第六章数学教育的基本理论 课题:数学教育的基本理论 内容提要 1.弗赖登塔尔的数学教育理论 2.波利亚的解题理论 3.建构主义的数学教育理论 4.我国“双基”数学教学的成功与不足 教学目标:通过本章的学习,使学生掌握数学教育的一些基本理论,并形成对我 国“双基”数学教学的正确认识,能用辨证思维方法分析问题。 教学重、难点:重点掌握弗赖登塔尔的数学教育理论,确定我国“双基”数学教 学的成功与不足为本章的教学难点 教学方法:讲授法 教学过程: 、弗赖登塔尔的数学教育理论 (一)“数学现实”原则 弗赖登塔尔认为,数学来源于现实,存在于现实,并且应用于现实,而且每 个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现 实,并在此基础上发展他们的数学现实。因此,在教学过程中,教师应该充分利 用学生的认知规律,已有的生活经验和数学的实际。在运用“现实的数学”进 行教学时,必须明确认识以下几点: 第一,数学教学内容来自于现实世界.把那些最能反映现代生产、现代社会 生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容 第二,数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系,还应该研究数 学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰 富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容,掌握比较完整的数学体系.另一方 面,学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去 第三,数学教育应该为所有的人服务,应该满足全社会各种领域的不同层次 的人对数学的不同水平的需求。 (二)“数学化”原则 弗赖登塔尔认为,数学教学必须通过数学化来进行。 现实数学教育所说的数学化有两种形式:一是实际问题转化为数学问题的数 学化,即发现实际问题中的数学成分,并对这些成分做符号化处理;二是从符号 到概念的数学化,即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处 对于前者,基本流程是: 1、确定一个具体问题中包含的数学成分 2、建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系; 3、通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化 4、找出蕴含其中的关系和规则; 考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现 6、作出形式化的表述。 对于后者,基本流程是 1、用数学公式表示关系
第六章 数学教育的基本理论 课题: 数学教育的基本理论 内容提要： 1. 弗赖登塔尔的数学教育理论 2. 波利亚的解题理论 3. 建构主义的数学教育理论 4. 我国“双基”数学教学的成功与不足 教学目标：通过本章的学习，使学生掌握数学教育的一些基本理论,并形成对我 国“双基”数学教学的正确认识，能用辨证思维方法分析问题。 教学重、难点：重点掌握弗赖登塔尔的数学教育理论，确定我国“双基”数学教 学的成功与不足为本章的教学难点。 教学方法：讲授法 教学过程： 一、弗赖登塔尔的数学教育理论 （一）“数学现实”原则 弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每 个学生有各自不同的“数学现实”。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现 实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利 用学生的认知规律，已有的生活经验和数学的实际。在运用“现实的数学” 进 行教学时，必须明确认识以下几点： 第一，数学教学内容来自于现实世界．把那些最能反映现代生产、现代社会 生活需要的最基本、最核心的数学知识和技能作为数学教育的内容． 第二，数学教育的内容不能仅仅局限于数学内部的内在联系，还应该研究数 学与现实世界各种不同领域的外部关系和联系。这样才能使学生一方面获得既丰 富多彩而又错综复杂的“现实的数学”内容，掌握比较完整的数学体系．另一方 面，学生也有可能把学到的数学知识应用于现实世界中去． 第三，数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的不同层次 的人对数学的不同水平的需求。 （二）“数学化”原则 弗赖登塔尔认为，数学教学必须通过数学化来进行。 现实数学教育所说的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数 学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分做符号化处理；二是从符号 到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处 理。 对于前者，基本流程是： 1、确定一个具体问题中包含的数学成分； 2、建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系； 3、通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化； 4、找出蕴含其中的关系和规则； 5、考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现； 6、作出形式化的表述。 对于后者，基本流程是： 1、用数学公式表示关系；
