5.3.2命题、定理、证明 学司目标 1.理解命题的概念,能区分命题的条件和结论,并把命题写成“如果……那么……” 的形式;(重点) 2.了解真命题和假命题的概念,能判断一个命题的真假性,并会对命题举反例.(难点) 数学过程 情境导入 2015年10月,屠呦呦因发现青蒿素治疗疟疾的新疗法获诺贝尔生理学或医学奖.屠呦 呦是第一位获得诺贝尔科学奖项的中国本土科学家、第一位获得诺贝尔生理医学奖的华人科 学家.青蒿素是从植物黄花蒿茎叶中提取的有过氧基团的倍半萜内酯药物.其对鼠疟原虫红 内期超微结构的影响,主要是疟原虫膜系结构的改变,该药首先作用于食物泡膜、表膜、线 粒体、内质网,此外对核内染色质也有一定的影响.青蒿素的作用方式主要是干扰表膜一线 粒体的功能.可能是青蒿素作用于食物泡膜,从而阻断了营养摄取的最早阶段,使疟原虫较 快出现氨基酸饥饿,迅速形成自噬泡,并不断排出虫体外,使疟原虫损失大量胞浆而死亡 要读懂这段报道,你认为要知道哪些名称和术语的含义? 二、合作探究 探究点一:命题的定义与结构 【类型一】命题的判断 例卫下列语句中,不是命题的是() A.两点之间线段最短 B.对顶角相等 C.不是对顶角不相等 D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线 解析:根据命题的定义,看其中哪些选项是判断句,其中只有D选项不是判断句.故 选D 方法总结:①命题必须是一个完整的句子,而且必须做出肯定或否定的判断.疑问句、 感叹句、作图过程的叙述都不是命题;②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不 相等”“如果……那么……” 【类型二】把命题写成“如果……那么……”的形式 例2把下列命题写成“如果……那么……”的形式 (1)内错角相等,两直线平行; (2)等角的余角相等 解:(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行 (2)如果两个角是相等的角,那么它们的余角相等 方法总结:把命题写成“如果……·那么……”的形式时,应添加适当的词语,使语句通
5．3.2 命题、定理、证明 1．理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……” 的形式；(重点) 2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例．(难点) 一、情境导入 2015 年 10 月，屠呦呦因发现青蒿素治疗疟疾的新疗法获诺贝尔生理学或医学奖．屠呦 呦是第一位获得诺贝尔科学奖项的中国本土科学家、第一位获得诺贝尔生理医学奖的华人科 学家．青蒿素是从植物黄花蒿茎叶中提取的有过氧基团的倍半萜内酯药物．其对鼠疟原虫红 内期超微结构的影响，主要是疟原虫膜系结构的改变，该药首先作用于食物泡膜、表膜、线 粒体、内质网，此外对核内染色质也有一定的影响．青蒿素的作用方式主要是干扰表膜－线 粒体的功能．可能是青蒿素作用于食物泡膜，从而阻断了营养摄取的最早阶段，使疟原虫较 快出现氨基酸饥饿，迅速形成自噬泡，并不断排出虫体外，使疟原虫损失大量胞浆而死亡． 要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？ 二、合作探究 探究点一：命题的定义与结构 【类型一】 命题的判断 下列语句中，不是命题的是( ) A．两点之间线段最短 B．对顶角相等 C．不是对顶角不相等 D．过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线 解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有 D 选项不是判断句．故 选 D. 方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、 感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不 相等”“如果……那么……”． 【类型二】 把命题写成“如果……那么……”的形式 把下列命题写成“如果……那么……”的形式． (1)内错角相等，两直线平行； (2)等角的余角相等． 解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； (2)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等． 方法总结：把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通
顺 【类型三】命题的条件和结论 3写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论 解析:先把命题写成“如果……那么 的形式,再确定条件和结论 解:把命题写成“如果……那么……”的形式:如果两条直线都与第三条直线平行,那 么这两条直线也互相平行.所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”,结论是 “这两条直线也互相平行 方法总结:每一个命题都一定能用“如果…那么……”的形式来叙述在“如果”后 面的部分是“条件”,在“那么”后面的部分是“结论” 探究点二:真命题与假命题 囹4下列命题中,是真命题的是() A.若ab>0,则a>0,b>0 B.若ab0可得a、b同号,可能同为正,也可能同为负,是假命题 选项B中,a·b<0可得a、b异号,所以错误,是假命题;选项C中,a·b=0可得a、b 中必有一个字母的值为0,但不一定同时为零,是假命题;选项D中,若ab=0,则a=0 或b=0或二者同时为0,是真命题.故选D 方法总结:判断一个命题是真命题还是假命题,就是判断一个命题是否正确,即由条件 能否得出结论.如果命题正确,就是真命题;如果命题不正确,就是假命题 探究点三:证明与举反例 【类型一】命题的证明 5求证:两条直线平行,一组内错角的平分线互相平行 解析:按证明与图形有关的命题的一般步骤进行.要证明两条直线平行,可根据平行线 的判定方法来证明 解:如图,已知AB∥CD,直线AB,CD被直线MN所截,交点分别为P,Q,PG平 分∠BPQ,QH平分∠CQP,求证:PG∥BQ 证明:∵AB∥CD(已知), ∴∠BPQ=∠CQP(两直线平行,内错角相等 又∵PG平分∠BPQ,QH平分∠CQP(已知)
