51.2垂线 教学目标 1.了解垂直概念 2能说出垂线的性质“经过一点:能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线” 3会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线 重点:两直线互相垂直的有关性质 难点:过直线上(外)一点作已知直线的垂线 教学过程 【教学备注】 创设情境,引入课题 生活中的垂线 目标导学探索新知 目标导学1:垂直的定义 活动1在相交线的模型中,固定木条a转动木条b,当 b的位置变化时,a、b所成的角a也会发生变化 当q=90°时a与b垂直当a≠90°时,a与b 不垂直,叫斜交 教学提示】引导 1垂直定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个 生通过木条的转 角是直角(90°)时,这两条直线互相垂直,其中一条直 动过程得出垂线的 线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足。 定义。 (说明)从垂直的定义可知,判断两条直线互相垂直的关键:只要找到两条直线相交 时四个交角中有一个角是直角。 2垂直的表示:用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图,a、b互相垂直,垂足为O,则记为:a⊥b或b ⊥a,若要强调垂足,则记为:a⊥b,垂足为O或a⊥b于O. 实际应用:日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的 www.youyilo0.com 第1页共7页
www.youyi100.com 第 1 页 共 7 页 5.1.2 垂 线 教学目标 1.了解垂直概念； 2.能说出垂线的性质“经过一点；能画出已知直线的一条垂线， 并且只能画出一条垂线”； 3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线． 重点：两直线互相垂直的有关性质． 难点：过直线上（外）一点作已知直线的垂线． 教学过程 一、创设情境，引入课题 生活中的垂线 二、目标导学,探索新知 目标导学 1：垂直的定义 活动 1 在相交线的模型中,固定木条 a,转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角α也会发生变化. 当α =90°时,a 与 b 垂直.当α ≠90°时,a 与 b 不垂直，叫斜交. 1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个 角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直 线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 （说明）从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交 时四个交角中有一个角是直角。 2.垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直 例如、如图，a、b 互相垂直, 垂足为 O，则记为：a⊥b 或 b ⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为 O.或 a⊥b 于 O. 实际应用：日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的 【教学备注】 【教学提示】引导 学生通过木条的转 动过程得出垂线的 定义
线条你能再举出其他例子吗? 铅垂线 水平线 方格本的横线和竖线 铅垂线和水平线 试一试 1、下面四种判定两条直线垂直的方法,正确的有( (1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,则这两条直线互相垂直 (2)两条直线相交,只要有一组邻补角相等,则这两条直线互相垂直 (3)两条直线相交,所成的四个角相等,这两条直线互相垂直 (4)两条直线相交,有一组对顶角互补,则这两条直线互相垂直 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 2如图,已知AOB为一直线,∠AOD:∠BOD=3:1,OD平分∠COB, (1)求∠AOC的度数:(2)判断AB与OC的位置关系 90 45° B 目标导学2:垂线的书写形式 当直线AB与CD相交于O点,∠AOD=90°时,AB⊥CD,垂足为O 书写形式1:因为∠AOD=90°(已知) 所以AB⊥CD(垂直的定义)反之,若直线AB与CD垂直,垂足为O,那么,∠A www.youyilo0.com 第2页共7页
