282,2应用举例 第3课时利用方位角、坡度解直角三角形 学习目标 1.知道测量中方位角、坡角、坡度的概念,掌握坡度与坡角的关系;(重点) 2.能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题.(难点) 数等程一 情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图,坡面的铅 垂高度(b)和水平长度(0的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作1,即=2 h 坡度通常写成1:m的形式,如i=1:6坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,有i tanα.显然,坡度越大,坡角α就越大,坡面就越陡.我们这节课就解决这方面的问题 合作探究 探究点一:利用方位角解直角三角形 【类型一】利用方位角求垂直距离 如图所示,A、B两城市相距200km现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即 线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向 上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心,100km为半径的圆形区域内,请问:计划修 筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据:√3≈1.732,2≈1414 解析:过点P作PC⊥AB,C是垂足.AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来.根 据AB的长得到一个关于PC的方程,求出PC的长.从而可判断出这条高速公路会不会穿 越保护区 E A C 解:过点P作PC⊥AB,C是垂足.则∠APC=30°,∠BPC=45°,AC= PCtan30° BC= PCtan45°∵AC+BC=AB,∴PC·tan30°+ PC tan45°=200, -PC+ PC=200
28.2.2 应用举例 第 3 课时 利用方位角、坡度解直角三角形 1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点) 2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点) 一、情境导入 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅 垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝ h l . 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，有 i ＝ h l ＝tanα.显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题． 二、合作探究 探究点一：利用方位角解直角三角形 【类型一】 利用方位角求垂直距离 如图所示，A、B 两城市相距 200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即 线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30°和 B 城市的北偏西 45°的方向 上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修 筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)． 解析：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．AC 与 BC 都可以根据三角函数用 PC 表示出来．根 据 AB 的长得到一个关于 PC 的方程，求出 PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿 越保护区． 解：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足．则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°， BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即 3 3 PC＋PC＝200
解得PC≈126.8km>100km 答:计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区 方法总结:解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是 作高线 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】利用方位角求水平距 例2“村村通”公路工程拉近了城乡距离,加速了我区农村经济建设步伐.如图所示 C村村民欲修建一条水泥公路,将C村与区级公路相连.在公路A处测得C村在北偏东60° 方向,沿区级公路前进500m,在B处测得C村在北偏东30°方向.为节约资源,要求所修 公路长度最短.画出符合条件的公路示意图,并求出公路长度.(结果保留整数) 公路 解析:作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,据题意有∠CAD=30°,求得AD在Rt△CBD 中,据题意有∠CBD=60°,求得BD又由AD-BD=500,从而解得CD 级公路B 解:如图,过点C作CD⊥AB,垂足落在AB的延长线上,CD即为所修公路,CD的长 度即为公路长度.在Rt△ACD中,据题意有∠CAD=30 tn∠ CAD- AD'.AD==Q CD tan30° 3CD在Rt△CBD中,据题意有∠CBD=60°,∵tan∠CBD B∴BD==￥ CD又;AD-BD=50,.:、5Cm-￥2CD=50.解得CD=43m 答:所修公路长度约为433m 方法总结:在解决有关方位角的问题中,一般要根据题意理清图形中各角的关系 有时所给的方位角并不一定在直角三角形中需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余 角等知识转化为所需要的角 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4 探究点二:利用坡角、坡度解直角三角形 【类型一】利用坡角、坡度解决梯形回题 3如图,某水库大坝的横截面为梯形ABCD,坝顶宽BC=3米,坝高为2米,背水 坡AB的坡度i=1:1,迎水坡CD的坡角∠ADC为30°求坝底AD的长度