2、对有关规则作出证明 3、尝试建立和使用不同的数学模型 4、对得出的数学模型进行调整和加工 5、综合不同数学模型的共性,形成功能更强的新模型 6、用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法; 7、作一般化的处理、推广。 (三)“再创造”原则 弗赖登塔尔说的“再创造”,其核心是数学过程再现。学生“再创造”来学 习数学的过程实际上就是一个“做数学”( doing mathematics)的过程,这也是 目前数学教育的一个重要观点。 需要特别注意的是,弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+数学例子” 式的论述,而是抓住数学教育的特征,紧扣数学教育的特殊过程,因而有“数 学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辩数学”等诸多特有的概念。他的著作多 数根据自己研究数学的体会,以及观察儿童学习数学的经历,思辩性的论述比较 多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实 他的许多研究成果尚未被大家仔细研究,有兴趣的读者不妨阅读他的著作。 、波利亚的解题理论 波利亚对数学教育的基本看法 波利亚认为:中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”,这种思考 既是有目的的思考,产生式的思考,也包括形式的和非形式的思维。数学教育中 注重培养学生的兴趣、好奇心、毅力、情感体验等非智力品质的重要性。 要成为一个好的解题者,如果“头脑不活动起来,是很难学到什么东西的,也 肯定学不到更多的东西”。“学东西的最好途径是亲自去发现它”,最富有成效 的学习是学生自己去探索、去“发现”。 教学是一门艺术。教学过程本身应该遵循一些规律性的东西,并尤其强调兴 趣对学生学习数学的重要性 (二)波利亚关于解题的研究 波利亚专门研究了解题的思维过程,并把研究所得写成《怎样解题》一书。 这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表,并以例题表 明这张表的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表,是对该表的进一步阐述 和注释。 《怎样解题》表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾’ 四个阶段。“弄清问题”是认识、并对问题进行表征的过程,应成为成功解决问 题的一个必要前提;“拟定计划”是关键环节和核心内容;“实现计划”较为容易, 是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置;“回顾”是最容易被忽视的阶段 波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来。其中,他对第二步即“拟定计划” 的分析是最为引人入胜的。 他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系,如果找不出 直接联系,你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他还把寻找 并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题,它们就好比 是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”,使我们对解题的思维过程看得 见,摸得着
2、对有关规则作出证明； 3、尝试建立和使用不同的数学模型； 4、对得出的数学模型进行调整和加工； 5、综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型； 6、用已知数学公式和语言尽量准确的描述得到的新概念和新方法； 7、作一般化的处理、推广。 （三）“再创造”原则 弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。学生“再创造”来学 习数学的过程实际上就是一个“做数学”(doing mathematics)的过程，这也是 目前数学教育的一个重要观点。 需要特别注意的是，弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+ 数学例子” 式的论述， 而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数 学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辩数学”等诸多特有的概念。他的著作多 数根据自己研究数学的体会，以及观察儿童学习数学的经历，思辩性的论述比较 多。于是有人批评说弗赖登塔尔的数学教育理论缺乏实践背景和实验数据。其实， 他的许多研究成果尚未被大家仔细研究，有兴趣的读者不妨阅读他的著作。 二、波利亚的解题理论 （一）波利亚对数学教育的基本看法 波利亚认为：中学数学教育的根本目的就是“教会年轻人思考”，这种思考 既是有目的的思考，产生式的思考，也包括形式的和非形式的思维。数学教育中 注重培养学生的兴趣、好奇心、毅力、情感体验等非智力品质的重要性。 要成为一个好的解题者，如果“头脑不活动起来,是很难学到什么东西的,也 肯定学不到更多的东西”。“学东西的最好途径是亲自去发现它”, 最富有成效 的学习是学生自己去探索、去“发现”。 教学是一门艺术。教学过程本身应该遵循一些规律性的东西,并尤其强调兴 趣对学生学习数学的重要性。 （二）波利亚关于解题的研究 波利亚专门研究了解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。 