www.youyi100.com 第 2 页 共 7 页 线条.你能再举出其他例子吗? 试一试： 1、下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有 （ ）个 （1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直 （2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直 （3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直 （4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直 （A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1 2.如图，已知ＡＯＢ为一直线，∠ＡＯＤ：∠ＢＯＤ＝３：１，ＯＤ平分∠ＣＯＢ， （１）求∠ＡＯＣ的度数；（２）判断ＡＢ与ＯＣ的位置关系． 目标导学 2：垂线的书写形式 当直线 AB 与 CD 相交于 O 点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为 O． 书写形式 1：因为∠AOD=90°（已知） 所以 AB⊥CD（垂直的定义）反之，若直线 AB 与 CD 垂直，垂足为 O，那么，∠A
OD=90° 书写形式2:.如图.直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,OB平分∠DOF, ∠DOE=50°,求∠AOC、∠EOF、∠COF的度数 垂线的定义 定义图示文字语言几何语言两层含义 当两条直 线所成的 AB⊥CD,含义1 四个角中 直线AB垂0为垂 AB⊥CD 有一个角 1直于直线足 ∴∠1=90° DcD.0为(垂直用含义2 【教学提示】对垂 是直角时, 线概念进行小结。 我们就说 垂足 这两条直 来表示, ∵∠1=90° B 线互相垂 读作“垂直∴AB⊥CD 直 于”) 学习目标3:垂线的画法和垂线性质1 活动2(一)画已知直线的垂线 (1)如图1,已知直线m作m的垂线 n 图1 图 (2)如图2,已知直线m和m上的一点A,作m的垂线 (1)靠:把三角板的一直角边靠在直线上 (2)移移动三角板到已知点 (3)画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线 思考: 【教学提示】通过 (1)画已知直线m的垂线能画几条? 画垂线的过程,引 (2)过直线m上的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条? 导学生思考,得出 性质1 (3)过直线m外的一点A画m的垂线,这样的垂线能画几条? www.youyilo0.com 第3页共7页
www.youyi100.com 第 3 页 共 7 页 OD=90° 书写形式 2：．如图．直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于 O，OB 平分∠ DOF， ∠DOE=50°，求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF 的度数． 垂线的定义 学习目标 3：垂线的画法和垂线性质 1 活动 2 （一）画已知直线的垂线 （1）如图 1，已知直线 m,作 m 的垂线。 图1 图2 （2）如图 2，已知直线 m 和 m 上的一点 A ,作 m 的垂线. （1）靠:把三角板的一直角边靠在直线上; （2）移:移动三角板到已知点; （3）画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线. 思考： (1)画已知直线 m 的垂线能画几条? (2)过直线 m 上的一点 A 画 m 的垂线,这样的垂线能画几条? (3)过直线 m 外的一点 A 画 m 的垂线,这样的垂线能画几条? 试一试： 【教学提示】对垂 线概念进行小结。 【教学提示】通过 画垂线的过程，引 导学生思考，得出 性质 1
过点p向线段AB所在直线引垂线,正确的是( A C ( 垂线的性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 说明:(1)“过一点”包括几种情况?线上和线外:(2)“有且只有”是什 么意思?存在性与唯一性 (二)过点P作线段或射线所在直线的垂线 B 注意过一点画已知线段(或射线)的垂线就是画这条线段(或射线所在直线的垂线画 线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线 试一试 1如图,分别过A、B、C,作BC、AC、AB的垂线 2如图,过P分别作OA、OB的垂线 APB [学 习目标3:垂线的性质 www.youyilo0.com 第4页共7页
www.youyi100.com 第 4 页 共 7 页 过点 p 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）. 垂线的性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 说明： （1）“过一点”包括几种情况？线上和线外；（2）“有且只有”是什 么意思？存在性与唯一性。 （二）过点 P 作线段或射线所在直线的垂线 注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.画 线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线. 试一试： 1.如图，分别过 A、B、C ,作 BC、AC、AB 的垂线。 2.如图，过 P 分别作 OA、OB 的垂线。 学习目标 3：垂线的性质
