第四章转动参考系 本章我们研究质点在静止系的速度、加速度与转 动系中的速度、加速度的关系以及在转动系中质点受 到的惯性力及其动力学方程。 §4.1平面转动参考系 y 如果一平面绕垂直于它的某 轴线转动，则该平面就是个平 面转动参考系。 取动系s'(x,y,) 静系s(5,5) 质点p的位矢为产. 在s'系中：产=xi+j 1.质点p对s系的速度 er-i+i+xi土v (绝对速度) dtdt dt *ya
第四章 转动参考系 本章我们研究质点在静止系的速度、加速度与转 动系中的速度、加速度的关系以及在转动系中质点受 到的惯性力及其动力学方程。 §4.1平面转动参考系 如果一平面绕垂直于它的某 轴线转动，则该平面就是个平 面转动参考系。 取动系 ′ zyxs ),( 静系 s ξ η ζ ),( p r . K 质点 的位矢为 jyixrs K K K 在 ′系中 : += 1.质点 p 对 s系的速度 dt jd y dt id xj dt dy i dt dx dt rd v K K K K K K +++== （绝对速度） x y ξ η ω K r K i K k K j K θ P z ζ o
d dt dyj+x _dki+ i +y dt dt t dt =o×i=可 dt =0xj=-i dt i+可+yi-i 质点p对s'系 是平板转动带着p一起 的速度，是相 转动所引起的速度，是 对速度' 牵连速度币，=而×产 即：立='+而×r =(c-y)i+(少+x)j 绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和. 上式和转动刚体上任一点的速度立=ō×产相比多了 相对速度一项，这很容易理解
dt jd y dtid xj dt dy i dt dx dtrd v K K K K K K +++== iyjxjyix K K K K −++= ωω ij dtjd ji dtid K K K K K K K K ∵ =×= ωω −=×= ωω v sp ′ ′ K 对速度 的速度 是相 质点 系对 , rv p t K K K 牵连速度 ω ×= 转动所引起的速度 是 是平板转动带着 一起 , rvv K K K K 即: = ′ +ω × 绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和. 上式和转动刚体上任一点的速度 相比多了 相对速度一项, 这很容易理解. rv K K K =ω× jxyiyxv K K K ω ++−= ω )()( x y ξ η ωK r K i K k K j K θ P z ζ o
2、质点p对s系的加速度（绝加对速度》 .=(c-y)i+(少+x)i dy ∴.d= =(代-y-妙)i+(9+诚+心)j dt di di 注意到 J=-oi dt 则有 d而 d= =(代-20妙-o2x)i dt +(少+2r-o2y)j-yi+xj a=xi+jj-@'xi-@2yj-oyi +axj-2ovi +2oxj
2、质点 p 对 s系的加速度（绝加对速度） jxxyiyyx dtvd a K K K K ∴ ( ωω () +++−−== ωω ) dt jd xy dtid yx K K ω ++−+ ω )()( 注意到 j dtid K K = ω i dt jd K K −= ω 则有 ixyx dtvd a K K K )2( 2 −−== ωω jxiyjyxy K K K )2( +−−++ ωωωω 2 jxiyjxiyjyixjyixa K K K K K K K K K 22 ωωωωωω2 2 +−+−−−+= jxyiyxv K K K ∵ ω ++−= ω )()( x y ξ η ω K r K i K k K j K θ P z ζ o
d a- =i+j-o'xi-@'yj-oyi+axj-2ovi +2axj dt 相对加 速度a' -02元 @xr 2ōx 向轴加速度 切向加速度 科氏加速度。 牵连加速度a, 即： a=d+ò×r-o2r+2ox a-a'+a,+a
jxiyjxiyjyixjyix dtvd a K K K K K K K K K K 22 ωωωωωω2 2 +−+−−−+== 即 : aaaa ct K K K K = ′ + + a ′ K 速度 相对加 r 2 K − ω = = r K K ω× = × v ′ K K 2ω 向轴加速度 切向加速度 c a K 科氏加速度 at K 牵连加速度 = ′ ×+−×+ vrraa ′ K K K K K K K 2ωωω 2 x y ξ η ω K r K i K k K j K θ P z ζ o
§4.2空间转动参考系 空间转动参考系与平面转动参考系的不同 1.任意矢量G的时间变化率 在S系中：G=Gi+G,j+G,k G对S系的时间变化率（绝对变化率） 所i+gjg+c+c县+ 、dk dt dt dt 4G,j+ -G对S系的时间变化率， dt dt _dt 即绝对变化率。 G di i+G.ME-@xG dt -牵连变化率 即： dG_d'G +而×G dt dt
§4.2 空间转动参考系 空间转动参考系与平面转动参考系的不同. 任意矢量 G的时间变化率 K .1 zyx kGjGiGGS K K K K 在 ′系中: ++= 对SG 系的时间变化率(绝对变化率) K dt kd G dt jd G dt id Gk dt dG j dt dG i dt dG dtGd x y z x y z K K K K K K K +++++= dt Gd k dt dG j dt dG i dt dGx y z K K K K ∗ =++ G dt kd G dt jd G dt id G x y z K K K K K ω ×=++ G dt Gd dt Gd K K K K ×+= ∗ 即 : ω x z ζ y 0 ξ η S′ S 即绝对变化率。 −− 对SG ′系的时间变化率 , K − −牵连变化率
