A卷 2013—2014学年第一学期 《理论力学〉试卷惨考答) 专业班级 姓 名 学 号 开课系室理学院物理与光电工程系 考试日期11月19日晚7：00-9：00 题号 三 四 总分 得分 阅卷人
ͣͤ͢͡—ͣͥ͢͡ ᄺ ᄺ 羭姮塶 缽 ௮伇 ?䆎 ᄺ 䆩௯ 卷ాখ考耤唀ి 业业业业业业业业业业业业ϧϮ⧁㑻业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业 业业业业业业业业业业业业ྦྷ业业业业ৡ业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业 业业业业业业业业业业业业ᄺ业业业业ো业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业业 业业业业业业业业业业业业ᓔ䇒㋏ᅸ业业业业⧚ᄺ䰶⠽⧚Ϣܝ⬉Ꮉ㋏业业业 业业业业业业业业业业业业㗗䆩᮹ᳳ业业业业开开 ᳜ 开期 ᮹业业ᰮ业7:工工-期:工工业业业 乬ো业 ϔ业 Ѡ业 ϝ业 ಯ业 ᘏߚ业 ᕫߚ业 业 业 业 业 业 䯙ोҎ业 业业业业业业业 ˝ो
一、判断题(20分，每小题2分).[正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“×”] 1质点系动量、角动量的变化与系统的内力无关 (√) 2有心力是非保守力，质点在有心力作用下的运动是平面运动.(×） 3质点系受到的外力矩之矢量和不为零时，质点系在某方向的角动量可以守 恒 (√) 4刚体的一般运动可分解为质心的平动与绕质心的定点转动.（√） 5科里噢利力在任何非惯性系中都存在 (×) 6任意空间力系总可以简化为对任意简化中心的一个单力和一个力矩（√） 7质点系所受外力的矢量和为零时，其质心作惯性运动. (√) 8在稳定约束下，实位移必是虚位移中的一个 (√) 9泊松括号表示的哈密顿正则方程为p。=pm,H川g。=g。,川 (√) 10存在循环积分的条件是拉格朗日函数L中不显含时间1. 二、填空题(20分，每小题2分) 1一个力F是保守力，则它应满足条件7×F=0 2力对某点的力矩定义为 M=F×E 质点对某点的角动 量定义为_J=F×P 3世会式号为一m(倍小有 4平面平行运动刚体上任一点的速度为 节=下4+而×产 5刚体平衡时满足的条件是F=0,M=0 第1页共5页
一ǃ判断题(20 ߚ,每小题 2 ߚ].(ℷ确的在括号内打Ā√ā，错误的在括号内打Ā×ā]. 1 质点系动量ǃ角动量的ব化Ϣ系统的内力无关. ( √ ) 2 有心力是非保守力, 质点在有心力作用ϟ的运动是平面运动. ( × ) 3 质点系ফ到的外力矩之矢量和ϡ为零时, 质点系在某方向的角动量可以守 恒. ( √ ) 4 ߮体的一般运动可ߚ解为质心的平动Ϣ绕质心的定点转动. ( √ ) 5 科䞠噢利力在任何非惯性系中都存在. ( × ) 6 任意空间力系总可以简化为对任意简化中心的一个单力和一个力矩. ( √ ) 7 质点系所ফ外力的矢量和为零时, 其质心作惯性运动. ( √ ) 8 在稳定约束ϟ,实位移必是虚位移中的一个. ( √ ) 9 泊ᵒ括号表示的哈密顿ℷ߭方程为 p [p , H ], α = α q [q , H ] α = α . ( √ ) 10 存在循环积ߚ的条件是拉格朗日函数 L 中ϡ显含时间t . ( × ) 二ǃ填空题(20 ߚ,每小题 2 ߚ ( 1 一个力 是保守力 F , ߭它应满足条件 G ×∇ F=0 K . 2 力对某点的力矩定义为 M r F K K K = × ,质点对某点的角动 量定义为 J r P K K K = × . 3 比耐公式可写为 m F u d d u h u = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 2 2 θ . 4 平面平行运动߮体Ϟ任一点的速度为 , v v r A K K K K = +ω× . 5 ߮体平衡时满足的条件是 F = ,0 M = 0 K K . 第 1 页 共 5 页
