5.1相交线 5.11相交线 学习目标 1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认:(重点) 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程;(重点、难点) 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力 数学过程 、情境导入 同学们,你们看这座宏伟的大桥,它的两端有很多斜拉的平行钢索,桥的侧面有许多相 交钢索组成的图案;围棋棋盘的纵线相互平行,横线相互平行,纵线和横线相交.这些都给 我们以相交线、平行线的形象.在我们生活中,蕴涵着大量的相交线和平行线.那么两条直 线相交形成哪些角?这些角又有什么特征? 大桥上的钢梁和钢索棋盘上的横线和纵线 合作探究 探究点一:对顶角和邻补角的概念 【类型一】对顶角的识别 例卫下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是() X yh 解析:观察∠1与∠2的位置特征,只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点,且∠1的 两边是∠2的两边的反向延长线.故选C. 方法总结:判断对顶角只看两点:①有公共顶点;②一个角的两边分别是另一个角的两 边的反向延长线 【类型二】邹补角的识别 囹2如图所示,直线AB和CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是
5．1 相交线 5．1.1 相交线 1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认；(重点) 2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程；(重点、难点) 3．通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力． 一、情境导入 同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许多相 交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交．这些都给 我们以相交线、平行线的形象．在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线．那么两条直 线相交形成哪些角？这些角又有什么特征？ 二、合作探究 探究点一：对顶角和邻补角的概念 【类型一】 对顶角的识别 下列图形中∠1 与∠2 互为对顶角的是( ) 解析：观察∠1 与∠2 的位置特征，只有 C 中∠1 和∠2 同时满足有公共顶点，且∠1 的 两边是∠2 的两边的反向延长线．故选 C. 方法总结：判断对顶角只看两点：①有公共顶点；②一个角的两边分别是另一个角的两 边的反向延长线． 【类型二】 邻补角的识别 如图所示，直线 AB 和 CD 相交所成的四个角中，∠1 的邻补角是________．
解析:根据邻补角的概念判断:有一个公共顶点、一条公共边,另一边互为延长线.∠ 和∠2、∠1和∠4都满足有一个公共顶点和一条公共边,另一边互为延长线,故为邻补角.故 答案为∠2和∠4 方法总结:邻补角的定义包含了两层含义:相邻且互补.但需要注意的是:互为邻补角 的两个角一定互补,但互补的角不一定是邻补角 探究点二:对顶角的性质 【类型一】利用对顶角的性质求角的度数 例3如图,直线AB、CD相交于点O,若∠BOD=42°,OA平分∠COE,求∠DOE 的度数 C- 解析:根据对顶角的性质,可得∠AOC与∠BOD的关系,根据OA平分∠COE,可得 ∠COE与∠AOC的关系,根据邻补角的性质,可得答案 解:由对顶角相等得∠AOC=∠BOD=42°∵OA平分∠COE,∴∠COE=2∠AOC= 84°由邻补角的性质得∠DOE=1 ∠COE=180°-84°=96° 方法总结:解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角,根据两种角的性质找出 已知角和未知角之间的数量关系 【类型二】结合方程思想求角度 4如图,直线AC,EF相交于点O,OD是∠AOB的平分线,OE在∠BOC内,∠ BOE=∠EOC,∠DOE=72°,求∠AOF的度数 解析:因为已知量与未知量的关系较复杂,所以想到列方程解答,根据观察可设∠BOE =x,则∠AOF=∠EOC=2x,然后根据对顶角和邻补角找到等量关系,列方程 解:设∠BOE=x,则∠AOF=∠EOC=2x∵∠AOB与∠BOC互为邻补角,∴∠AOB 180°-3x∵OD平分∠AOB,:∠DOB=1∠AOB=90-3x:∠DOE=72”,:90° 3x+x=2°,解得x=36°∴:∠AOF=2x=72° 方法总结:在相交线中求角的度数时,就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补.若已知 关系较复杂,比如出现比例或倍分关系时,可列方程解决角度问 【类型三】应用对顶角的性质解决实际问题
