第一章检测卷 时间:120分钟 满分:120分 题号 得分 、选择题(每小题3分,共30分) 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是() A B.1 2.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是() A.70°B.55° 第2题图 第4题图 第5题图 3.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( A.a不垂直于cB.a,b都不垂直于c C.a与b相交D.a⊥b 4.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是() A.AC=BDB.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠DD.BC=AD 5.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成 立的是() A.PA=PBB.PO平分∠APB C.AB垂直平分OPD.∠OBA=∠OAB 6.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为() A.8或10B.8 C.10D.6或 7.如图,△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F, 连接CF若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为( 第7题图 第8题图
第一章检测卷 时间：120 分钟 满分：120 分 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A. 3， 4， 5 B．1， 2， 3 C．6，7，8 D．2，3，4 2．如图，△ABC 中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A 的度数是( ) A．70° B．55° C．50° D．40° 第 2 题图 第 4 题图 第 5 题图 3．用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”时，应假设( ) A．a 不垂直于 c B．a，b 都不垂直于 c C．a 与 b 相交 D．a⊥b 4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是( ) A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD 5．如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，B.下列结论中不一定成 立的是( ) A．PA＝PB B．PO 平分∠APB C．AB 垂直平分 OP D．∠OBA＝∠OAB 6．已知一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 4，则该等腰三角形的周长为( ) A．8 或 10 B．8 C．10 D．6 或 12 7．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F， 连接 CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF 的度数为( ) A．48° B．36° C．30° D．24° 第 7 题图 第 8 题图
8.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E, A=∠ABE若AC=5,BC=3,则BD的长为() 9.如图,等边△ABC的三条角平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB于E, 交AC于F,则图中的等腰三角形有() A.4个B.5个 C.6个D.7个 B D 第9题图 第10题图 10.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂 足分别为E,F,则下列四个结论:①AD上任意一点到点C,B的距离相等:②AD上任意 点到AB,AC的距离相等;③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF其中正确的个数是 C.3个D.4个 、填空题(每小题3分,共24分) l1.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是 这个逆命题是 命题. 12.如图,过等边△ABC的顶点A作射线.若∠1=20°,则∠2的度数为 第12题图 第13题图 13.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的 面积是 14.如图是某超市一层到二层电梯的示意图,其中AB、CD分别表示超市一层、二层 电梯口处地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长约为12米,则乘电梯从点B到点C上升 的高度h约为 米 D 第14题图 第15题图 15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,CD=3,AB=12,则△ABD
8．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E， ∠A＝∠ABE.若 AC＝5，BC＝3，则 BD 的长为( ) A．2.5 B．1.5 C．2 D．1 9．如图，等边△ABC 的三条角平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC，分别交 AB 于 E， 交 AC 于 F，则图中的等腰三角形有( ) A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 第 9 题图 第 10 题图 10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂 足分别为 E，F，则下列四个结论：①AD 上任意一点到点 C，B 的距离相等；②AD 上任意 一点到 AB，AC 的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数是 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11 ． 等 腰 三 角 形 两 腰 上 的 高 相 等 ， 这 个 命 题 的 逆 命 题 是 __________________________________________，这个逆命题是________命题． 12．如图，过等边△ABC 的顶点 A 作射线．若∠1＝20°，则∠2 的度数为________． 第 12 题图 第 13 题图 13．如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的 面积是________． 14．如图是某超市一层到二层电梯的示意图，其中 AB、CD 分别表示超市一层、二层 电梯口处地面的水平线，∠ABC＝150°，BC 的长约为 12 米，则乘电梯从点 B 到点 C 上升 的高度 h 约为________米． 第 14 题图 第 15 题图 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD
的面积为 16.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,交AB于点E,交AC 于点D若∠ADE=40°,则∠DBC= 第16题图 第17题图 17.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△ABO≌△ADO下列结论: ①AC⊥BD;②CB=CD:③△ABC≌△ADC;④DA=DC其中所有正确结论的序号是 18.若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1:2,则该等腰三角形顶角的度数为 三、解答题(共66分) 19.(8分)如图,在长方形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF EF⊥DF,求证:BF=CD 20(8分)如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D,∠ADC 125°,求∠ACB和∠BAC的度数
的面积为________． 16．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，DE 垂直平分 AB，交 AB 于点 E，交 AC 于点 D.若∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°. 第 16 题图 第 17 题图 17．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，△ABO≌△ADO.下列结论： ①AC⊥BD；②CB ＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA ＝DC. 其中所有正确结论的序号是 __________． 18．若等腰三角形一腰上的高与腰长之比为 1∶2，则该等腰三角形顶角的度数为 ________． 三、解答题(共 66 分) 19．(8 分)如图，在长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，且 BE＝CF， EF⊥DF，求证：BF＝CD. 20.(8 分)如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点 D，∠ADC ＝125°，求∠ACB 和∠BAC 的度数．
21.(8分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,连 接EF求证:AD垂直平分EF 22.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为E,F (1)求证:△BED≌△CFD (2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周长 23.(10分)如图,AD是△ABC的边BC上的高,∠B=60°,∠C=45°,AC=6求 (1)4D的长 (2)△ABC的面积
21．(8 分)如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，连 接 EF.求证：AD 垂直平分 EF. 22．(10 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F. (1)求证：△BED≌△CFD； (2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC 的周长． 23．(10 分)如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求： (1)AD 的长； (2)△ABC 的面积．
24.(10分)如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,BC,CA上的点 (1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论 (2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论 25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),△AOB为等边三角形,P是 x轴上一个动点(不与原点O重合),以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ (1)求点B的坐标; 2)在点P的运动过程中,∠ABQ的大小是否发生改变?如不改变,求出其大小:如改 变,请说明理由. (3)连接OQ,当OQ∥AB时,求点P的坐标 备用图
24．(10 分)如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 上的点． (1)若 AD＝BE＝CF，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； (2)若△DEF 是等边三角形，问 AD＝BE＝CF 成立吗？试证明你的结论． 25．(12 分)如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，2)，△AOB 为等边三角形，P 是 x 轴上一个动点(不与原点 O 重合)，以线段 AP 为一边在其右侧作等边三角形△APQ. (1)求点 B 的坐标； (2)在点 P 的运动过程中，∠ABQ 的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改 变，请说明理由． (3)连接 OQ，当 OQ∥AB 时，求点 P 的坐标．
参考答案与解析 B 2.D 3C 4.A 5c 6c 7.A 8D 9D 10D 11.如果一个三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形真 2.100°13.7614615.1816.1517①②③ 18.30°或150°解析:当高在三角形内部时,顶角是30°;当高在三角形外部时,顶 角是150°所以等腰三角形顶角的度数为30°或150° 19.证明:∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠C=90°(1分)∵EF⊥DF,∴∠EFD 90°,∴∠EFB+∠CFD=90°∠EFB+∠BEF=90°,∴∠BEF=∠CFD(4分)在△BEF ∠BEF=∠CFD 和△CFD中,BE=CF, △BEF≌△CFD(ASA),(7分) (8分) ∠B=∠C, 20.解:∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴E⊥BC,∴∠DEC=90°(3分)∵∠ADC=125° ∠DCE=∠ADC-∠DEC=35°(5分)∵CD平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=70°(6分) 又AB=AC,∴∠B=∠ACB=70°,∴∠BAC=1809—(∠B+∠ACB)=40°(8分) 21.证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∴点D在线段EF的 垂直平分线上.(3分)在R△ADE和R△ADF中, JAD=AD DE=D∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), AE=4F,(6分)∴点A在线段EF的垂直平分线上.∵两点确定一条直线,∴AD垂直平 分EF(8分) (1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C∴∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°:D 是BC的中点,∴BD=CD(4分)∴△BED≌△ CFD(AAS).(5分) (2)解:∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∠B=60°(7 分)又∵DE⊥AB,∴∠EDB=30°,∴BD=2BE=2,∴BC=2BD=4,(9分)∴△ABC的周长 为AB+BC+CD=3BC=12(10分) 23.解:(1)∵∠C=45°,AD是△ABC的边BC上的高,∴∠DAC=45°,∴AD=CD(2 分)∵AC=AD2+CD,∴62=2AD,∴AD=32(4分) (2)在R△ADB中,∵∠B=60°,∴∠BAD=30°,∴AB=2BD(6分)∵AB2=BD2+AD, (2BD)=BD2+AD,BD=√(8分):SB=1BCAD=1(BD+DO)AD=1x(√ 32)×32=9+3(10分) 24.解:(1)△DEF是等边三角形.(1分)证明如下:∵△ABC是等边三角形 ∠B=∠C,AB=BC=CA又∵AD=BE=CF,∴DB=EC=FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE (3分)∴DF=ED=FE∴△DEF是等边三角形.(5分) (2)AD=BE=CF成立.(6分)证明如下:如图,∵△DEF是等边三角形,∴DE=EF FD,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°∠1+∠2=120°(8分):△ABC是等边三角形,∴∠ A B=∠C=60°,∴∠2+∠3=120°,∴∠1=∠3.同理∠3=∠4,易证