6柯尼希定理的数学表达式为T=)M:+m 7虚功原理的最学表达式为空成=0 8保守系统的拉格朗日方程为1L-L:0 di ad,aq. 9理想约束的条件是 2成=0 10哈密顿函数H=_立p,4。-l一 三、证明题(20分) 1、(本题10分)有一划平面曲线轨迹的点，其速度在y轴上的投影于任何时刻均 为常数c,试证在此情况下，加速度的量值可用下式表示. (式中v为点的速度，p为轨迹的曲率半径。) 解：依题意v2=2+c2 (1) (2分) 对求号 帝wc (2) (3分) ㎡店- (3) (2分) (2)、(3)联立，可求得 (4) (3分) 2、(本题10分)重为W的人，手里拿着一个重为G的物体，此人用与地平线成α 角的速度。向前跳去，当他到达最高点时，将物体以相对速度水平向后抛出，试 证由于物体的抛出，人跳的距离增加了 第2页共5页
6 柯尼希定理的数学表达式为 2 1 2 2 1 2 1 ii n i c T Mv ∑ m v = = + 7 虚ࡳ原理的数学表达式为 0 1 ∑ ⋅ = = i n i i F r K K δ 8 保守系统的拉格朗日方程为 = 0 ∂ ∂ − ∂ ∂ s s q L q L dt d 9 理想约束的条件是 0 1 ∑ ⋅ = = n i i i R r K K δ . 10 哈密顿函数 H = p q L S ∑ − = α α α 1 . ϝǃ证明题(20 ߚ ( 1ǃ˄本题 10 ߚ˅有一划平面曲线轨迹的点,其速度在 轴Ϟ的投影于任何时刻均 为常数c , 试证在ℸ情况ϟ, ࡴ速度的量值可用ϟ式表示. y cρ v a 3 = ˄式中v为点的速度， ρ 为轨迹的曲率半径DŽ˅ 解：依题意 v 2 = x 2 + c 2 ˄1˅ ˄2 ߚ˅ 对t 求导得 xa dt dv v = v a v c dt dv 2 2 − = ˄2˅ ˄3 ߚ˅ 又 2 2 2 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = − = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ρ v a a a dt dv n ˄3˅ (2 ߚ ( ˄2˅ǃ˄3˅联立，可求得 cρ v a 3 = ˄4˅ ˄3 ߚ˅ 2ǃ˄本题 10 ߚ˅䞡为W 的人, 手䞠拿着一个䞡为 的物体 G , ℸ人用Ϣ地平线成α 角的速度 向前跳去 v0 , 当他到达最高点时, 将物体以相对速度 K u K 水平向后抛出,试 证由于物体的抛出, 人跳的距离增ࡴ了 第 2 页 共 5 页
仰+Gkm,si加a(g为重力加速度 G 解：动量守恒： (1) (3分) 8 最高点时y,=0,1=V sina (2) (2分) 增加得距离为△x=x-x。=(v-cosa) (3) (2分) 由(1)解出v.将v和(2)代入(3)得 G Ax-G)sina (3分) 四、计算推导题(40分) 1、(本题10分)质点沿者抛物线y2=2x运动，其切向加速度的量值为法向加速 度量值的-2k倍.如此质点从正焦弦(，p)的一端以速度“出发，试求其到达正焦 弦另一端时的速率 解：货题意：由-2 (2分) p 取切肉王方的为：的正力台，物与黄正的的夹角为0，则D一岛-会 d水=-2kd0 (3分) 因y2=2px y 第3页共5页
( ) uv0 sinα W G g G + (g 为䞡力ࡴ速度) 解：动量守恒： cos ( ) 0 v u g G v g W v g W G = + − + α ˄1˅ ˄3 ߚ˅ 最高点时 vy = 0 ， g v t 0 sinα = ˄2˅ ˄2 ߚ˅ 增ࡴ得距离为 x x x (v v cosα)t Δ = − 0 = − 0 ˄3˅ ˄2 ߚ˅ 由˄1˅解出v . 将v和˄2˅代入˄3˅得 sinα ( ) uv0 W G G x + Δ = ˄3 ߚ˅ 四ǃ计算推导题(40 ߚ ( 1ǃ˄本题 10 ߚ˅质点沿着抛物线 运动, 其ߛ向ࡴ速度的量值为法向ࡴ速 度量值的 倍. 如ℸ质点从ℷ焦弦 y 2 px 2 = − 2k ), 2 ( p p 的一端以速度u 出发, 试求其到达ℷ焦 弦另一端时的速率. 解：依题意： ρ 2 2 v k dt dv ˅ߚ 2= − ˄ পߛ向ℷ方向为u K 的ℷ方向，ߛ向Ϣ x轴ℷ向的夹角为θ ，߭ θ θ ρ d ds d ds = = kdθ v dv −= 2 ˄3 ߚ˅ 因 y 2 px 2 = y p tg dx dy = θ = 第 3 页 共 5 页
