2723相似三角形的应用举例 学习目标一 1.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度;(重点) 2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.(难点) 数学心程 情境导入 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.在古希 腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道, 那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔 顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗? 二、合作探究 探究点:相似三角形的应用 【类型一】利用影子的长度测量物体的高度 例1如图,某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为12m,此时,小红测得一棵被 风吹斜的柏树与地面成30°角,树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的 距离是3.6m,求树AB的长 09 CGZE 解析:先利用△BDC△FE得到2C=},可计算出BC=6m,然后在R△ABC中利 用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长 解:如图,CD=3.6m,∵△BDC∽△FGE,∴ BC EFBC 2 BC=6m在Rt CDGE3.61.2 △ABC中,∵∠A=30°,∴AB=2BC=12m,即树长AB是12m 方法总结:解答此类问题时,首先要把实际问题转化为数学问题.利用相似三角形对应 边成比例建立相等关系求解 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1 【类型二】利用镜子的反射测量物体的高度 囹2小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度.如图,在水平地面点E处放 面平面镜,镜子与教学大楼的距离AE=20m当她与镜子的距离CE=2.5m时,她刚好能 从镜子中看到教学大楼的顶端B已知她的眼睛距地面高度DC=1.6m,请你帮助小红测量出
27.2.3 相似三角形的应用举例 1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点) 2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点) 一、情境导入 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希 腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道， 那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔 顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？ 二、合作探究 探究点：相似三角形的应用 【类型一】 利用影子的长度测量物体的高度 如图，某一时刻一根 2m 长的竹竿 EF 的影长 GE 为 1.2m，此时，小红测得一棵被 风吹斜的柏树与地面成 30°角，树顶端 B 在地面上的影子点 D 与 B 到垂直地面的落点 C 的 距离是 3.6m，求树 AB 的长． 解析：先利用△BDC∽△FGE 得到BC 3.6＝ 2 1.2，可计算出 BC＝6m，然后在 Rt△ABC 中利 用含 30 度的直角三角形三边的关系即可得到 AB 的长． 解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴ BC CD＝ EF GE，即 BC 3.6＝ 2 1.2，∴BC＝6m.在 Rt △ABC 中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长 AB 是 12m. 方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应 边成比例建立相等关系求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题 【类型二】 利用镜子的反射测量物体的高度 小红用下面的方法来测量学校教学大楼 AB 的高度．如图，在水平地面点 E 处放 一面平面镜，镜子与教学大楼的距离 AE＝20m.当她与镜子的距离 CE＝2.5m 时，她刚好能 从镜子中看到教学大楼的顶端 B.已知她的眼睛距地面高度 DC＝1.6m，请你帮助小红测量出
大楼AB的高度(注:入射角=反射角 解析:根据物理知识得到∠BEA=∠DEC,所以可得△BAE∽△DCE,再根据相似三角 形的性质解答 解:如图,∵根据光的反射定律知∠BEA=∠DEC,∵∠BAE=∠DCE=90°,∴△BAE AB AE 度为12B2OCEC:CE=25m,DC=16m,∵1.625 ∽△DCE, AB=128,∴大楼AB的高 方法总结:解本题的关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列岀方程.解题 时要灵活运用所学各学科知识 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型三】利用标杆测量物体的高度 例3如图,某一时刻,旗杆AB影子的一部分在地面上,另一部分在建筑物的墙面上.小 明测得旗杆AB在地面上的影长BC为96m,在墙面上的影长CD为2m同一时刻,小明又 测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度 解析:根据在同一时刻物高与影长成正比例,利用相似三角形的对应边成比例解答即可 解:如图,过点D作DE∥BC,交AB于E,∴DE=CB=9.6m,BE=CD=2m,∵在 同一时刻物高与影长成正比例,∴EA:ED=1:1.2,∴AE=8m,∴AB=AE+EB=8+2 0m,∴学校旗杆的高度为10m 方法总结:利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长作为三角形 的边构建相似三角形,用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型四】利用相似三角形的性质设计方案测量高度 4星期天,小丽和同学们在碧沙岗公园游玩,他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北 伐军阵亡将士所立的纪念碑前,小丽问:“这个纪念碑有多高呢?”请你利用初中数学知识, 设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图),并说明理由
大楼 AB 的高度(注：入射角＝反射角)． 解析：根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角 形的性质解答． 解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE ∽△DCE，∴ AB DC＝ AE EC.∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴ AB 1.6＝ 20 2.5，∴AB＝12.8，∴大楼 AB 的高 度为 12.8m. 方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题 时要灵活运用所学各学科知识． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 5 题 【类型三】 利用标杆测量物体的高度 如图，某一时刻，旗杆 AB 影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小 明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6m，在墙面上的影长 CD 为 2m.同一时刻，小明又 测得竖立于地面长 1m 的标杆的影长为 1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度． 解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 解：如图，过点 D 作 DE∥BC，交 AB 于 E，∴DE＝CB＝9.6m，BE＝CD＝2m，∵在 同一时刻物高与影长成正比例，∴EA∶ED＝1∶1.2，∴AE＝8m，∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝ 10m，∴学校旗杆的高度为 10m. 方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形 的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 3 题 【类型四】 利用相似三角形的性质设计方案测量高度 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北 伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识， 设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．
解析:设计相似三角形,利用相似三角形的性质求解即可.在距离纪念碑AB的地面上 平放一面镜子E,人退后到D处,在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD, 测量出CD、DE、BE的长,就可算出纪念碑AB的高 解:设计方案例子:如图,在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E,人退后到D处, 在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD、DE、BE的长,就可 算出纪念碑AB的高 理由:测量出CD、DE、BE的长,因为∠CED=∠AEB,∠D=∠B=90°,易得 △ABE∽△CDE根据 即可算出AB的高 AB BE 方法总结:解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形,将实际问题抽象岀数 学问题求解 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 三、板书设计 1.利用相似三角形测量物体的高度 2.利用相似三角形测量河的宽度 3.设计方案测量物体高度 数学反思 通过本节知识的学习,可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题,发展学 生的应用意识,加深学生对相似三角形的理解和认识.基本达到了预期的教学目标,大部分 学生都学会了建立数学模型,利用相似的判定和性质来解决实际问题
解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑 AB 的地面上 平放一面镜子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑顶 A.若人眼距地面距离为 CD， 测量出 CD、DE、BE 的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑 AB 的地面上平放一面镜子 E，人退后到 D 处， 在镜子里恰好看见纪念碑顶 A.若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、BE 的长，就可 算出纪念碑 AB 的高． 理由：测量出 CD、DE、BE 的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得 △ABE∽△CDE.根据CD AB＝ DE BE ，即可算出 AB 的高． 方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数 学问题求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 6 题 三、板书设计 1．利用相似三角形测量物体的高度； 2．利用相似三角形测量河的宽度； 3．设计方案测量物体高度． 通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学 生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到了预期的教学目标，大部分 学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题