第五章分析力学 ©分析力学与矢量力学(牛顿力学) ©分析力学的创立 。分析力学的研究对象及研究方法
第五章 分析力学 分析力学与矢量力学(牛顿力学) 分析力学的创立 分析力学的研究对象及研究方法
§5.1约束与广义坐标 一、约束的概念和分类 1.约束 对n个质点构成的力学系统,在不受约束时,确定其 位形需要3个独立坐标。当系统的运动受到约束时,确 定其位形的独立坐标数目应小于3n。 约束:事先给定的限制系统内各质点自由运动的条件。 这个条件(即约束)用数学式子表示为: fa(,t)=0 (i=1,2,.;a=1,2,.k) ——约束方程
§5.1 约束与广义坐标 一、约束的概念和分类 对n个质点构成的力学系统,在不受约束时,确定其 位形需要3n个独立坐标。当系统的运动受到约束时,确 定其位形的独立坐标数目应小于3n。 约束 :事先给定的限制系统内各质点自由运动的条件。 trf = 0),( ia K ——约束方程 = .ni α = . k),2,1;,2,1( 这个条件(即约束)用数学式子表示为 : 1. 约束
2.约束的分类 根据约束方程中是否显含时间t,我们把约束方程分 为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束:f()=f(x,y,z;)=0 不稳定约束:)=x)=0 稳如:x2+y2+z2=12 不稳如:(x-ct)2+y2+z2=2 根据约束是否可以被解脱可分为: 不可解约束(双面约束):f()=0 1可解约束(单面约束):f()≤0或f(⑦)≥0
2.约束的分类 根据约束方程中是否显含时间t,我们把约束方程分 为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束: 不稳定约束: 0 根据约束是否可以被解脱可分为: 不可解约束(双面约束): 可解约束(单面约束): 稳如: 2222 =++ lzyx ia = iiia ,t),z,y(xf,t)r(f = K = = 0),()( iiiaia zyxfrf K 不稳如: 2222 )( =++− lzyctx = 0)( ia rf K ≤ 0)( ia rf K ≥ 0)( ia rf K 或
约束还可以分为几何约束和运动约束: 几何约束(也叫完整约束)f()=0或f(,t)=0 运动约束(也叫微分约束或不完整约束或非完整约束) fm(,i)=0 或fn(i,i,t)=0 注意:能被积分的微分约束是几何约束,而不是微分 约束. 力学系统的分类 完整系统:只受完整约束的系统 非完整系统:同时受完整约束和不完整约束的系统 本课程中只研究完整力学系统
约束还可以分为几何约束和运动约束: 几何约束(也叫完整约束) 运动约束(也叫微分约束或不完整约束或非完整约束) = trfrf = 0),(0)( ia ia K K 或 rrf = 0,( trrf = 0),( iia iia K K K K ) 或 注意:能被积分的微分约束是几何约束,而不是微分 约束. 力学系统的分类 完整系统:只受完整约束的系统. 非完整系统:同时受完整约束和不完整约束的系统. 本课程中只研究完整力学系统
二、广义坐标 若n个质点组成的力学系统受到k个完整约束,则系 统的独立数为3n-k=s个。因此用s个独立坐标就可描述 系统的位形。 对完整系统:定义描述系统位形的独立坐标数s=3-k 为系统的自由度. 由于3n个坐标中独立的只有s个,因此可选取适当 的S个独立参量41,92,9及t把那3个不独立的坐标 表示出来。 即:i=(q1,q2,.4,t) (i=1,2.;s<3n) 这s个参量91,92.9,称为系统的广义坐标
二、广义坐标 若n个质点组成的力学系统受到k个完整约束,则系 统的独立数为3n-k=s个。因此用s个独立坐标就可描述 系统的位形。 对完整系统:定义描述系统位形的独立坐标数s=3n-k 为系统的自由度. qqq s , 2,1 " 由于3n个坐标中独立的只有s个,因此可选取适当 的S个独立参量 及t把那3n个不独立的坐标 表示出来。 即: )3;2,1(),( 21 nsnitqqqrr = ii . s = . < KK 这s个参量 称为系统的广义坐标. 21 .qqq s
