中国石油大学（华东）：《理论力学 Theoretical Mechanics》课程教学课件（讲稿）第三章 刚体力学 3.7 刚体的平面平行运动

第三章 刚体力学 刚体的平面平行运动 超卓课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 第三章 刚 体 力 学 刚体的平面平行运动

§3.7刚体的平面平行运动 导读 刚体平面平行运动的运动学 刚体平面平行运动的动力学 刚体平面平行运动时相对于质心的角动量定理 刚体平面平行运动时机械能守恒律 超卓课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 导读 刚体平面平行运动的运动学 刚体平面平行运动的动力学 刚体平面平行运动时相对于质心的角动量定理 刚体平面平行运动时机械能守恒律 §3.7 刚体的平面平行运动

1平面平行运动的运动学 刚体平面平行运动时，任一点都始终在 平行于某一固定平面的平面内运动.只须研 究刚体中任一和固定平面平行的截面（薄片） 的运动，空间问题简化为平面问题. (1)纯平动薄片上任何一点的位移都是AA' A点常叫基点 (2)纯转动薄片绕A'点转动一个角度，∠B"AB 薄片上一点速度，加速度 下=i4+0×=币4+而×(-万) a=a +ox(F-m)-(F-i)o A点加速度相对切向加速度相对向心加速度 超卓课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 1 平面平行运动的运动学 刚体平面平行运动时, 任一点都始终在 平行于某一固定平面的平面内运动. 只须研 究刚体中任一和固定平面平行的截面(薄片) 的运动, 空间问题简化为平面问题. (1) 纯平动 薄片上任何一点的位移都是 AA' (2) 纯转动 薄片绕A’点转动一个角度, B' ' A' B' A B A B B L L 薄片上一点速度, 加速度   0 v v r' v r r A A                    2 a a A  r r0 r r0                A点加速度 相对切向加速度 相对向心加速度 A点 常叫基点 r r  0 r z x y x  y  z  O A P

2 转动瞬心 v=下4+面x=p4+0x(f-） 任一时刻薄片上有一点速度为零，叫做转动瞬心 (C),转动瞬心相对于Oxy系的坐标可从上式求得 Xc=X0- e+ 0 如果0=0，则无转动瞬心，或者说，转动瞬心在无穷远处 只要转动瞬心C已知，就知道薄片在此时的运动.因 为如果取C为基点，则因它此时的速度为零，薄片将仅 绕C转动而任意一点P的速度大小为cP·ω 过A及B作两直线分别垂直于yA及 此两直线的交点即为转动瞬心. 19 VB 超卓课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 任一时刻薄片上有一点速度为零, 叫做转动瞬心 (C), 转动瞬心相对于Oxy系的坐标可从上式求得   Ax C Ay C v y y v x  x0  ,  0  2 转动瞬心   0 v v r' v r r A A                如果＝0, 则无转动瞬心, 或者说, 转动瞬心在无穷远处. 只要转动瞬心C已知,就知道薄片在此时的运动.因 为如果取C为基点，则因它此时的速度为零,薄片将仅 绕C转动而任意一点P 的速度大小为 过A及B作两直线分别垂直于vA及vB , 此两直线的交点即为转动瞬心. A B C A v B v         x  y  x y P , , r r  0 r z x y x  y  z  O C

在平面平行运动中，瞬心的位置随时间而变。我们把瞬心在 固定平面(o-xy)上的轨迹称为空间极迹。 瞬心在动平面即基面(A-x'y)上的轨迹称为本体极迹。 在某一瞬时本体极迹和空间极迹的切点就是转动瞬心。 任何平面运动都遵循如下的潘索定理： 如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则本体 极迹将沿空间极迹无滑动的滚动。 超卓课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 在平面平行运动中，瞬心的位置随时间而变。我们把瞬心在 固定平面(o-xy)上的轨迹称为空间极迹。 瞬心在动平面即基面（A-x’y’） 上的轨迹称为本体极迹。 如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则本体 极迹将沿空间极迹无滑动的滚动。 任何平面运动都遵循如下的潘索定理： 在某一瞬时本体极迹和空间极迹的切点就是转动瞬心