解得 PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是 作高线． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 1 题 【类型二】 利用方位角求水平距离 “村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示， C 村村民欲修建一条水泥公路，将 C 村与区级公路相连．在公路 A 处测得 C 村在北偏东 60° 方向，沿区级公路前进 500m，在 B 处测得 C 村在北偏东 30°方向．为节约资源，要求所修 公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整数) 解析：作 CD⊥AB 于 D，在 Rt△ACD 中，据题意有∠CAD＝30°，求得 AD.在 Rt△CBD 中，据题意有∠CBD＝60°，求得 BD.又由 AD－BD＝500，从而解得 CD. 解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，垂足落在 AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长 度即为公路长度．在 Rt△ACD 中，据题意有∠CAD＝30°，∵tan∠CAD＝ CD AD，∴AD＝ CD tan30° ＝ 3CD.在 Rt△CBD 中，据题意有∠CBD＝60°，∵tan∠CBD＝ CD BD，∴BD＝ CD tan60° ＝ 3 3 CD.又∵AD－BD＝500，∴ 3CD－ 3 3 CD＝500，解得 CD≈433(m)． 答：所修公路长度约为 433m. 方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系， 有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余 角等知识转化为所需要的角． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 4 题 探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形 【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题 如图，某水库大坝的横截面为梯形 ABCD，坝顶宽 BC＝3 米，坝高为 2 米，背水 坡 AB 的坡度 i＝1∶1，迎水坡 CD 的坡角∠ADC 为 30°.求坝底 AD 的长度．
解析:首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD,可得四边形BEFC是矩形,又由背水坡AB 的坡度i=1:1,迎水坡CD的坡角∠ADC为30°,根据坡度的定义,即可求解 B 解:分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD,垂足为E、F,可得BE∥CF,又∵BC∥AD ∴BC=EF,BE=CF由题意,得EF=BC=3,BE=CE=2∴∵背水坡AB的坡度i=1:1,∴ ∠BAE=45° am5°=2,DF=m30°=2V3,∴AD=AE+EF+DF=2+3+23 5+2√3(m) 答:坝底AD的长度为(5+2√3)m 方法总结:解决此类问题一般要构造直角三角形,并借助于解直角三角形的知识求解 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题 4如图,某地下车库的入口处有斜坡AB,它的坡度为i=1:2,斜坡AB的长为 m,斜坡的高度为AHAH⊥BO,为了让行车更安全,现将斜坡的坡角改造为14°(图中的 ∠ACB=14°) (1)求车库的高度AH (2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m,参考数据:sin4°≈0.24,cosl4°≈0.97, tanl4≈0.25) 解析:(1)利用坡度为i=1:2,得出AH∴BH=1:2,进而利用勾股定理求出AH的长 (2)利用tanl4°=BC+12,求出BC的长即可 解:(1)由题意可得AH:BH=1:2,设AH=x,则BH=2x,故x2+(2x)2=(65)2,解 得x=6,故车库的高度AH为6m (2)∵AH=6m,∴BH=2AH=12m,∴CH=BC+BH=BC+12m在R△AHC中,∠AHC 6 6 90°,故tn∠ACB=H又∠ACB=14,n14=BC+12,即025=BC+12 解得BC=12m 答:点B与点C之间的距离是12m 方法总结:本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题,明确坡度等于坡角的正 切值是解题的关键 变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 板书设计
解析：首先过 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形 BEFC 是矩形，又由背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1，迎水坡 CD 的坡角∠ADC 为 30°，根据坡度的定义，即可求解． 解：分别过 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为 E、F，可得 BE∥CF，又∵BC∥AD， ∴BC＝EF，BE＝CF.由题意，得 EF＝BC＝3，BE＝CE＝2.∵背水坡 AB 的坡度 i＝1∶1，∴ ∠BAE＝45°，∴AE＝ BE tan45° ＝2，DF＝ CF tan30° ＝2 3，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋2 3 ＝5＋2 3(m)． 答：坝底 AD 的长度为(5＋2 3)m. 方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第 6 题 【类型二】 利用坡角、坡度解决三角形问题 如图，某地下车库的入口处有斜坡 AB，它的坡度为 i＝1∶2，斜坡 AB 的长为 6 5 m，斜坡的高度为 AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为 14°(图中的 ∠ACB＝14°)． (1)求车库的高度 AH； (2)求点 B 与点 C 之间的距离(结果精确到 1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97， tan14°≈0.25)． 解析：(1)利用坡度为 i＝1∶2，得出 AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出 AH 的长； (2)利用 tan14°＝ 6 BC＋12，求出 BC 的长即可． 解：(1)由题意可得 AH∶BH＝1∶2，设 AH＝x，则 BH＝2x，故 x 2＋(2x) 2＝(6 5) 2，解 得 x＝6，故车库的高度 AH 为 6m； (2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m.在 Rt△AHC 中，∠AHC ＝90°，故 tan∠ACB＝ AH CH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝ 6 BC＋12，即 0.25＝ 6 BC＋12， 解得 BC＝12m. 答：点 B 与点 C 之间的距离是 12m. 方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正 切值是解题的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第 6 题 三、板书设计
1.方位角的意义; 2.坡度、坡比的意义; 应用方位角、坡度、坡比解决实际问题. 数学反思 将解直角三角形应用到实际生活中,有利于培养学生的空间想象能力,即要求学生通过 对实物的观察或根据文字语言中的某些条件,画出适合他们的图形.这一方面在教学过程应 由学生展开,并留给学生思考的时间,给学生充分的自主思考空间和时间,让学生积极主动 地学习
1．方位角的意义； 2．坡度、坡比的意义； 3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题． 将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过 对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应 由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动 地学习