2721相似三角形的判定 第2课时三边成比例的两个三角形相似 学司目标 1.理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法:(重点 2.会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题 数学程 、情境导入 我们现在判定两个三角形是否相似,必须要知道它们的对应角是否相等,对应边是否成 比例.那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢? 在如图所示的方格上任画一个三角形,再画第二个三角形,使它的三边长都是原来三角 形的三边长的相同倍数画完之后,用量角器比较两个三角形的对应角,你发现了什么结论? 大家的结论都一样吗? 、合作探究 探究点:三边对应成比例的两个三角形相似 【类型一】直接利用定理判定两个三角形相似 1在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,在Rt△EDF中,∠F=90°,DF =3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么? 解析:已知△ABC和△EDF都是直角三角形,且已知两条边长,所以可利用勾股定理 分别求出第三边的长,看对应边是否对应成比例 解:△ABC∽△EDF在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°,由勾股定理得AC √AB2-Bc=02-62=8在R△DEF中,DP=3,EF=4,∠F=90°,由勾股定理得 ED=√DF2+EF2=√32+42=5.在△ABC和△EDF中, AC=8,AB=10 EF 4 ED 5 BC AC AB 所以 所以△ABC∽△EDF DF EF ED 方法总结:利用三边对应成比例判定两个三角形相似时,应说明三角形的三边对应成比 例,而不是两边对应成比例.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 【类型二】网格中的相似三角形 囹2如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上, 判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由
27.2.1 相似三角形的判定 第 2 课时 三边成比例的两个三角形相似 1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点) 2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题． 一、情境导入 我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成 比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？ 在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角 形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？ 大家的结论都一样吗？ 二、合作探究 探究点：三边对应成比例的两个三角形相似 【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，在 Rt△EDF 中，∠F＝90°，DF ＝3，EF＝4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？ 解析：已知△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理 分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例． 解：△ABC∽△EDF.在 Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝6，∠C＝90°，由勾股定理得 AC ＝ AB2－BC2＝ 102－6 2＝8.在 Rt△DEF 中，DF＝3，EF＝4，∠F＝90°，由勾股定理得 ED＝ DF2＋EF2＝ 3 2＋4 2＝5.在△ABC 和△EDF 中， BC DF＝ 6 3 ＝2， AC EF＝ 8 4 ＝2， AB ED＝ 10 5 ＝2， 所以BC DF＝ AC EF＝ AB ED，所以△ABC∽△EDF. 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比 例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 2 题 【类型二】 网格中的相似三角形 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上， 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．
解析:首先由勾股定理,求得△ABC和△DEF的各边的长,即可得AB_AC⊥BC 后由三组对应边的比相等的两个三角形相似,即可判定△ABC和△DEF相似 解:△ABC和△DEF相似.由勾股定理,得AB=2√5,AC=√5,BC=5,DE=4,DF AB AC BC 2,EF=2 △ABC∽△DEF DE DE EF 4 2 方法总结:在网格中计算线段的长,运用勾股定理是常用的方法 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题 【类型三】利用相似三角形证明角相等 例3如图,已知 AB BC AC AD DE AE,找出图中相等的角,并说明你的理由 解析:由B=BC⊥AC AD DE AE 明△ABC∽△ADE,再利用相似三角形对应角相等求解 解:在△ABC和△DE中,B=BC=AC.:△ABCO△ADE,…∠BAC=∠DAE ∠B=∠D,∠C=∠E. 方法总结:在证明角相等时,可通过证明三角形相似得到 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型四】利用相似三角形的判定证明线段的平行关系 例4如图,某地四个乡镇A,B,C,D之间建有公路,已知AB=14千米,AD=28千 米,BD=21千米,BC=42千米,DC=31.5千米,公路AB与CD平行吗?说出你的理由 解析:由图中已知线段的长度,可求两个三角形的对应线段的比,证明三角形相似,得 出角相等,通过角相等证明线段的平行关系 解:公路AB与CD平行:BD=21=3BC=42=3DC=315=3,△4BD△BDC ∠ABD=∠BDC,∴AB∥DC 方法总结:如果在已知条件中边的数量关系较多时,可考虑使用“三边对应成比例,两 三角形相似”的判定方法
