28.2.1解直角三角形 学习目标 1.理解解直角三角形的意义和条件:(重点 2.根据元素间的关系,选择适当的关系式,求出所有未知元素.(难点) 、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜.设塔顶中心点为B,塔身中心线 与垂直中心线夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为点C在Rt△ABC中,∠C= 90°,BC=5.2m,AB=545m,求∠A的度数 在上述的Rt△ABC中,你还能求其他未知的边和角吗? 二、合作探究 探究点一:解直角三角形 【类型一】利用解直角三角形求边或鱼 例1已知在R△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c,按下 列条件解直角三角形 (1)若a=36,∠B=30°,求∠A的度数和边b、c的长 (2)若a=6V,b=66,求∠A、∠B的度数和边c的长 解析:(1)已知直角边和一个锐角,解直角三角形;(□)已知两条直角边,解直角三角形 解:(1)在R△ABC中,∵∠B=30°,a=36,∴∠A=90°∠B=60°,∵cosB=g, 36 24√3,∴b=sinB ×24√3=12√3 sB√3 在RA△ABC中,∵:=6互,b=65,:m==,∴:∠A=30 方法总结:解直角三角形时应求出所有未知元素,解题时尽可能地选择包含所求元素与 两个已知元素的关系式求解 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】构造直角三角形解决长度问题 囹2一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90 ∠E=30°,∠A=45°,AC=122,试求CD的长
28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在 1350 年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为 B, 塔身中心线 与垂直中心线夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C.在 Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A 的度数． 在上述的 Rt△ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a，b，c，按下 列条件解直角三角形． (1)若 a＝36，∠B＝30°，求∠A 的度数和边 b、c 的长； (2)若 a＝6 2，b＝6 6，求∠A、∠B 的度数和边 c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在 Rt△ABC 中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝ a c ， 即 c＝ a cosB ＝ 36 3 2 ＝24 3，∴b＝sinB·c＝ 1 2 ×24 3＝12 3； (2)在 Rt△ABC 中，∵a＝6 2，b＝6 6，∴tanA＝ a b ＝ 3 3 ，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°， ∴c＝2a＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与 两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 4 题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°， ∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝12 2，试求 CD 的长．
解析:过点B作BM⊥FD于点M,求出BM与CM的长度,然后在△EFD中可求出∠EDF =60°,利用解直角三角形解答即可 解:过点B作BM⊥FD于点M,在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=45°,AC=122, BC=AC=12√2∵AB∥CF,∴BM=sin45°BC=122×= 212,CM=BM=12在△EFD 中,∠F=90 ∠E=30 ∠EDF=60 ∴MD= ∴CD=CM—MD 方法总结:解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形,然后利用所学的三角函数 的关系进行解答 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 【类型三】运用解直角三角形解决面积问题 3]如图,在△ABC中,已知∠C=90°,sinA=3,D为边AC上一点,∠BDC=45°, DC=6求△ABC的面积 解析:首先利用正弦的定义设BC=3k,AB=Tk,利用BC=CD=3k=6,求得k值,从 而求得AB的长,然后利用勾股定理求得AC的长,再进一步求解 解:∵∠C=90°,:在R△ABC中,sin=BC=3,设BC=3k,则AB=7kk>0,在 AB Rt△BCD中,∵∠BCD=90 ∠BDC=45°,∴∠CBD=∠BDC=45°,∴BC=CD 3k=6,∴k=2,∴AB=14在Rt△ABC中,AC=VAB2-BC2=y142-62=4V10,∴S△ABC AC·BC=×410×6=12√10所以△ABC的面积是12√10 方法总结:若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数,可设出一个辅助未知数,列 方程解答 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 探究点二:解直角三角形的综合 【类型一】解直角三角形与等腰三角形的综合 例4己知等腰三角形的底边长为√2,周长为2+√,求底角的度数 解析:先求腰长,作底边上的高,利用等腰三角形的性质,求得底角的余弦,即可求得 底角的度数