可见在转动参考系中一个矢量G的绝对变化率 dG等于 dt 相对变化率aG和牵连变化率o×G的矢量和. dt 2.质点P对S系的速度 i= dr d'r +而f dt dt 3.质点P对S系的加速度 a- dv d'v +而×= dt dt dt dt d2r,d'而 ×下+ō× dt dt ,.dōd* d*ō dt dt +⑦×0= dt 而×(0x）=(ō)ō-0行 d2rd而 十 dt2 F+(aF万-7+2ox= dt
2.质点 P 对 S系的速度 r dt rd dt rd v K K K K K ×+== ∗ ω 3.质点 P 对 S系的加速度 v dt vd dt vd a K K K K K ×+== ∗ ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×+×+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×+= ∗∗ ∗ r dt rd r dt rd dt d K K K K K K K ωω ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ×+×+×+×+= ∗ ∗ ∗ ∗ r dt rd dt rd r dt d dt rd K K K K K K K K K ωω ω ω 2 2 dt d dt d dt d ω ωω ωω K KK K K ∵ ∗ ∗ =×+= 可见在转动参考系中一 个矢量 的绝对变化率 等于 dtGd G K K 牵连变化率 G的矢量和. K K 相对变化率 和 ω × dt Gd K ∗ ( ) vrrr dt d dt rd K K K K K K K K K ×+−⋅+×+= ′ ∗ ωωωω ω 2 2 2 2 ( ) rrr K K K K K K 2 K )( −⋅=×× ωωωωω )( dtrd v ∗ K ′ =
a=. 2+oxr+or为-of+20×可 简写为 a-a'+a,+a 其中 =2r 相对加速度 dt2 =会1+a归-7一术注加速度 。=2而×'-科氏加速度
aaaa ct K K K K = ′ + + ( ) vrrr dt d dt rd a K K K K K K K K K K ×+−⋅+×+= ′ ∗ ωωωω ω 2 2 2 2 2 2 dt rd a K K ∗ ′ = c va K K K = 2ω × ′ ( ) rrr dt d at K K K K K K K 2 ωωω ω −⋅+×= 简写为 其中 -相对加速度 -牵连加速度 -科氏加速度
讨论：（①）特殊情况：S系以匀速转动，则 =0 dt 而ō·下=0rc0SB =常量 a,=0rc0s0ō-o2r M =o20M-02(0M+R)=-w2R a='-o2R+2o× (2)一般情况：S系还有平动 正=0++而× =d+'+d,+d。注意：d,a中的F应换成' 是牵连速度的一部分，是牵连加速度的一部分·
一般情况 :)2( S′系还有平动 = + ′ + × rvvv ′ K K K K K 0 ω aaaaa ct K K K K K 0 += ′ + + , . v0是牵连速度的一部分 a0是牵连加速度的一部分 K K )1(: : ′ = 0, dt d S ωK 讨论 特殊情况 系以匀速转动 则 ω ⋅ = ωrr cos θ K K 而 ra r t K K 2 K = cos −ωωθω vRaaK K K K K = ′ 2ωω ×+− ′ 2 OM RROM K K 2 2 2 ωω )( −=+−= ω → → P 0 M θ r K R ω K K = 常量 注意: aa t中的 应换成 K K ′, rK r′ K
例题1：P261(4.1). 解：选如图所示的坐标系，则 4会ar-wr =ok[ok·(R cosj+Rsin k)川 -@2(R cos gj+Rsin ok) =-@2R cos gj a1- 。方向由P指向O. R i's2 cossim o R R a。=2而×'=2ok×(y'sin gi-v'c0spk) =-2wv'sin pi
ω K i K j K k K o P R ϕ v′ K 例题1: P261 (4.1). 解：选如图所示的坐标系, 则 ( ) rrr dt d at K K K K K K K 2 ωωω ω −⋅+×= ( ) rr K K K 2 K −⋅= ωωω cos([ kRjRkk )]sin K K K K ωω +⋅= ϕϕ cos( )sin 2 kRjR K K − + ϕϕω jR K cos ϕω2 −= R v a 2 ′ ′ = K 方向由 P指向O. k R v j R v a K K K cos ϕ sin ϕ 2 2 ′ − ′ ′ −= sin(22 kvjvkva )cos c K K K K K K ×= ′ ωω ×= ′ ϕ − ′ ϕ iv K −= ′sin2 ϕω
a-a'+a,+ac rs吸-p+gpj p'2 sinok R a=I-2awsin)+o Reosp- l+2@'R'(1+sin)+Rcos
aaaa ct K K K K = ′ + + 212 2 2 2 2 2 ])sin( cos(sin)2[( )cos ϕ ω ϕϕω R v R v va R ′ −+ ′ −= ′ −−+ 224 2124422 )sin1(2[ ]cos 1 ω Rv Rv ϕωϕ R = ′ ++ ′ + ω K i K j K k K o P R ϕ v′ K k R v j R v Riv K K K ϕ ϕϕωϕω sin cos(sin2 )cos 2 2 2 ′ − ′ −= ′ − +