解析：首先由勾股定理，求得△ABC 和△DEF 的各边的长，即可得AB DE＝ AC DF＝ BC EF，然 后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC 和△DEF 相似． 解：△ABC 和△DEF 相似．由勾股定理，得 AB＝2 5，AC＝ 5，BC＝5，DE＝4，DF ＝2，EF＝2 5，∵ AB DE＝ AC DF＝ BC EF＝ 2 5 4 ＝ 5 2 ，∴△ABC∽△DEF. 方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 8 题 【类型三】 利用相似三角形证明角相等 如图，已知AB AD＝ BC DE＝ AC AE，找出图中相等的角，并说明你的理由． 解析：由 AB AD＝ BC DE＝ AC AE，证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形对应角相等求解． 解：在△ABC 和△ADE 中，∵ AB AD＝ BC DE＝ AC AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC ＝∠DAE， ∠B＝∠D，∠C＝∠E. 方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 6 题 【类型四】 利用相似三角形的判定证明线段的平行关系 如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公路，已知 AB＝14 千米，AD＝28 千 米，BD＝21 千米，BC＝42 千米，DC＝31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你的理由． 解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得 出角相等，通过角相等证明线段的平行关系． 解：公路 AB 与 CD 平行．∵ AB BD＝ 14 21＝ 2 3 ， AD BC＝ 28 42＝ 2 3 ， BD DC＝ 21 31.5＝ 2 3 ，∴△ABD∽△BDC， ∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥DC. 方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两 三角形相似”的判定方法．
【类型五】利用相似三角形的判定解决探究性问题 例5要制作两个形状相同的三角形教具,其中一个三角形教具的三边长分别为50cm, 60cm,80cm,另一个三角形教具的一边长为20cm,请问怎样选料可使这两个三角形教具相 似?想想看,有几种解决方案 解析:要使两个三角形相似,已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边,则我们可 以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定 解:①当长为20cm的边长的对应边为50cm时,∵50:20=5:2,且第一个三角形教 具的三边长分别是50cm,60cm,80cm,∴另一个三角形对应的三边分别为:20cm,24cm 32cm:②当长为20cm的边长的对应边为60cm时,∵60:20=3:1,且第一个三角形教具 的三边长分别是50cm,60cm,80cm,∴另一个三角形对应的三边分别为:3cm,20cm,3 cm:③当长为20cm的边长的对应边为80cm时,80:20=4:1,且第一个三角形教具的 三边长分别是50cm,60cm,80cm,∴另一个三角形对应的三边分别为:12.5cm,15cm, 20cm.有三种解决方案 方法总结:解答此题的关键在于分类讨论,当对应比不确定时,采用分类讨论的方法可 避免漏解 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 板书设计 三角形相似的判定定理 三边对应成比例的两个三角形相似 2.利用相似三角形的判定解决问题 数学反思 因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题,然后证明猜想的命 题是否正确.课堂上教师主要还是以提问的形式,逐步引导学生去证明命题.从课后作业情 况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好
【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题 要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为 50cm， 60cm，80cm，另一个三角形教具的一边长为 20cm，请问怎样选料可使这两个三角形教具相 似？想想看，有几种解决方案． 解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可 以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定． 解：①当长为 20cm 的边长的对应边为 50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教 具的三边长分别是 50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm，24cm， 32cm；②当长为 20cm 的边长的对应边为 60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具 的三边长分别是 50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：50 3 cm，20cm， 80 3 cm；③当长为 20cm 的边长的对应边为 80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的 三边长分别是 50cm，60cm，80cm，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm，15cm， 20cm.∴有三种解决方案． 方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可 避免漏解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 7 题 三、板书设计 1．三角形相似的判定定理： 三边对应成比例的两个三角形相似； 2．利用相似三角形的判定解决问题． 因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命 题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情 况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好