参考答案与解析 1．B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D 11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 12．100° 13.76 14.6 15.18 16.15 17.①②③ 18．30°或 150° 解析：当高在三角形内部时，顶角是 30°；当高在三角形外部时，顶 角是 150°.所以等腰三角形顶角的度数为 30°或 150°. 19．证明：∵四边形 ABCD 是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.(1 分)∵EF⊥DF，∴∠EFD ＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.(4 分)在△BEF 和△CFD 中， ∠BEF＝∠CFD， BE＝CF， ∠B＝∠C， ∴△BEF≌△CFD(ASA)，(7 分)∴BF＝CD.(8 分) 20．解：∵AB＝AC，AE 平分∠BAC，∴AE⊥BC，∴∠DEC＝90°.(3 分)∵∠ADC＝125°， ∴∠DCE＝∠ADC－∠DEC＝35°.(5 分)∵CD 平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.(6 分) 又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.(8 分) 21．证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴点 D 在线段 EF 的 垂直平分线上．(3 分)在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中， AD＝AD， DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)， ∴AE＝AF，(6 分)∴点 A 在线段 EF 的垂直平分线上．∵两点确定一条直线，∴AD 垂直平 分 EF.(8 分) 22．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.(4 分)∴△BED≌△CFD(AAS)．(5 分) (2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.(7 分)又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°，∴BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，(9 分)∴△ABC 的周长 为 AB＋BC＋CD＝3BC＝12.(10 分) 23．解：(1)∵∠C＝45°，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.(2 分)∵AC2＝AD2＋CD2，∴6 2＝2AD2，∴AD＝3 2.(4 分) (2)在 Rt△ADB 中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.(6 分)∵AB2＝BD2＋AD2， ∴(2BD) 2 ＝BD2＋AD2 ，BD＝ 6.(8 分)∴S△ABC＝ 1 2 BC·AD＝ 1 2 (BD＋DC)·AD＝ 1 2 ×( 6＋ 3 2)×3 2＝9＋3 3.(10 分) 24．解：(1)△DEF 是等边三角形．(1 分)证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝ ∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE， (3 分)∴DF＝ED＝FE.∴△DEF 是等边三角形．(5 分) (2)AD＝BE＝CF 成立．(6 分)证明如下：如图，∵△DEF 是等边三角形，∴DE＝EF＝ FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.(8 分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ 60°， ∴∠2 ＋ ∠3 ＝ 120°， ∴∠1 ＝ ∠3. 同 理 ∠3 ＝ ∠4 ，易证
△ADF≌△BED≌△CFE(AAS),∴AD=BE=CF(10分) 25解:(1)如图①,过点B作BC⊥x轴于点C∵∴△AOB为等边三角形,且OA=2,∴∠AO 60°,OB=O4=2,∴∠BOC=30°(2分又∵∠OCB=90°,∴BC=OB=1,由勾股定理 得OC=√3,∴点B的坐标为(3,1).(4分) B B Q 图① 图② (2)∠ABQ=90°,始终不变.(5分)理由如下:∵△APQ,△AOB均为等边三角形,∴AP AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB,∴∠PAO=∠QAB(6分)在△APO与△4QB中, ∠PAO=∠QAB,∴△APO≌△AQB(SAS),∴∠ABQ=∠AOP=90°(8分) A0=AB, (3)当点P在x轴正半轴上时,点Q在点B上方,易知OQ与AB相交.当点P在x轴 负半轴上时,点Q在点B的下方.∵AB∥OQ,∴∠BQO=180°-∠ABQ=90°,∠BOQ= ∠ABO=60.又OB=O4=2,OQ=1,可求得BQ=3,(10分)由(2)可知△APO≌△AQB, OP=BQ=√3,∴此时点P的坐标为(√3,0).(12分)
△ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.(10 分) 25．解：(1)如图①，过点B 作BC⊥x轴于点C.∵△AOB 为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB ＝60°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝30°.(2 分)又∵∠OCB＝90°，∴BC＝ 1 2 OB＝1，由勾股定理 得 OC＝ 3，∴点 B 的坐标为( 3，1)．(4 分) (2)∠ABQ＝90°，始终不变．(5 分)理由如下：∵△APQ，△AOB 均为等边三角形，∴AP ＝AQ，AO＝AB ，∠PAQ＝∠OAB ，∴∠PAO＝∠QAB.(6 分) 在△APO 与△AQB 中， AP＝AQ， ∠PAO＝∠QAB， AO＝AB， ∴△APO≌△AQB(SAS)，∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.(8 分) (3)当点 P 在 x 轴正半轴上时，点 Q 在点 B 上方，易知 OQ 与 AB 相交．当点 P 在 x 轴 负半轴上时，点 Q 在点 B 的下方．∵AB∥OQ，∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝ ∠ABO＝60°.又 OB＝OA＝2，∴OQ＝1，可求得 BQ＝ 3，(10 分)由(2)可知△APO≌△AQB， ∴OP＝BQ＝ 3，∴此时点 P 的坐标为(－ 3，0)．(12 分)