解析：根据邻补角的概念判断：有一个公共顶点、一条公共边，另一边互为延长线．∠1 和∠2、∠1 和∠4 都满足有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为延长线，故为邻补角．故 答案为∠2 和∠4. 方法总结：邻补角的定义包含了两层含义：相邻且互补．但需要注意的是：互为邻补角 的两个角一定互补，但互补的角不一定是邻补角． 探究点二：对顶角的性质 【类型一】 利用对顶角的性质求角的度数 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，若∠BOD＝42°，OA 平分∠COE，求∠DOE 的度数． 解析：根据对顶角的性质，可得∠AOC 与∠BOD 的关系，根据 OA 平分∠COE，可得 ∠COE 与∠AOC 的关系，根据邻补角的性质，可得答案． 解：由对顶角相等得∠AOC＝∠BOD＝42°.∵OA 平分∠COE，∴∠COE＝2∠AOC＝ 84°.由邻补角的性质得∠DOE＝180°－∠COE＝180°－84°＝96°. 方法总结：解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角，根据两种角的性质找出 已知角和未知角之间的数量关系． 【类型二】 结合方程思想求角度 如图，直线 AC，EF 相交于点 O，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，∠ BOE＝ 1 2 ∠EOC，∠DOE＝72°，求∠AOF 的度数． 解析：因为已知量与未知量的关系较复杂，所以想到列方程解答，根据观察可设∠BOE ＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x，然后根据对顶角和邻补角找到等量关系，列方程． 解：设∠BOE＝x，则∠AOF＝∠EOC＝2x.∵∠AOB 与∠BOC 互为邻补角，∴∠AOB ＝180°－3x.∵OD 平分∠AOB，∴∠DOB＝ 1 2 ∠AOB＝90°－ 3 2 x.∵∠DOE＝72°，∴90°－ 3 2 x＋x＝72°，解得 x＝36°.∴∠AOF＝2x＝72°. 方法总结：在相交线中求角的度数时，就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补．若已知 关系较复杂，比如出现比例或倍分关系时，可列方程解决角度问题． 【类型三】 应用对顶角的性质解决实际问题
5如图,要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数,但人不能进入围墙,如何测量?请 你写出测量方法,并说明几何道理 解析:可以利用对顶角相等的性质,把∠AOB转化到另外一个角上 解:反向延长射线OB到E,反向延长射线OA到F,则∠EOF和∠AOB是对顶角,所 以可以测量出∠EOF的度数,∠EOF的度数就是∠AOB的度数 方法总结:解决此类问题的关键是根据对顶角的性质把不能测量的角进行转化 探究点三:与对顶角有关的探究问题 6我们知道:两直线交于一点,对顶角有2对:三条直线交于一点,对顶角有6对 四条直线交于一点,对顶角有12对 图① 图② (1)10条直线交于一点,对顶角有 (2)m(n≥2)条直线交于一点,对顶角有对 解析:(1)仔细观察计算对顶角对数的式子,发现式子不变的部分及变的部分的规律, 得出结论,代入数据求解.如图①,两条直线交于一点,图中共有 (4-2)×4 2对对顶 (6-2)×6 角;如图②,三条直线交于一点,图中共有 6对对顶角;如图③,四条直线 (8-2)×8 交于一点,图中共有 =12对对顶角……按这样的规律,10条直线交于一点,那 么对顶角共有(20-2)×20 90(对).故答案为90 (2)利用(1)中规律得出答案即可.由(1)得mn≥2)条直线交于 对顶角的对数为 2n(2n-2) =n(n-1).故答案为m(n-1) 方法总结:解决探索规律的问题,应全面分析所给的数据,特别要注意观察符号的变化 规律,发现数据的变化特征 三、板书设计 邻补角 两条直线相交对顶角求角的大小 对顶角相等」 数学反思 本节课通过对学生身边熟悉的事物引入,让学生感受到生活中处处有数学,数学与我们
如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB 的度数，但人不能进入围墙，如何测量？请 你写出测量方法，并说明几何道理． 解析：可以利用对顶角相等的性质，把∠AOB 转化到另外一个角上． 解：反向延长射线 OB 到 E，反向延长射线 OA 到 F，则∠EOF 和∠AOB 是对顶角，所 以可以测量出∠EOF 的度数，∠EOF 的度数就是∠AOB 的度数． 方法总结：解决此类问题的关键是根据对顶角的性质把不能测量的角进行转化． 探究点三：与对顶角有关的探究问题 我们知道：两直线交于一点，对顶角有 2 对；三条直线交于一点，对顶角有 6 对； 四条直线交于一点，对顶角有 12 对…… (1)10 条直线交于一点，对顶角有________对； (2)n(n≥2)条直线交于一点，对顶角有________对． 解析：(1)仔细观察计算对顶角对数的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律， 得出结论，代入数据求解．如图①，两条直线交于一点，图中共有（4－2）×4 4 ＝2 对对顶 角；如图②，三条直线交于一点，图中共有（6－2）×6 4 ＝6 对对顶角；如图③，四条直线 交于一点，图中共有（8－2）×8 4 ＝12 对对顶角……按这样的规律，10 条直线交于一点，那 么对顶角共有（20－2）×20 4 ＝90(对)．故答案为 90； (2)利用(1)中规律得出答案即可．由(1)得 n(n≥2)条直线交于一点，对顶角的对数为 2n（2n－2） 4 ＝n(n－1)．故答案为 n(n－1)． 方法总结：解决探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化 规律，发现数据的变化特征． 三、板书设计 两条直线相交 邻补角 对顶角 对顶角相等 求角的大小 本节课通过对学生身边熟悉的事物引入，让学生感受到生活中处处有数学，数学与我们
的生活密不可分;学生经历合作探究过程获得新知,并能用所学的新知识来解决实际问题.这 样教学更能激发学生学习数学的兴趣,提升学生的能力,促进学生的发展
的生活密不可分；学生经历合作探究过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题．这 样教学更能激发学生学习数学的兴趣，提升学生的能力，促进学生的发展