28.1锐角三角函数 第2课时余弦函数和正切函数 学司目标 1.理解余弦、正切的概念:(重点) 2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.(重点) 教学心程 一、情境导入 教师提问:我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的?为什么可以这样定义? 斜边 ∠A的对边a ∠A的邻边b 学生回答后教师提出新问题:在上一节课中我们知道,如图所示,在Rt△ABC中,∠C 90°,当锐角∠A确定时,∠A的对边与斜边的比就随之确定了.现在我们要问:其他边 之间的比是否也确定了呢?为什么? 合作探究 探究点一:余弦函数和正切函数的定义 【类型一】利用余弦的定义求三角函数值 1在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cos4=( 解析::Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,:c0s4=1C=12故选C AB 13 方法总结:在直角三角形中,锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】利用正切的定义求三角函数值 2如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则 解析:在直角△ABC中,∵;∠ABC=90°,:mnA=BC=4故选D
28．1 锐角三角函数 第 2 课时 余弦函数和正切函数 1．理解余弦、正切的概念；(重点) 2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点) 一、情境导入 教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？ 学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C ＝90°，当锐角∠A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边 之间的比是否也确定了呢？为什么？ 二、合作探究 探究点一：余弦函数和正切函数的定义 【类型一】 利用余弦的定义求三角函数值 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则 cosA＝( ) A. 5 13 B. 5 12 C.12 13 D.12 5 解析：∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝ AC AB＝ 12 13.故选 C. 方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 2 题 【类型二】 利用正切的定义求三角函数值 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA＝( ) A.3 5 B.4 5 C.3 4 D.4 3 解析：在直角△ABC 中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝ BC AB＝ 4 3 .故选 D
方法总结:在直角三角形中,锐角的正切等于它的对边与邻边的比值 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 探究点二:三角函数的增减性 【类型一】判断三角形函数的增减性 囹3随着锐角a的增大,cosa的值() A.增大B.减小 C.不变D.不确定 解析:当角度在0°~90°之间变化时,余弦值随着角度的增大而减小,故选B. 方法总结:当0°1.又∵cos70° sin20°,正弦值随着角的增大而增大,∴sin70°>cos70°=sin20°.故选D. 方法总结:当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时,0≤sinA≤1,0≤cosA≤1,tan4≥0 探究点三:求三角函数值 【类型一】三角函数与圆的综合 例5如图所示,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,过点C的切 线交AD的延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD (1)求证:DC=BC; (2)若AB=5,AC=4,求tan∠DCE的值 解析:(1)连接OC,求证DC=BC可以先证明∠CAD=∠BAC,进而证明DC=BC:(2) 由AB=5,AC=4,可根据勾股定理得到BC=3,易证△ACE∽△ABC,可以求出CE、DE 的长,在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值 1)证明:连接OC∴OA=OC,∴∠OAC=∠OCA∴CE是⊙O的切线,∴∠OCE=90 AE⊥CE,∴∠AEC=∠OCE=90°,∴OC∥AE,∴∠OCA=∠CAD,∴∠CAD=∠BAC ∴DC=BC∴DC=BC (2)解:∵:AB是⊙O的直径,∠ACB=90°,∴BC=AB2-AC=52-42=3:∠CAE ∠BAC,∠AEC=∠ACB=90°,△ACEC△ABC,∴:EC=4C,即5C=4 12 BC AB
方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 5 题 探究点二：三角函数的增减性 【类型一】 判断三角形函数的增减性 随着锐角 α 的增大，cosα的值( ) A．增大 B．减小 C．不变 D．不确定 解析：当角度在 0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选 B. 方法总结：当 0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)． 【类型二】 比较三角函数的大小 sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( ) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70° ＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选 D. 方法总结：当角度在 0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0. 探究点三：求三角函数值 【类型一】 三角函数与圆的综合 如图所示，△ABC 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，过点 C 的切 线交 AD 的延长线于点 E，且 AE⊥CE，连接 CD. (1)求证：DC＝BC； (2)若 AB＝5，AC＝4，求 tan∠DCE 的值． 解析：(1)连接 OC，求证 DC＝BC 可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明DC ︵ ＝BC ︵ ；(2) 由 AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到 BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出 CE、DE 的长，在 Rt△CDE 中根据三角函数的定义就可以求出 tan∠DCE 的值． (1)证明：连接 OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE＝90°. ∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC， ∴DC ︵ ＝BC ︵ .∴DC＝BC； (2)解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝ AB2－AC2＝ 5 2－4 2＝3.∵∠CAE ＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴ EC BC＝ AC AB，即 EC 3 ＝ 4 5 ，EC＝ 12 5 .∵
DC=BC=3,∴ED=VDC-CE tan∠DCE=ED EC 12 方法总结:证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等.利用圆的有关性质,寻找 或构造直角三角形来求三角函数值,遇到比较复杂的问题时,可通过全等或相似将线段进行 转化 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 【类型二】利用三角形的边角关系求三角函数值 例6如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tan∠BAD=,求 解析:根据tan∠BAD=-,求得BD的长.在直角△ACD中由勾股定理可求AC的长, 然后利用正弦的定义求解 解:∵在直角△ABD中,tan∠BAD=BD3 AD4,∴BD= ATan∠BAD=12×=9,∴CD BC-BD=14-9=5,…AC=VD+CD=12+52=13,in=c=13 方法总结:在不同的直角三角形中,要根据三角函数的定义,分清它们的边角关系,结 合勾股定理是解答此类问题的关键 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题 三、板书设计 1.余弦函数的定义 2.正切函数的定义; 3.锐角三角函数的增减性 数学反思 在数学学习中,有一些学生往往不注重基本概念、基础知识,认为只要会做题就可以了, 结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目.通过引导学生进行知识梳理,教 会学生如何进行知识的归纳、总结,进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识
DC＝BC＝3，∴ED＝ DC2－CE2＝ 3 2－（12 5 ）2＝ 9 5 ，∴tan∠DCE＝ ED EC＝ 9 5 12 5 ＝ 3 4 . 方法总结：证明圆的弦相等可以转化为证明弦所对的弧相等．利用圆的有关性质，寻找 或构造直角三角形来求三角函数值，遇到比较复杂的问题时，可通过全等或相似将线段进行 转化． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第 5 题 【类型二】 利用三角形的边角关系求三角函数值 如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D，若 BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝ 3 4 ，求 sinC 的值． 解析：根据 tan∠BAD＝ 3 4 ，求得 BD 的长．在直角△ACD 中由勾股定理可求 AC 的长， 然后利用正弦的定义求解． 解：∵在直角△ABD 中，tan∠BAD＝ BD AD＝ 3 4 ，∴BD＝AD·tan∠BAD＝12× 3 4 ＝9，∴CD ＝BC－BD＝14－9＝5，∴AC＝ AD2＋CD2＝ 122＋5 2＝13，∴sinC＝ AD AC＝ 12 13. 方法总结：在不同的直角三角形中，要根据三角函数的定义，分清它们的边角关系，结 合勾股定理是解答此类问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 9 题 三、板书设计 1．余弦函数的定义； 2．正切函数的定义； 3．锐角三角函数的增减性． 在数学学习中，有一些学生往往不注重基本概念、基础知识，认为只要会做题就可以了， 结果往往失分于选择题、填空题等一些概念性较强的题目．通过引导学生进行知识梳理，教 会学生如何进行知识的归纳、总结，进一步帮助学生理解、掌握基本概念和基础知识