28.1锐角三角函数 第3课时特殊角的三角函数 学司目标 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程,进一步体会三角函数的意义;(重 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算:(重点) 3.能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题.(难点) 教学心程 情境导入 问题1:一个直角三角形中,一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的 问题2:两块三角尺中有几个不同的锐角?各是多少度?设每个三角尺较短的边长为 分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值 二、合作探究 探究点一:特殊角的三角函数值 【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算 圆1计算: (1)2cos60°·sin30°-√6in45°·sin60° os60°+cos45° 解析:将特殊角的三角函数值代入求解. 解:(1)原式=2××-√ (2)原式 方法总结:解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】旦知三角函数值求角的取值范围 的2若cosa=3,则锐角a的大致范围是() A.0°<a<30°B.30°<a<45 C.45°<a<60°D.0°<a<30 解析:∵cos30°=2,cos45 cos45°,∴锐角α的范围是45°<a<60°.故选C. 方法总结:解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性 【类型三】根据三角函数值求角度 倒3若3un(a+10°)=1,则锐角a的度数是()
28．1 锐角三角函数 第 3 课时 特殊角的三角函数 1．经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重 点) 2．能够进行 30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合 30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点) 一、情境导入 问题 1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题 2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为 1， 分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 二、合作探究 探究点一：特殊角的三角函数值 【类型一】 利用特殊的三角函数值进行计算 计算： (1)2cos60°·sin30°－ 6sin45°·sin60°； (2) sin30°－sin45° cos60°＋cos45°. 解析：将特殊角的三角函数值代入求解． 解：(1)原式＝2× 1 2 × 1 2 － 6× 2 2 × 3 2 ＝ 1 2 － 3 2 ＝－1； (2)原式＝ 1 2 － 2 2 1 2 ＋ 2 2 ＝2 2－3. 方法总结： 解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 4 题 【类型二】 已知三角函数值求角的取值范围 若 cosα＝ 2 3 ，则锐角 α 的大致范围是( ) A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝ 3 2 ，cos45°＝ 2 2 ，cos60°＝ 1 2 ，且 1 2 ＜ 2 3 ＜ 2 2 ，∴cos60°＜cosα＜ cos45°，∴锐角 α 的范围是 45°＜α＜60°.故选 C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】 根据三角函数值求角度 若 3tan(α＋10°)＝1，则锐角 α 的度数是( )
A.20°B.30°C.40°D.50° 解析::√5m+0·)=1,:ma+10°)=￥12:im3o-.:a+0-3 a=20°故选A 方法总结:熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二:特殊角的三角函数值的应用 【类型一】利用三角形的边角关系求线段的长 4如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45 AD=4,求BC的长 解析:由题意可知△BCD为等腰直角三角形,则BD=BC,在Rt△ABC中,利用锐角 角函数的定义求出BC的长即可 解:∵∠B=90°,∠BDC=45°,∴△BCD为等腰直角三角形,∴BD=BC在Rt△ABC 中,tan∠A=tan30°=AB,BC+4=3,解得BC=2(3+1) 方法总结:在直角三角形中求线段的长,如果有特殊角,可考虑利用三角函数的定义列 出式子,求出三角函数值,进而求出答案 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】判断三角形的形状 囹5已知△ABC中的∠A与∠B满足(1-tn2+sinB 试判断△ABC的形状 解析:根据非负性的性质求出tanA及sinB的值,再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B的度数,进而可得出结论 解:∵(1-tan4)2+|sinB 27≈0,∴tanA=1,sinB √3 ,∴∠A=45°,∠B=60° C=180°-45°—60°=75°,∴△ABC是锐角三角形 方法总结:一个数的绝对值和偶次方都是非负数,当几个数或式的绝对值或偶次方相加 和为0时,则其中的每一项都必须等于0 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】构造三角函数模型解决问题 6要求tan30°的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算.作Rt△ABC,使∠C 90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=5,∠ABC=30°,:tan30°= 在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,探究tan15°与tan75°的值
A．20° B．30° C．40° D．50° 解析：∵ 3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝ 3 3 .∵tan30°＝ 3 3 ，∴α＋10°＝30°， ∴α＝20°.故选 A. 方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 9 题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用 【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长 如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D 是边 AB 上一点，∠BDC＝45°， AD＝4，求 BC 的长． 解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则 BD＝BC，在 Rt△ABC 中，利用锐角 三角函数的定义求出 BC 的长即可． 解：∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD＝BC.在 Rt△ABC 中，tan∠A＝tan30°＝ BC AB，即 BC BC＋4 ＝ 3 3 ，解得 BC＝2( 3＋1)． 方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列 出式子，求出三角函数值，进而求出答案． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 2 题 【类型二】 判断三角形的形状 已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tanA) 2＋|sinB－ 3 2 |＝0，试判断△ABC 的形状． 解析：根据非负性的性质求出 tanA 及 sinB 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论． 解：∵(1－tanA) 2＋|sinB－ 3 2 |＝0，∴tanA＝1，sinB＝ 3 2 ，∴∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形． 方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加 和为 0 时，则其中的每一项都必须等于 0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 8 题 【类型三】 构造三角函数模型解决问题 要求 tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作 Rt△ABC，使∠C ＝90°，斜边 AB＝2，直角边 AC＝1，那么 BC＝ 3，∠ABC＝30°，∴tan30°＝ AC BC＝ 1 3 ＝ 3 3 .在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究 tan15°与 tan75°的值．
解析:根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长,进而得出tanl5 求出即可 解:作∠B的平分线交AC于点D,作DE⊥AB,垂足为E∴BD平分∠ABC,CD⊥BC, DE⊥AB,∴CD=DE设CD=x,则AD=1-x,AE=2-BE=2-BC=2-3在Rt△ADE 中,DE2+AE=AD,x2+(2-√3)2=(1-x),解得x=23-3,tanl5 tan75° BC CD23- 方法总结:解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形,再根据三 角函数的定义求出15°和75°的三角函数值 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计 1.特殊角的三角函数值: 45 1 tan a √3 2.应用特殊角的三角函数值解决问题 数学反思 课程设计中引入非常直接,由三角尺引入,直击课题,同时也对前两节学习的知识进行 了整体的复习,效果很好.在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细,可以说前面部分的 教学很成功,学生理解的很好
解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出 CD 的长，进而得出 tan15°＝ CD BC， tan75°＝ BC CD求出即可． 解：作∠B 的平分线交 AC 于点 D，作 DE⊥AB，垂足为 E.∵BD 平分∠ABC，CD⊥BC， DE⊥AB，∴CD＝DE.设 CD＝x，则 AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－ 3.在 Rt△ADE 中，DE2＋AE2＝AD2，x 2＋(2－ 3) 2＝(1－x) 2，解得 x＝2 3－3，∴tan15°＝ 2 3－3 3 ＝2－ 3， tan75°＝ BC CD＝ 3 2 3－3 ＝2＋ 3. 方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有 15°和 75°的直角三角形，再根据三 角函数的定义求出 15°和 75°的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 2 题 三、板书设计 1．特殊角的三角函数值： 30° 45° 60° sinα 1 2 2 2 3 2 cosα 3 2 2 2 1 2 tanα 3 3 1 3 2.应用特殊角的三角函数值解决问题． 课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行 了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的 教学很成功，学生理解的很好