A点：g8=1,g= B点您飘=-，及-行 (3分) 于是有 停-度0 V=ueks (2分) 2、(本题10分)一面粗糙另一面光滑的平板，质量为M将光滑的一面放在水平桌 面上，木板上放一质量为m的球.若板沿其长度方向突然有一速度。，问此球经过 多少时间后开始滚动而不滑动 解、对板：Ma,=-mg 对球：Ma2=mg (2分) mr2o=mg (2分) 积分得 y=-1+ M V2 =ugt (2分) 滚动而不滑动的条件 r+2=y1 (2分) 1。 于是可解得 1= (2分) +受s 第4页共5页
A 点： 1 tgθ1 = ， 4 1 π θ = B 点： 1 tgθ 2 = − ， 4 3 2 π θ = ˄3 ߚ˅ 于是有 ∫ ∫ = − 4 3 4 2 π π kdθ v vdv u ˄2 ߚ ˅kπ v ue − = 2ǃ˄本题 10 ߚ˅一面粗糙另一面光滑的平ᵓ,质量为M .将光滑的一面放在水平桌 面Ϟ,木ᵓϞ放一质量为m 的球. 若ᵓ沿其长度方向突然有一速度 , 问ℸ球经过 多少时间后开始滚动而ϡ滑动. 0 v K 0 v K ω 解ǃ对ᵓ：Ma = −μmg 1 对球： Ma = μmg 2 ˅ߚ 2 ˄ mr ω = μmgr 2 5 2 ˅ߚ 2 ˄ 积ߚ得 1 0 t v M mg v −= + μ v = μgt 2 ˅ߚ 2 ˄ t r g v 2 5 3 μ = 滚动而ϡ滑动的条件 2 1 ωr + v = v ˄2 ߚ˅ 于是可解得 g M m v t )μ 2 7 ( 0 + ˅ߚ 2= ˄ 第 4 页 共 5 页
3、(本题10分)试由哈密顿原理推导出哈密顿正则方程 解：由6Ld=0,L=∑P。-H知 (3分) aa-空n成+原0年票油0 (3分) 注意到端点条件gl,=6g.l=0,有 空到ae00 (2分) 考虑到积分区间的任意性及西。和.的独立性，有 da-pa (=1,.,s) (2分) 4、(本题10分)一直线以均匀角速度0在周定平面内绕o点转动，当1=0时，此 直线与Ox轴重合，动点A从原点出发沿直线运动.若此动点的绝对速度为定值下， 求其轨迹和加速度。 r 00 解：取平面极坐标系，有 2+(r2= (3分) 则 名- dr i-ro=d 注意到，1=0时，r=0,积分得 (3分) 加速度a,=f-r02=-20m,sin0 (2分) a。=2r0+ri=2am,cos0 (2分) 第3页共5页
3ǃ˄本题 10 ߚ˅试由哈密顿原理推导出哈密顿ℷ߭方程. 解：由 ∫ = ， 知 ˄3 ߚ ˅2 1 0 t t δ Ldt ∑= = − π α α α 1 L p q H ( ) 0 2 1 2 1 1 = ∂ ∂ − ∂ ∂ = + − ∫ ∫ ∑= q dt q H p p H Ldt p q q p t t s t t α α α α α δ αδ α αδ α δ δ ˄3 ߚ˅ 注意到端点条件 0 2 1 = = = =tt tt q q α δ α δ ,有 ( ) ( ) 0 2 1 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ∫ ∑= q dt q H p p p H q t t s α α α α α α α δ δ ˄2 ߚ˅ 考虑到积ߚ区间的任意性及δqα和δpα的独立性，有 α α p H q ∂ ∂ = ， α α q H p ∂ ∂ −= ˄α = ,1 ",s ˅ ˄2 ߚ˅ 4ǃ˄本题 10 ߚ˅一直线以均匀角速度ω 在固定平面内绕o点转动, 当 时,ℸ 直线Ϣ ox 轴䞡合,动点 A 从原点出发沿直线运动. 若ℸ动点的绝对速度为定值v t = 0 K . 求其轨迹和ࡴ速度. 第 5 页 共 5 页 x 解：প平面极坐标系，有 r 2 + (rθ ) 2 = v0 2 ˄3 ߚ˅ ߭ 2 2 2 v0 r ω dt dr = − dt v r dr = − 2 2 2 0 ω 注意到， 时， ，积ߚ得 t = 0 r = 0 t v r ω ω sin 0 = ˄3 ߚ˅ ࡴ速度 ar = r − rθ 2 −= 2ωv0 sinθ ˄2 ߚ˅ aθ = 2rθ + rθ = 2ωv0 cosθ ˄2 ߚ˅ r θ v K A O