解析：过点 B 作 BM⊥FD 于点M，求出 BM 与 CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF ＝60°，利用解直角三角形解答即可． 解：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M，在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 2， ∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝12 2× 2 2 ＝12，CM＝BM＝12.在△EFD 中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝ BM tan60° ＝4 3，∴CD＝CM－MD＝ 12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数 的关系进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第 4 题 【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题 如图，在△ABC 中，已知∠C＝90°，sinA＝ 3 7 ，D 为边 AC 上一点，∠BDC＝45°， DC＝6.求△ABC 的面积． 解析：首先利用正弦的定义设 BC＝3k，AB＝7k，利用 BC＝CD＝3k＝6，求得 k 值，从 而求得 AB 的长，然后利用勾股定理求得 AC 的长，再进一步求解． 解：∵∠C＝90°，∴在 Rt△ABC 中，sinA＝ BC AB＝ 3 7 ，设 BC＝3k，则 AB＝7k(k＞0)，在 Rt△BCD 中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝ 3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2－BC2＝ 142－6 2＝4 10，∴S△ABC ＝ 1 2 AC·BC＝ 1 2 ×4 10×6＝12 10.所以△ABC 的面积是 12 10. 方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列 方程解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 7 题 探究点二：解直角三角形的综合 【类型一】 解直角三角形与等腰三角形的综合 已知等腰三角形的底边长为 2，周长为 2＋ 2，求底角的度数． 解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得 底角的度数．
解:如图,在△ABC中,AB=AC,BC=V,∵周长为2+√2,∴AB=AC=1过A作 AD⊥BC于点D,则BD 2在Rt△ABD中,cos∠ABD=Dy v2 AB 2 ,∴∠ABD=45° 等腰三角形的底角为45 方法总结:求角的度数时,可考虑利用特殊角的三角函数值 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 【类型二】解直角三角形与圆的综合 5己知:如图,Rt△AOB中,∠O=90°,以OA为半径作⊙O,BC切⊙O于点C, 连接AC交OB于点P (1)求证:BP=BC; (2)若sin∠PO=,且PC=7,求⊙O的半径 解析:(1)连接OC,由切线的性质,可得∠OCB=90°,由OA=OC,得∠OCA=∠OAC, 再由∠AOB=90°,可得出所要求证的结论;(2)延长AO交⊙O于点E,连接CE,在Rt△ AOP和Rt△ACE中,根据三角函数和勾股定理,列方程解答 解:(1)连接OC,∵BC是⊙O的切线,∴∠OCB=90°,∴∠OCA+∠BCA OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∴∠OAC+∠BCA=90°,∠BOA=90°,∴∠OAC+∠AP 90°,∵∴∠APO=∠BPC,∴∠BPC=∠BCA,∴BC=BP; (2)延长AO交⊙O于点E,连接CE,在Rt△AOP中,∵sin∠PAO=,设OP=x,AP A0=2x:AO=OE,:.E=2V5x,:AE=4压2x:sn∠PO=1,:在R△ACE CE1.AC_22,3x+72解得x=3,∴AO=2V2x=62,即⊙O的半径为 Ae 3 AE 3 42x3 方法总结:本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识,解决问题的关键是根 据三角函数的定义结合勾股定理列出方程 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
解：如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝ 2，∵周长为 2＋ 2，∴AB＝AC＝1.过 A 作 AD⊥BC 于点 D，则 BD＝ 2 2 ，在 Rt△ABD 中，cos∠ABD＝ BD AB＝ 2 2 ，∴∠ABD＝45°，即 等腰三角形的底角为 45°. 方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 2 题 【类型二】 解直角三角形与圆的综合 已知：如图，Rt△AOB 中，∠O＝90°，以 OA 为半径作⊙O，BC 切⊙O 于点 C， 连接 AC 交 OB 于点 P. (1)求证：BP＝BC； (2)若 sin∠PAO＝ 1 3 ，且 PC＝7，求⊙O 的半径． 解析：(1)连接 OC，由切线的性质，可得∠OCB＝90°，由 OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC， 再由∠AOB＝90°，可得出所要求证的结论；(2)延长 AO 交⊙O 于点 E，连接 CE，在 Rt△ AOP 和 Rt△ACE 中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答． 解：(1)连接 OC，∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵ OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO ＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP； (2)延长 AO 交⊙O 于点 E，连接 CE，在 Rt△AOP 中，∵sin∠PAO＝ 1 3 ，设 OP＝x，AP ＝3x，∴AO＝2 2x.∵AO＝OE，∴OE＝2 2x，∴AE＝4 2x.∵sin∠PAO＝ 1 3 ，∴在 Rt△ACE 中 CE AE＝ 1 3 ，∴ AC AE＝ 2 2 3 ，∴ 3x＋7 4 2x ＝ 2 2 3 ，解得 x＝3，∴AO＝2 2x＝6 2，即⊙O 的半径为 6 2. 方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根 据三角函数的定义结合勾股定理列出方程． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 9 题
板书设计 1.解直角三角形的基本类型及其解法 2.解直角三角形的综合 数学反思 本节课的设计,力求体现新课程理念.给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围,让学 生学得更主动、更轻松,力求在探索知识的过程中,培养探索能力、创新精神和合作精神 激发学生学习数学的积极性和主动性
三、板书设计 1．解直角三角形的基本类型及其解法； 2．解直角三角形的综合． 本节课的设计，力求体现新课程理念．给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学 生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神， 激发学生学习数学的积极性和主动性