG是△ABC的中 位线,∴AB=2EG=30m在Rt△ABC中,∵∠CAB=30°,∴BC= ABtan∠BAC=30× 0Nmn在R△AFD中,;F=BC=105m,÷:FD=FmB=105x￥=m,:CD AB-FD=30-10=20m 答:矮建筑物的高为20m 方法总结:本题考查了利用俯角求高度,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角 函数的知识求解相关线段的长度 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型三】利用俯角求不可到达的两点之间的距离 3如图,为了测量河的宽度AB,测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得 河岸B处的俯角为45°,测得河对岸A处的俯角为30°A、B、C在同一条直线上),则河 的宽度AB约是多少m(精确到01m,参考数据:2≈141,3≈173)?
中， CP PN＝tan30°，即 x－1.5 x－1.5＋41.5＝ 3 3 ，解得 x＝ 83 3＋89 4 . 答：塔高为83 3＋89 4 m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三 角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 7 题 【类型二】 利用俯角求高度 如图，在两建筑物之间有一旗杆 EG，高 15 米，从 A 点经过旗杆顶部 E 点恰好看 到矮建筑物的墙角 C 点，且俯角 α 为 60°，又从 A 点测得 D 点的俯角 β 为 30°.若旗杆底 部 G 点为 BC 的中点，求矮建筑物的高 CD. 解析：根据点 G 是 BC 的中点，可判断 EG 是△ABC 的中位线，求出 AB.在 Rt△ABC 和 Rt△AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出 BC、DF，继而可求出 CD 的长度． 解：过点 D 作 DF⊥AF 于点 F，∵点 G 是 BC 的中点，EG∥AB，∴EG 是△ABC 的中 位线，∴AB＝2EG＝30m.在 Rt△ABC 中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30× 3 3 ＝ 10 3m.在 Rt△AFD 中，∵AF＝BC＝10 3m，∴FD＝AF·tanβ＝10 3× 3 3 ＝10m，∴CD＝ AB－FD＝30－10＝20m. 答：矮建筑物的高为 20m. 方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角 函数的知识求解相关线段的长度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6 题 【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 如图，为了测量河的宽度 AB，测量人员在高 21m 的建筑物 CD 的顶端 D 处测得 河岸 B 处的俯角为 45°，测得河对岸 A 处的俯角为 30°(A、B、C 在同一条直线上)，则河 的宽度 AB 约是多少 m(精确到 0.1m，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)?
E D 解析:在Rt△ACD中,根据已知条件求出AC的值,再在Rt△BCD中,根据∠EDB= 45°,求出BC=CD=2lm,最后根据AB=AC-BC,代值计算即可 解在△D中,CD=2mDC=0,:cm21m在 Rt△BCD中,∠EDB=45°,∴∠DBC=45°,∴BC=CD=21m,∴AB=AC-BC=21 21≈153(m).则河的宽度AB约是15.3m 方法总结:解决此类问题要了解角之间的关系找到与已知和未知相关联的直角三角形, 把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 【类型四】仰角和俯角的综合 例4某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中,为了测量某建筑物AB的高,他们来 到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察,测得此建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B的俯角为45°求建筑物AB的高(精确到1m,可供选用的数据 解析:过点C作AB的垂线CE,垂足为E,根据题意可得出四边形CDBE是正方形 再由BD=12m可知BE=CE=12m,由AE= CE.tan30°得出AE的长,进而可得出结论, 解:过点C作AB的垂线,垂足为E,∵CD⊥BD,AB⊥BD,∠ECB=45°,∴四边形 CDBE是正方形.:BD=12m,:BE=CE=12m,;AE= CEt0°=12×3=45m) ∴AB=43+12≈19(m) 答:建筑物AB的高为19m 方法总结:本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题,根据题意作出辅助线, 构造出直角三角形是解答此题的关键 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
解析：在 Rt△ACD 中，根据已知条件求出 AC 的值，再在 Rt△BCD 中，根据∠EDB＝ 45°，求出 BC＝CD＝21m，最后根据 AB＝AC－BC，代值计算即可． 解：∵在 Rt△ACD 中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝ CD tan30° ＝ 21 3 3 ＝21 3m.∵在 Rt△BCD 中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝21 3 －21≈15.3(m)．则河的宽度 AB 约是 15.3m. 方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形， 把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第 3 题 【类型四】 仰角和俯角的综合 某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物 AB 的高，他们来 到与建筑物 AB 在同一平地且相距 12m 的建筑物 CD 上的 C 处观察，测得此建筑物顶部 A 的仰角为 30°、底部 B 的俯角为 45°.求建筑物 AB 的高(精确到 1m，可供选用的数据： 2 ≈1.4， 3≈1.7)． 解析：过点 C 作 AB 的垂线 CE，垂足为 E，根据题意可得出四边形 CDBE 是正方形， 再由 BD＝12m 可知 BE＝CE＝12m，由 AE＝CE·tan30°得出 AE 的长，进而可得出结论． 解：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四边形 CDBE 是正方形．∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12× 3 3 ＝4 3(m)， ∴AB＝4 3＋12≈19(m)． 答：建筑物 AB 的高为 19m. 方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线， 构造出直角三角形是解答此题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 7 题
板书设计 1.仰角和俯角的概念 2.利用仰角和俯角求高度 3.利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离 4.仰角和俯角的综合 敏学反思 备课时尽可能站在学生的角度上思考问题,设计好教学过程中的每一个细节.上课前多 揣摩,让学生更多地参与到课堂的教学过程中,让学生体验思考的过程,体验成功的喜悦和 失败的挫折,舍得把课堂让给学生,让学生做课堂这个小小舞台的主角.使课堂更加鲜活, 充满人性魅力,下课后多反思,做好反馈工作,不断总结得失,不断进步.只有这样,才能 真正提高课堂教学效率
三、板书设计 1．仰角和俯角的概念； 2．利用仰角和俯角求高度； 3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离； 4．仰角和俯角的综合． 备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多 揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和 失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活， 充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能 真正提高课堂教学效率