活动3比较过直线m外一点O与m相交的所有线段中,哪一条最短? B 垂线的性质2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中.垂线段最短.即 垂线段最短 点到直线的距离直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离 应用:在体育课上,老师是怎样测量同学们的跳远成绩的?你能尝试说明其中的 理由吗? 踏板 沙坑 做法:将尺子拉直与踏板边所在直线垂直,取最近的脚印后跟与踏板边沿之间的 距离就是跳远成绩 理由:直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短 四、垂线的定义与性质的应用 1如图.直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,OB平分∠DOF, DOE=50°,求∠AOC、∠EOF、∠COF 的度数 E 解:因为AB⊥OE(已知) 所以∠EOB=90°(垂直的定义) 因为∠DOE=50°(已知) 所以∠DOB=40°(互余的定义) 所以∠AOC=∠DOB=40°(对顶角相等) B 又因为OB平分∠DOF 所以∠BOF=∠DOB=40°(角平分线定 F 义) www.youyilo0.com 第5页共7页
www.youyi100.com 第 5 页 共 7 页 活动 3 比较过直线 m 外一点 O 与 m 相交的所有线段中，哪一条最短？ 垂线的性质 2 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中．垂线段最短．即： 垂线段最短． 点到直线的距离 直线外一点到已知直线的垂线段的长度就叫做点到直线的距离． 应用：在体育课上，老师是怎样测量同学们的跳远成绩的？你能尝试说明其中的 理由吗？ 做法：将尺子拉直与踏板边所在直线垂直，取最近的脚印后跟与踏板边沿之间的 距离就是跳远成绩． 理由：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短． 四、垂线的定义与性质的应用 1.如图．直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于 O，OB 平分∠ DOF，∠ DOE=50°，求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF 的度数． 解：因为 AB⊥OE （已知） 所以 ∠EOB=90°(垂直的定义) 因为∠DOE= 50° （已知） 所以 ∠DOB=40°(互余的定义) 所以∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又因为 OB 平分∠DOF 所以∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定 义）
所以∠EOF=∠EOB+∠BOF=90°+40°=130 所以∠COF=∠COD-∠DOF=180°-80°=100°(邻补角定义 2如图,一辆汽车在一段笔直的公路上从A村开往B村,P村不在路AB上 (1)如果有一人想在A、B两村之间下车,前往P村,他在哪里下车走的路程最 短?请画出图形,并说明原因 (2)汽车在哪一段路上行驶时,与P村的距离越来越近?汽车在哪一段路上行驶 时,与P村的距离越来越远? 答案:(1)在O点下车走的路程最短 原因:垂线段最短 (2)在AO路段上行驶时,与P村的距离 越来越近在OB路段上行驶时,与P 村的距离越来越远 3.下面四种判定两条直线的垂直的方法.正确的个数为() ①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角.则这两条直线互相垂直 ②两条直线相交.只要有一组邻补角相等.则这两条直线互相垂直 ③两条直线相交.所成的四个角相等.这两条直线互相垂直 ④两条直线相交.有一组对顶角互补.则这两条直线互相垂直 A.5 B.4 三、巩固训练,熟练技能 1两条直线相交所成的四个角中,下列条件中能判定两条直线垂直的是( (A)有两个角相等 (B)有两对角相等 (C)有三个角相等 (D)有四对邻补角 2如图所示,在△ABC中,∠ABC=90, ①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD 过D点作三角形 ABD的AB边上的高DE。 E ②点A到直线BC的距离是线段 的长度 点B到直线AC的距离是线段 的长度 点D到直线AB的距离是线段 的长度 线段AD的长度是点 到直线的距离 ●如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°,求 ∠AOE 4如图:直线AB和CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD,∠ www.youyilo0.com 第6页共7页