顺． 【类型三】 命题的条件和结论 写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论． 解析：先把命题写成“如果……那么……”的形式，再确定条件和结论． 解：把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行．所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是 “这两条直线也互相平行”． 方法总结：每一个命题都一定能用“如果……那么……”的形式来叙述．在“如果”后 面的部分是“条件”，在“那么”后面的部分是“结论”． 探究点二：真命题与假命题 下列命题中，是真命题的是( ) A．若 a·b＞0，则 a＞0，b＞0 B．若 a·b＜0，则 a＜0，b＜0 C．若 a·b＝0，则 a＝0 且 b＝0 D．若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0 解析：选项 A 中，a·b＞0 可得 a、b 同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题； 选项 B 中，a·b＜0 可得 a、b 异号，所以错误，是假命题；选项 C 中，a·b＝0 可得 a、b 中必有一个字母的值为 0，但不一定同时为零，是假命题；选项 D 中，若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0 或二者同时为 0，是真命题．故选 D. 方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件 能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题． 探究点三：证明与举反例 【类型一】 命题的证明 求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行． 解析：按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线 的判定方法来证明． 解：如图，已知 AB∥CD，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，交点分别为 P，Q，PG 平 分∠BPQ，QH 平分∠CQP，求证：PG∥HQ. 证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行，内错角相等)． 又∵PG 平分∠BPQ，QH 平分∠CQP(已知)
∠(GPQ=1∠BPQ,∠HOP=1∠cP(角平分线的定义 ∠GPQ=∠HQP(等量代换), PG∥HQ(内错角相等,两直线平行 方法总结:证明与图形有关的命题时,正确分清命题的条件和结论是证明的关键.应先 结合题意画出图形,再根据图形写出已知与求证,然后进行证明 【类型二】举反例 团例6】举反例说明下列命题是假命题 (1)若两个角不是对顶角,则这两个角不相等 (2)若ab=0,则a+b=0 解析:分清题目的条件和结论,所举的例子满足条件但不满足结论即可 解:(1)两条直线平行形成的内错角,这两个角不是对顶角,但是它们相等 (2)当a=5,b=0时,ab=0,但a+b≠0 方法总结:举反例时,所举的例子应当满足题目的条件,但不满足题目的结论.举反例 时常见的几种错误:①所举例子满足题目的条件,也满足题目的结论;②所举例子不满足题 目的条件,但满足题目的结论;③所举例子不满足题目的条件,也不满足题目的结论 板书设计 概念 命题结构 真、假命题 证明与举反例 数学反思 本节课通过命题及其证明的学习,让学生感受到要说明一个定理成立,应当证明:要说 明一个命题是假命题,可以举反例.同时让学生感受到数学的严谨,初步养成学生言之有理 落笔有据的推理习惯,发展初步的演绎推理能力
∴∠GPQ＝ 1 2 ∠BPQ，∠HQP＝ 1 2 ∠CQP(角平分线的定义)， ∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)， ∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)． 方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论是证明的关键．应先 结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明． 【类型二】 举反例 举反例说明下列命题是假命题． (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若 ab＝0，则 a＋b＝0. 解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件但不满足结论即可． 解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等； (2)当 a＝5，b＝0 时，ab＝0，但 a＋b≠0. 方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例 时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题 目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论． 三、板书设计 命题 概念 结构 真、假命题 证明与举反例 本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说 明一个命题是假命题，可以举反例．同时让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、 落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力