这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张“怎样解题”表，并以例题表 明这张表的实际应用。书中各部分基本上是配合这张表，是对该表的进一步阐述 和注释。 《怎样解题》表包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾” 四个阶段。“弄清问题”是认识、并对问题进行表征的过程，应成为成功解决问 题的一个必要前提；“拟定计划”是关键环节和核心内容；“实现计划”较为容易， 是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置；“回顾”是最容易被忽视的阶段， 波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来。其中，他对第二步即“拟定计划” 的分析是最为引人入胜的。 他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出 直接联系，你可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他还把寻找 并发现解法的思维过程分解为五条建议和 23 个具有启发性的问题，它们就好比 是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得 见，摸得着
建构主义的数学教育理论 (一)建构主义概述 建构主义( constructivism)有时候也译作结构主义,理论根源可追溯到 2500多年前。现代建构主义主要是吸收了杜威的经验主义和皮亚杰的结构主义 与发生认识论等思想,并在总结60年代以来的各种教育改革方案的经验基础上 演变和发展起来的。 在教育领域中常常谈论的建构主义具有认知理论和方法论的双重身份。 (二)构主义理论关于数学教育的一些基本认识 1、数学知识是什么 ·数学知识不是对现实的纯粹客观的反映,任何一种传载知识的符号系统也 不是绝对真实的表征,它只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说。它 不是问题的最终答案,它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改 写,出现新的解释和假设。 数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外,真正的理解只能是由学习 者自身基于自己的经验背景而建构起来的,取决于特定情况下的学习活动过程。 否则,就不叫理解,而是叫死记硬背或生吞活剥,是被动的复制式的学习。 2、学生如何学习数学 学习不是由教师把知识简单地传递给学生,而是由学生自己建构知识的过 程。学生不是简单被动地接收信息,而是主动地建构知识的意义,这种建构是无 法由他人来代替的。 ·学习不是被动接收信息刺激,而是主动地建构意义,是根据自己的经验背 景,对外部信息进行主动地选择、加工和处理,从而获得自己的意义。外部信息 本身没有什么意义,意义是学习者通过新旧知识经验间的反复的、双向的相互作 用过程而建构成的。因此,学习不是象行为主义所描述的“刺激一反应”那样 学习意义的获得,是每个学习者以自己原有的知识经验为基础,对新信息 重新认识和编码,建构自己的理解。在这一过程中,学习者原有的知识经验因为 新知识经验的进入而发生调整和改变。 3、教师如何开展课堂教学 与传统教学的三个假设相对应的是,建构主义指导下的课堂教学是基于如下 个基本假设 ·教师必须建立学生理解数学的模式。教师应该建立反映每个同学建构状况 的“卷宗”,以便判定每个学生建构能力的强弱 ·教学是师生、生生之间的互动; 学生自己决定建构是否合理 根据上述教学目的和假设,一个数学教师在建构主义的课堂上就需要做以下 六件事 ·加强学生的自我管理和激励他们为自己的学习负责 ·发展学生的反省思维 ·建立学生建构数学的“卷宗”; 观察与参与学生尝试、辨认与选择解题途径的活动 反思与回顾解题途径; 明确活动、学习材料的目的。 需要强调的是:对于建构主义学说,我们应当吸取精华,拒绝一些“极端 的”、“唯心”的成分,以便真正有助于我国的教育改革
三、 建构主义的数学教育理论 （一）建构主义概述 建构主义(constructivism)有时候也译作结构主义，理论根源可追溯到 2500 多年前。现代建构主义主要是吸收了杜威的经验主义和皮亚杰的结构主义 与发生认识论等思想，并在总结 60 年代以来的各种教育改革方案的经验基础上 演变和发展起来的。 在教育领域中常常谈论的建构主义具有认知理论和方法论的双重身份。 (二） 构主义理论关于数学教育的一些基本认识 1、数学知识是什么 ·数学知识不是对现实的纯粹客观的反映，任何一种传载知识的符号系统也 不是绝对真实的表征，它只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说。它 不是问题的最终答案，它必将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改 写，出现新的解释和假设。 ·数学知识不可能以实体的形式存在于个体之外，真正的理解只能是由学习 者自身基于自己的经验背景而建构起来的，取决于特定情况下的学习活动过程。 否则，就不叫理解，而是叫死记硬背或生吞活剥，是被动的复制式的学习。 2、学生如何学习数学 ·学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过 程。学生不是简单被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构是无 法由他人来代替的。 ·学习不是被动接收信息刺激，而是主动地建构意义，是根据自己的经验背 景,对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得自己的意义。