3平面平行运动的动力学 质心作为基点，利用质心运动定理和相 对于质心的角动量定理写出平面平行运动 的动力学方程 m成e=Fx I:0=I.a=M. myc F, M,为诸外力（包括约束反力）对z轴的力矩的和 由于外力一般是已知的，但约束反力是未知的 所以要联立约束方程，始能求解， 0 滚动摩擦 由于滚动物体和地面接触处的形变 导致反作用力不通过质心而造成的. 孕课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 3 平面平行运动的动力学 质心作为基点, 利用质心运动定理和相 对于质心的角动量定理写出平面平行运动 的动力学方程      C y C x my F mx F   z z z z M z I    I   Mz为诸外力(包括约束反力)对z轴的力矩的和 由于外力一般是已知的, 但约束反力是未知的. 所以要联立约束方程, 始能求解. 滚动摩擦 由于滚动物体和地面接触处的形变 导致反作用力不通过质心而造成的. x y o C x  x  y  y   f k N A B 0 v 

例：设椭圆规尺AB的端点A和B沿直线导槽Ox及Oy滑V 动，而B以匀速度c运动。用转动瞬心法求规尺上M点 的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹的方程式。B 解：过A,B分别作，和V的垂线，则两条直线的交点 C就是瞬心. .'v=c=@CB=@(a+b)sin0 1 ∴.0= a+b sin0 M点的速度：y-oC7=,Gsr0+co0-b+bewF0 以B为基点，M点的加速度为：a=。+d0x-o7 do dt 超卓课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 例:设椭圆规尺AB的端点A和B沿直线导槽Ox 及Oy 滑 动，而B以匀速度c 运动。用转动瞬心法求规尺上M点 的速度、加速度，并求本体极迹和空间极迹的方程式。 解:过A,B分别作 和 的垂线, 则两条直线的交点 C就是瞬心 . M点的速度: 以B为基点, M点的加速度为:

a=4p+ d @xr-o'F -dQKxtbo'j d =bd07+bo'7 dr a+bn0←otf+乃 be2 'cos+sinj '=-sini +cos be2 1 在定系中，C点的坐标为化，y) (a+b)2 sin0 x2+y2=(a+b空间极迹方程 “sn9 在动系中，C点的坐标为(x',y) .4v= (a+b)2x3 评：以B为基点不是好方法！ 2+y2=0=与a+本体极迹方程 超卓课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 在定系中, C点的坐标为(x, y) 在动系中, C点的坐标为 -空间极迹方程 评：以B为基点不是好方法！ -本体极迹方程

4平面运动刚体的动能 T=1@ Ip=Ic+md2 2 T-1-(c+md)o vc=do 00 2 mc+ 2 1 T=-n Vc nst-le? Ic=mR2,vc Ra 2 2 2 3 =二wc 超卓课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 2 2 1 T  I P  2 I P  IC  md 2 2 2 ( ) 2 1 2 1 T  IP  IC  md  vC  d 2 2 2 1 2 1 T  mvC  I C  C vC 2 2 2 1 2 1 T  mvC  I C IC  mR ,vC  R 2 1 2 2 4 3 T  mvC 4 平面运动刚体的动能 P C d  vC

例1如图，将一根质量为m的长杆用细绳 从两端水平地挂起来，其中一根绳子突然 断了，另一根绳内的张力是多少？ 解：设杆子长2儿，质心运动定理和过质心轴的角动量定 理给出绳断的一刹那的运动方程： mg-T=mac Tl=Ica Ic =ml2 因在此时悬绳未断的一端加速度为零，从而有 ac =la 1 7=48 超卓课程《理论力学》

超卓课程《理论力学》 例1 如图, 将一根质量为m的长杆用细绳 从两端水平地挂起来, 其中一根绳子突然 断了,另一根绳内的张力是多少? T 解: 设杆子长2l, 质心运动定理和过质心轴的角动量定 理给出绳断的一刹那的运动方程: 因在此时悬绳未断的一端加速度为零, 从而有 2 3 I 1 ml C  T mg 4 1  