262实际问题与反比例函数 第1课时实际问题中的反比例函数 学司目标 1.经历分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进而解决问题:(重点) 2.体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能 力.(难点) 情境导入 小明和小华相约早晨一起骑自行车从A镇出发前往相距20km的B镇游玩,在返回时, 小明依旧以原来的速度骑自行车,小华则乘坐公交车返回A镇 假设两人经过的路程一样,自行车和公交车的速度保持不变,且自行车速度小于公交车 速度.你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗? 、合作探究 探究点:实际问题与反比例函数 【类型一】反比例函数在路程问题中的应用 1王强家离工作单位的距离为3600米,他每天骑自行车上班时的速度为米/分, 所需时间为t分钟 (1)速度U与时间t之间有怎样的函数关系? 2)若王强到单位用15分钟,那么他骑车的平均速度是多少? (3)如果王强骑车的速度最快为300米/分,那他至少需要几分钟到达单位 解析:(1)根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式:(2)把1=15代入函数 的解析式,即可求得速度;(3)把υ=300代入函数解析式,即可求得时间 解:(1)速度与时间之间是反比例函数关系,由题意可得o=3600 (2)把=15代入函数解析式,得v=350=240故他骑车的平均速度是240米/分 (3)把v=300代入函数解析式得=300,解得1=12.故他至少需要12分钟到达单位 方法总结:解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题 【类型二】反比例函数在工程问题中的应用 例2在某河治理工程施工过程中,某工程队接受一项开挖水渠的工程,所需天数y(天) 与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示
26.2 实际问题与反比例函数 第 1 课时 实际问题中的反比例函数 1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点) 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能 力．(难点) 一、情境导入 小明和小华相约早晨一起骑自行车从 A 镇出发前往相距 20km 的 B 镇游玩，在返回时， 小明依旧以原来的速度骑自行车，小华则乘坐公交车返回 A 镇． 假设两人经过的路程一样，自行车和公交车的速度保持不变，且自行车速度小于公交车 速度．你能找出两人返回时间与所乘交通工具速度间的关系吗？ 二、合作探究 探究点：实际问题与反比例函数 【类型一】 反比例函数在路程问题中的应用 王强家离工作单位的距离为 3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分， 所需时间为 t 分钟． (1)速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2)若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ (3)如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位？ 解析：(1)根据速度、时间和路程的关系即可写出函数的关系式；(2)把 t＝15 代入函数 的解析式，即可求得速度；(3)把 v＝300 代入函数解析式，即可求得时间． 解：(1)速度 v 与时间 t 之间是反比例函数关系，由题意可得 v＝ 3600 t ； (2)把 t＝15 代入函数解析式，得 v＝ 3600 15 ＝240.故他骑车的平均速度是 240 米/分； (3)把 v＝300 代入函数解析式得3600 t ＝300，解得 t＝12.故他至少需要 12 分钟到达单位． 方法总结：解决问题的关键要掌握路程、速度和时间的关系． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 5 题 【类型二】 反比例函数在工程问题中的应用 在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y(天) 与每天完成的工程量 x(m/天)的函数关系图象如图所示．
(1)请根据题意,求y与x之间的函数表达式 (2)若该工程队有2台挖掘机,每台挖掘机每天能够开挖水渠15米,问该工程队需用多 少天才能完成此项任务? (3)如果为了防汛工作的紧急需要,必须在一个月内(按30天计算)完成任务,那么每天 至少要完成多少米? 解析:(1)将点(24,50)代入反比例函数解析式,即可求得反比例函数的解析式;(2)用工 作效率乘以工作时间即可得到工作量,然后除以工作效率即可得到工作时间:(3)工作量除 以工作时间即可得到工作效率 解:(1)设y=∵点(24,50)在其图象上,∴k=24×50=1200,所求函数表达式为y= (2)由图象可知共需开挖水渠24×50=1200m),2台挖掘机需要工作1200-(2×15)= 40(天) (3)1200÷30=40(m),故每天至少要完成40m 方法总结:解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】利用反比例函数解决利润问题 例3某商场出售一批进价为2元的贺卡,在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量 (张)之间有如下关系: x元)3456 (1)猜测并确定y与x的函数关系式 (2)当日销售单价为10元时,贺卡的日销售量是多少张? (3)设此卡的利润为W元,试求出W与x之间的函数关系式,若物价部门规定此卡的销 售单价不能超过10元,试求出当日销售单价为多少元时,每天获得的利润最大并求出最大 利润 解析:(1)要确定υ与x之间的函数关系式,通过观察表中数据,可以发现x与y的乘积 是相同的,都是60,所以可知y与x成反比例,用待定系数法求解即可;(2)代入x=10求 得ν的值即可;(3)首先要知道纯利润=(日销售单价x-2)×日销售数量υ,这样就可以确定 ∥与x的函数关系式,然后根据销售单价最高不超过10元,就可以求出获得最大日销售利 润时的日销售单价x 解:(1)从表中数据可知y与x成反比例函数关系,设y=气k为常数,k≠0,把点(3 20)代入得k=60, (2)当x=10时,y=50 l06,∴日销售单价为10元时,贺卡的日销售量是6张
(1)请根据题意，求 y 与 x 之间的函数表达式； (2)若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 15 米，问该工程队需用多 少天才能完成此项任务？ (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按 30 天计算)完成任务，那么每天 至少要完成多少米？ 解析：(1)将点(24，50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工 作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除 以工作时间即可得到工作效率． 解：(1)设 y＝ k x .∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为 y＝ 1200 x ； (2)由图象可知共需开挖水渠 24×50＝1200(m)，2 台挖掘机需要工作 1200÷(2×15)＝ 40(天)； (3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成 40m. 方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 4 题 【类型三】 利用反比例函数解决利润问题 某商场出售一批进价为 2 元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价 x(元)与销售量 y(张)之间有如下关系： x(元) 3 4 5 6 y(张) 20 15 12 10 (1)猜测并确定 y 与 x 的函数关系式； (2)当日销售单价为 10 元时，贺卡的日销售量是多少张？ (3)设此卡的利润为 W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销 售单价不能超过 10 元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大 利润． 解析：(1)要确定 y 与 x 之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现 x 与 y 的乘积 是相同的，都是 60，所以可知 y 与 x 成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入 x＝10 求 得 y 的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价 x－2)×日销售数量 y，这样就可以确定 W 与 x 的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过 10 元，就可以求出获得最大日销售利 润时的日销售单价 x. 解：(1)从表中数据可知 y 与 x 成反比例函数关系，设 y＝ k x (k 为常数，k≠0)，把点(3， 20)代入得 k＝60，∴y＝ 60 x ； (2)当 x＝10 时，y＝ 60 10＝6，∴日销售单价为 10 元时，贺卡的日销售量是 6 张；
(3)∵W=(x 又∵x≤10,∴当x=10时,W取最大值,W 10 48(元) 方法总结:本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值,解答此类题目 的关键是准确理解题意 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型四】反比例函数的综合应用 例4如图所示,制作某种食品的同时需将原材料加热,设该材料温度为yC,从加热 开始计算的时间为x分钟.据了解,该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系.已 知该材料在加热前的温度为4℃,加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热,停止加热 后,材料温度逐渐下降,这时温度y与时间x成反比例函数关系.已知第12分钟时,材料 温度是14℃ 1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围) (2)根据该食品制作要求,在材料温度不低于12℃的这段时间内,需要对该材料进行特 殊处理,那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟? 解析:(1)首先根据题意,材料加热时,温度ν与时间x成一次函数关系;停止加热进行 操作时,温度y与时间x成反比例函数关系.将题中数据代入可求得两个函数的关系式;(2) 把y=12代入y=4x+4得x=2,代入y=-得x=14,则对该材料进行特殊处理所用的时 间为14-2=12(分钟) 解:(1)设加热停止后反比例函数表达式为y=包,∷y=包过(12,14,得k=12×14 则y=-;当y=28时,28=,解得x=6.设加热过程中一次函数表达式为y=k2x +b,由图象知y=kx+b过点(0,4与(6,28),.b=4, 解得 ∫k2=4,∴y= k2+b=28, 4+4x(0≤x≤6), (x>6) (2)当y=12时,y=4x+4,解得x=2由y=,解得x=14,所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为14-2=12(分钟 方法总结:现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量,解答此类问题的关键是 首先确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式
(3)∵W＝(x－2)y＝60－ 120 x ，又∵x≤10，∴当 x＝10 时，W 取最大值，W 最大＝60－ 120 10 ＝48(元)． 方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目 的关键是准确理解题意． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 6 题 【类型四】 反比例函数的综合应用 如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y℃，从加热 开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系．已 知该材料在加热前的温度为 4℃，加热一段时间使材料温度达到 28℃时停止加热，停止加热 后，材料温度逐渐下降，这时温度 y 与时间 x 成反比例函数关系．已知第 12 分钟时，材料 温度是 14℃. (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数关系式(写出 x 的取值范围)； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃的这段时间内，需要对该材料进行特 殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 解析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；停止加热进行 操作时，温度 y 与时间 x 成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2) 把 y＝12 代入 y＝4x＋4 得 x＝2，代入 y＝ 168 x 得 x＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时 间为 14－2＝12(分钟)． 解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为 y＝ k1 x ，∵y＝ k1 x 过(12，14)，得 k1＝12×14＝ 168，则 y＝ 168 x ；当 y＝28 时，28＝ 168 x ，解得 x＝6.设加热过程中一次函数表达式为 y＝k2x ＋b，由图象知 y＝k2 x＋b 过点(0，4) 与(6，28)，∴ b＝4， 6k2＋b＝28， 解得 k2＝4， b＝4， ∴y＝ 4＋4x（0≤x≤6）， 168 x （x＞6）； (2)当 y＝12 时，y＝4x＋4，解得 x＝2.由 y＝ 168 x ，解得 x＝14，所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 14－2＝12(分钟)． 方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是 首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 三、板书设计 反比例函数在路程问题中的应用 2.反比例函数在工程问题中的应用 3.利用反比例函数解决利润问题; 4.反比例函数与一次函数的综合应用 教学反思 本节课是用函数的观点处理实际问题,关键在于分析实际情境,建立函数模型,并进一 步明确数学问题.将实际问题置于已有的知识背景之中,用数学知识重新解释“这是什么” 使学生逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时,应充分利用函数的图象,渗透数形结 合的思想
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 4 题 三、板书设计 1．反比例函数在路程问题中的应用； 2．反比例函数在工程问题中的应用； 3．利用反比例函数解决利润问题； 4．反比例函数与一次函数的综合应用． 本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一 步明确数学问题．将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释“这是什么”， 使学生逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结 合的思想