www.youyi100.com 第 6 页 共 7 页 所以∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° 所以∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100° (邻补角定义) 2.如图,一辆汽车在一段笔直的公路上从Ａ村开往 B 村,Ｐ村不在路 AB 上． （1）如果有一人想在Ａ、Ｂ两村之间下车,前往 P 村,他在哪里下车走的路程最 短？请画出图形,并说明原因． （2）汽车在哪一段路上行驶时,与 P 村的距离越来越近？汽车在哪一段路上行驶 时,与 P 村的距离越来越远？ 答案：（1）在 O 点下车走的路程最短. 原因：垂线段最短． （2）在 AO 路段上行驶时,与 P 村的距离 越来越近,在 OB 路段上行驶时,与 P 村的距离越来越远． 3.下面四种判定两条直线的垂直的方法．正确的个数为（ ） ①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角．则这两条直线互相垂直 ②两条直线相交．只要有一组邻补角相等．则这两条直线互相垂直 ③两条直线相交．所成的四个角相等．这两条直线互相垂直 ④两条直线相交．有一组对顶角互补．则这两条直线互相垂直 A．5 B．4 C．3 D．2 三、巩固训练，熟练技能 1..两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是 （ ） （A） 有两个角相等 （ B）有两对角相等 （C） 有三个角相等 （ D）有四对邻补角 2.如图所示，在△ABC 中，∠ABC=90， ①过点 B 作三角形 ABC 的 AC 边上的高 BD， 过 D 点作三角形 ABD 的 AB 边上的高 DE。 ②点 A 到直线 BC 的距离是线段__________ 的长度. 点 B 到直线 AC 的距离是线段__________ 的长度. 点 D 到直线 AB 的距离是线段__________的长度 线段 AD 的长度是点________到直线_______的距离. ⚫ 如图 AB⊥CD 垂足为 O,∠COF=56°，求 ∠AOE. 4.如图：直线 AB 和 CD 相交于点 O,OE⊥AＢ,OF⊥ＣＤ,∠
BOF=40°,求∠DOE和∠AOC的度数 40 归纳总结,板书设计 D 1垂直的概念:如果两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角就说这两条直线互 相垂直 2垂线的性质1:同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3垂线的性质2:直线外一点与直线上各点连结的所有线段中.垂线段最短 五、课后作业,目标检测 见《学练优》本课时内容 教学反思 垂线是平面几何所要研究的基本内容之一.垂线的概念、画法和性质是重要的基础知 识,是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关 系等知识的基础,与其他数学知识一样,它在现实生活中有着广泛的应用.垂线的概念和性 质,蕴含着“从一般到特殊”的认识规律,是培养学生思维能力的重要内容之一.垂线的概 念和性质是本节课的重点,也是全章的内容之一;经过一点画已知直线的垂线,是本节课的 个难点,在这个地方应让学生多观察,多思考.让学生动手画一画,试一试.鼓励学生思考 并在小组内交流,全班交流.教师引导学生总结以上两个结论.全班内交流成果.教师板书 学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.引导学生分清“互相垂直” 与“垂线”的区别与联系:(1)“互相垂直”指两条直线的位置关系;(2)“垂线”是 指其中一条直线对另一条直线的命名.如果说两条直线“互相垂直”时,其中一条必定是 另一条的“垂线”,如果一条直线是另一条直线的“垂线”,则它们必定“互相垂直” www.youyilo0.com 第7页共7页
www.youyi100.com 第 7 页 共 7 页 ＢOF=40º,求∠ＤOE 和∠AOC 的度数. 四、归纳总结，板书设计 1.垂直的概念：如果两条直线相交所成的四个角中,有一个是直角,就说这两条直线互 相垂直. 2.垂线的性质 1：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 3.垂线的性质 2：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中．垂线段最短． 五、课后作业，目标检测 见《学练优》本课时内容 教学反思 垂线是平面几何所要研究的基本内容之一．垂线的概念、画法和性质是重要的基础知 识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关 系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用．垂线的概念和性 质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一．垂线的概 念和性质是本节课的重点，也是全章的内容之一；经过一点画已知直线的垂线，是本节课的 一个难点，在这个地方应让学生多观察，多思考．让学生动手画一画，试一试.鼓励学生思考 并在小组内交流，全班交流．教师引导学生总结以上两个结论．全班内交流成果．教师板书 学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.引导学生分清“互相垂直” 与“垂线”的区别与联系：（１）“互相垂直”指两条直线的位置关系；（２）“垂线”是 指其中一条直线对另一条直线的命名． 如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是 另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直