外部信息 本身没有什么意义，意义是学习者通过新旧知识经验间的反复的、双向的相互作 用过程而建构成的。因此，学习不是象行为主义所描述的“刺激—反应”那样。 ·学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息 重新认识和编码，建构自己的理解。在这一过程中，学习者原有的知识经验因为 新知识经验的进入而发生调整和改变。 3、教师如何开展课堂教学 与传统教学的三个假设相对应的是，建构主义指导下的课堂教学是基于如下 三个基本假设： ·教师必须建立学生理解数学的模式。教师应该建立反映每个同学建构状况 的“卷宗”，以便判定每个学生建构能力的强弱； ·教学是师生、生生之间的互动； ·学生自己决定建构是否合理。 根据上述教学目的和假设，一个数学教师在建构主义的课堂上就需要做以下 六件事： ·加强学生的自我管理和激励他们为自己的学习负责； ·发展学生的反省思维； ·建立学生建构数学的“卷宗”； ·观察与参与学生尝试、辨认与选择解题途径的活动； ·反思与回顾解题途径； ·明确活动、学习材料的目的。 需要强调的是：对于建构主义学说， 我们应当吸取精华，拒绝一些“极端 的”、“唯心”的成分， 以便真正有助于我国的教育改革
四、我国“双基”数学教学的成功与不足 (一)“双基 数学基础知识”和“数学基本技能” 双基”数学教学理论的基本内容可以概括为:一个统一,两个基础, 大能力,四个结合,五个环节。 1、全国统一的课程与考试制度 2、打好两个基础:基础知识和基本技能 3、培养三大能力:基本运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力 4、提倡四个结合:(1)教师主导作用和学生的主体作用相结合;(2)抽象理论 和具体实践相结合;(3)有效讲授和变式演练相结合;(4)逻辑严密和淡化 形式相结合。 5、课堂教学实行5个环节的模式:复习旧课→导入新课→讲授讨论→巩固 练习→布置作业。 (二)“双基”数学教学理论的独特认识 1、运算速度 2、知识的记忆 3、适度形式化的逻辑要求 4、重复训练 (三)“双基”数学教学理论的形成 1、“双基数学教学”是中国传统文化的一种传承。 2、中国千余年“考试文化”下的教育评价体系,是形成“双基”数学教学 理论的重要动因。 (四)“双基”数学教学过程 (1)“启发式”教学 (2)“精讲多练” (3)“变式练习” (4)“小步走,小转弯,小坡度”的三小教学法 (5)“大容量、快节奏、高密度”的复习课 近年来,我国数学教学在“双基”数学教学的基础上已经有所发展。例如, 开展数学思想方法的教学,倡导数学开放题的教学,提倡“研究性学习”,加强 数学建模的教学,进行数学应用题的解题训练等等,这对提升中国“双基”数 学教学的品位有很大帮助。但是,这些新的教学策略,应该和“双基”教学密 切结合,而不应该互相对立,互不联系,各搞一套。 问题与思考: 1、简述各数学教育基本理论的主要观点 2、我国的“双基”教学是否能成为一种理论?如何才能使它成为一种科学的理 论? 参考文献 [1]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学.陈昌平,唐瑞芬等编译.上海:上海教育 出版社,1995 2]波利亚.怎样解题.阎育苏译.北京:科学出版社,1982 [3]郑毓信.认知科学,建构主义与数学教育.上海:上海教育出版社,1998 [4]徐斌艳.数学教育展望.上海:华东师范大学出版社,2001
四、 我国“双基”数学教学的成功与不足 （一） “双基”——“数学基础知识”和“数学基本技能” “双基”数学教学理论的基本内容可以概括为：一个统一，两个基础，三 大能力，四个结合，五个环节。 1、全国统一的课程与考试制度 2、打好两个基础：基础知识和基本技能 3、培养三大能力：基本运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力 4、提倡四个结合：⑴教师主导作用和学生的主体作用相结合；⑵抽象理论 和具体实践相结合；⑶有效讲授和变式演练相结合；（4）逻辑严密和淡化 形式相结合。 5、课堂教学实行 5 个环节的模式：复习旧课→导入新课→讲授讨论→巩固 练习→布置作业。 （二） “双基”数学教学理论的独特认识 1、运算速度 2、知识的记忆 3、适度形式化的逻辑要求 4、重复训练 （三） “双基”数学教学理论的形成 1、“双基数学教学”是中国传统文化的一种传承。 2、中国千余年“考试文化”下的教育评价体系， 是形成“双基”数学教学 理论的重要动因。 （四）“双基”数学教学过程 （1）“启发式”教学 （2）“精讲多练” （3）“变式练习” （4）“小步走，小转弯， 小坡度”的三小教学法 （5）“大容量、快节奏、高密度”的复习课 近年来， 我国数学教学在“双基”数学教学的基础上已经有所发展。 例如， 开展数学思想方法的教学，倡导数学开放题的教学，提倡“研究性学习”， 加强 数学建模的教学， 进行数学应用题的解题训练等等，这对提升中国“双基”数 学教学的品位有很大帮助。但是， 这些新的教学策略， 应该和“双基”教学密 切结合，而不应该互相对立，互不联系，各搞一套。 问题与思考： 1、简述各数学教育基本理论的主要观点。 2、我国的“双基”教学是否能成为一种理论？如何才能使它成为一种科学的理 论？ 参考文献： [1] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学.陈昌平，唐瑞芬等编译.上海：上海教育 出版社，1995 [2] 波利亚.怎样解题.阎育苏译.北京：科学出版社，1982 [3]郑毓信.认知科学， 建构主义与数学教育.上海：上海教育出版社，1998 [4] 徐斌艳.数学教育展望.上海：华东师范大学出版社，2001