同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 刚体力学 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动

第三章 刚体力学

第三章 刚 体 力 学

§3.6刚体的平动与绕固定轴的转动 导读 ·刚体平动方程 ·定轴转动角动量定理和机械能守恒律 ·定轴转动的轴上附加力

导读 • 定轴转动角动量定理和机械能守恒律 • 定轴转动的轴上附加力 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动 • 刚体平动方程

1平动 平动时刚体内所有点 都有相同的速度和加速 度.通常用质心的运动 来代表刚体整体的运动. 若有约束加辅助方程：相对质心的力矩平衡方程 ∑M=0

1 平动 平动时刚体内所有点 都有相同的速度和加速 度. 通常用质心的运动 来代表刚体整体的运动.   n i i c F dt d r M 1 2 2   若有约束加辅助方程：相对质心的力矩平衡方程    0 i Mi  x  y  z  y  x  z  x y z x y z

2定轴转动 刚体绕固定轴z轴转动时， 刚体中任何一点P,都在垂直 于z轴的平面内，即y平面内作 圆周运动. 运动学 独立变量：1 角量表示：角位移△n 角速度 ō角加速度 设一质点的位矢是，它和z轴距离为R,如果在某一时 刻，质点P的线速度为y,则 =而×r v;@R

2 定轴转动 刚体绕固定轴z轴转动时, 刚体中任何一点Pi, 都在垂直 于z轴的平面内, 即xy平面内作 圆周运动. i i v r       i Ri v   运动学 独立变量：1 角量表示: 角位移 n   角速度  角加速度    设一质点的位矢是ri, 它和z轴距离为Ri , 如果在某一时 刻, 质点Pi的线速度为vi, 则 ri mi

定轴转动，o方向不变，则 a.=v,=R,0=R,0 是角加速度.在定轴转动中，它的指向与角速度相同 或相反，并且也是沿着同一条转动轴线

定轴转动, 方向不变, 则            i i i i in i i i i R v R v a a v R R      2 2   是角加速度. 在定轴转动中, 它的指向与角速度相同 或相反, 并且也是沿着同一条转动轴线

直角坐标系分解 =×=00 -0y,1+0X 风-⑧x)=万-0x元 ax=求，=-y,0-02x 4y=月=x,0-02y a2=艺，=0

直角坐标系分解 y i x j x y z i j k v r i i i i i i i z            0 0     i i i i r r v dt d a          (  )                   0 2 2 iz i iy i i i ix i i i a z a y x y a x y x          i x i y

定轴转动的动量矩定理为 动能 7= 有保守力作用的定轴转动的机械能为

定轴转动的动量矩定理为 zz zz z z I I dt dJ M     有保守力作用的定轴转动的机械能为 I zz V  E 2 2 1  动能 2 2 1 T  I zz

例题1 复摆：m绕过o点的水平轴作微小振 动，试求：运动方程、振动周期。 解：确定正方向 10=-mglsin0 I,=mk2 mk2 +me2 方程可化为(k2+2)0+g10=0 令02= gl k2+2 解出0=Asin( gl V+r2t+8)

例题1 复摆：m 绕过o点的水平轴作微小振 动，试求：运动方程、振动周期。 解：确定正方向 I0  mglsin  方程可化为 ( ) 0 2 2 kc    gl    2 2 2    c k gl 令  解出 sin( ) 2 2     t k gl A c  2 2 2 I mk mk m o  o  c  x x  C y y  mg O O l  

周期 2π T- 2π gl 讨论：等价单摆周期 t=2π 8 '= '-0= me 以O悬点 +m-tmk 02 -02 K2+2 测g的原理

周期 讨论：等价单摆周期   mg I gl kc o      2 2 2 2 2     g    2   m I o      2 c k    以O’悬点 2 2 2 2 2 2 ( )            c o c c k I mk m mk gl k mg I o c 2 2 2 ( ) 2              测 g 的原理

3定轴转动时轴上的附加压力 刚体绕定轴转动可以 看作等价于空间两点A和 B保持不动时刚体的运动. 显然是刚体受到了约 束，可以用动量定理和角 动量定理来确定作用在A、 B两点上的约束反力

3 定轴转动时轴上的附加压力 刚体绕定轴转动可以 看作等价于空间两点A和 B保持不动时刚体的运动. 显然是刚体受到了约 束, 可以用动量定理和角 动量定理来确定作用在A、 B两点上的约束反力. B A O 