同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 刚体力学 §3.8 刚体绕固定点的转动 §3.9 重刚体绕固定点转动的解

第三章 刚体力学

第三章 刚 体 力 学

§3.8刚体绕固定点的转动 导读 ·定点转动和一般运动描述 。定点转动加速度 ·欧勒动力学方程

导读 • 定点转动和一般运动描述 • 定点转动加速度 • 欧勒动力学方程 §3.8 刚体绕固定点的转动

1定点转动运动学 外悬架 内悬架 圆盘绕轴Oz转动，该轴固结在内 悬架，内悬架绕固结于外悬架的 ON轴转动，外悬架又绕轴Oz转动. 该图片由m8mr4上化至exu:Net图片版积q源创去所有 三轴交点O始终不动的. 刚体内只有一点始终不动

1 定点转动运动学 刚体内只有一点始终不动. 圆盘绕轴Oz’转动, 该轴固结在内 悬架, 内悬架绕固结于外悬架的 ON轴转动, 外悬架又绕轴Oz转动. 三轴交点O始终不动的

章动 能 自转 进动 外悬架 内悬架 定点转动自由度：两个独立变量来描述角速度矢量 的取向，一个变量来描述整个刚体绕转动轴的运动.通 常用三个欧勒角来描述它的运动

定点转动自由度: 两个独立变量来描述角速度矢量 的取向, 一个变量来描述整个刚体绕转动轴的运动. 通 常用三个欧勒角来描述它的运动.    O 进动 自转 章动

设在某一瞬时，刚体的角速度是 0 R O,取向沿着该时刻的转动瞬轴OM, 如图所示.在此瞬时，刚体内任一 点P的线速度 dr ōx dt 刚体绕固定点O转动时，则体内任一点P的线加速度为 a- d do ×F+可×(@×) dt dt do ×f+0·)-027 dt 转动加速度 向轴加速度

r t r v     = = d d 设在某一瞬时, 刚体的角速度是 , 取向沿着该时刻的转动瞬轴OM, 如图所示. 在此瞬时，刚体内任一 点P的线速度 O r R P  刚体绕固定点O转动时，则体内任一点P 的线加速度为 转动加速度 ( ) r ( r) r t r r t t v a              2 d d d d d d        =  +  − = =  +   向轴加速度

刚体作一般运动时，刚体内任一点P的速度及加速度为 下=可n十而× d=8,+把r40ax刊 =a→号r4d6o7

刚体作一般运动时, 刚体内任一点P的速度及加速度为 v v r' a     = + ( ) ' ( ') ' d d ' ' d d 2 r r r t a r r t a a A A                      = +  +  − = +  +  

例1当飞机在空中以定值速度沿半径为R的水平圆形轨 道C转弯时，当螺旋浆尖端B与中心A的联线和铅垂线成0 角时，求B点的速度及加速度，已知螺旋桨的长度AB=L,螺 旋桨自身旋转的角速度为⊙： 解：取螺旋桨的中心A为动坐标系 原点，其单位矢量如图，则当飞机 转弯时，整个飞机绕k转动的角速 度为o,=VR,故螺旋浆的合成角速 度为 0=0j

例1 当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨 道C转弯时, 当螺旋浆尖端B与中心A的联线和铅垂线成 角时, 求B点的速度及加速度. 已知螺旋桨的长度AB=l, 螺 旋桨自身旋转的角速度为1 . 解: 取螺旋桨的中心A为动坐标系 原点, 其单位矢量如图, 则当飞机 转弯时, 整个飞机绕 k 转动的角速 度为0=V/R, 故螺旋浆的合成角速 度为 k R V j     =1 + i i k R O C A B  l

又当飞机转弯时，A描绘一半径为R的水平圆周，故 A的速度为V,方向沿圆周的切线，即的方向.取A为 基点，则螺旋桨尖端B的速度为 币=听+ox =巧+a时+发(sn质+1os成) =mics线++n0j-asma 现在求B点的加速度a. 因A点加速度为-PRi.而 do di,v dk dt dtR di

又当飞机转弯时，A描绘一半径为R的水平圆周, 故 A的速度为V, 方向沿圆周的切线, 即j的方向. 取A为 基点, 则螺旋桨尖端B的速度为 ( ) j l k R l l i V k l i l k R V Vj j v Vj r                      cos 1 sin sin sin cos ' 1 1 1  −      = + +  +      = + + = +  现在求B点的加速度. 因A点加速度为-V2 /Ri. 而 t k R V t j t d d d d d d 1   = +  i i k R O C A B  l

因k为恒矢量，故 d 三O 又出成-发7发 故 do @v 所以，B点的加速度为 a=xxx =-ri-oYi×lsn饿+1cos乐） R R -a发}aesa+贤如-s如w =-

因k为恒矢量, 故 t j t d d d d 1    = 又 i R V k j R V j t j       = 0  =  = − d d  故 i R V t j t   1 1 d d d d    = = − 所以, B点的加速度为 ( ) ( )        + −      + + = − −  + = +  +   j l k R Vl k l i R V j i l i l k R V i R V r r t a aA                             cos sin sin sin cos ' ' d d 1 1 1 1 2 cos cos 2 sin sin 2 1 1 2 2 2 1 2 j l k R V l i R V l l R V a            − −         = − + +

2欧勒动力学方程 刚体绕定点O以角速度o转动时，其运动方程是 J是列体绕定点O的动量矩，M为诸外力对O点的主矩 我们选用固定在刚体上并一起转动的坐标系并选用O点 上的惯量主轴为动坐标轴， Jx=I10,J,=120,J2=1302

刚体绕定点O以角速度 转动时, 其运动方程是 2 欧勒动力学方程 M t J   = d d J是刚体绕定点O的动量矩, M为诸外力对O点的主矩. 我们选用固定在刚体上并一起转动的坐标系并选用O点 上的惯量主轴为动坐标轴, Jx ＝I1x , Jy ＝I2y , Jz ＝I3z