注意:(1)广义坐标41,92.4、一般都是时间的函数、 (2)S个广义坐标可选取3n个坐标中的某s个,也可选 另外的$个合适的参量.它们不一定是长度,也可是其 他物理量(如动量,角孤度,体积极化强度等). (3)选广义坐标的两个要求: a).所有质,点在任意时刻位矢都能表示成广义坐标的 函数,这些函数还应是单值连续的,一般还显含, 即:F=(41,42.4s0 b).41.9,都应满足约束方程fn(T,t)=0, 满足上述要求的41.4,可以有很多,但具体选 取时视方便而定
(1)广义坐标 一般都是时间的函数. 21 .qqq s , (2)S个广义坐标可选取3n个坐标中的某s个,也可选 另外的S个合适的参量.它们不一定是长度,也可是其 他物理量(如动量,角弧度,体积极化强度等). (3)选广义坐标的两个要求: a).所有质点在任意时刻位矢都能表示成广义坐标的 函数,这些函数还应是单值连续的,一般还显含t, 即: ),( 21 tqqqrr = ii . s K K b). 都应满足约束方程 s .qq1 trf = .0),( ia K 注意: s .qq 满足上述要求的 可以有很多,但具体选 1 取时视方便而定
对完整系统: 自由度数=独立坐标数=广义坐标数。 对非完整系统: 广义坐标的数目大于自由度数目
对完整系统: 自由度数=独立坐标数=广义坐标数。 对非完整系统: 广义坐标的数目大于自由度数目
§5.2虚功原理 一、实位移与虚位移 设质,点的运动规律为 产=r(t) 当t变化时,下也变化dr=示dt。即t发生dt变化时,F 发生r变化。当dt=0时,d示=0。 我们把这种质点由于运动而实际发生的位移称为实位移。 实位移:质点由于运动实际发生的位移,用表示。 我们也可以想象在某一时刻,质点在约束许可的情 况下发生了一个无限小的位移,但这一位移不是由于质 点的运动而实际发生的,而是想象的可能的位移。 发生这个位移不需要时间,我们把这种不是由于时间 的改变而引起的位移称为虚位移。 虚位移:设想的符合约束的、无限小的、即时的位置 变更。用所表示
§5.2虚功原理 一、实位移与虚位移 设质点的运动规律为 trr )( K K = 实位移:质点由于运动实际发生的位移, 用 表示。 rdK 我们把这种质点由于运动而实际发生的位移称为实位移。 dtrrd K K = dt = 0 rd = 0 K r K 当t变化时, 也变化 。即t发生 变化时, 发生 变化。当 时, 。 dt rK rdK 我们也可以想象在某一时刻t,质点在约束许可的情 况下发生了一个无限小的位移,但这一位移不是由于质 点的运动而实际发生的,而是想象的可能的位移。 发生这个位移不需要时间,我们把这种不是由于时间 的改变而引起的位移称为虚位移。 虚位移:设想的符合约束的、无限小的、即时的位置 变更。用 表示。 rK δ
实位移:质点由于运动实际发生的位移,用表示。 虚位移:设想的符合约束的、无限小的、即时的位置 变更。用亦表示。 虚位移与实位移之不同 1.实位移是运动学概念,虚位移是几何概念。实位移 是自变量变化引起的函数变化。虚位移是函数自身 的变化。 2.实位移受运动规律和约束条件的限制,而虚位移只 受约束条件的限制。 3.实位移只有一个,而虚位移有无数个。 4.在稳定约束下,实位移是许多虚位移中的一个。但 在不稳定约束下,实位移并不是虚位移中的一个。 5.d标是微分,亦是等时变分
虚位移与实位移之不同 1.实位移是运动学概念,虚位移是几何概念。实位移 是自变量变化引起的函数变化。虚位移是函数自身 的变化。 2.实位移受运动规律和约束条件的限制,而虚位移只 受约束条件的限制。 3.实位移只有一个,而虚位移有无数个。 4.在稳定约束下,实位移是许多虚位移中的一个。但 在不稳定约束下,实位移并不是虚位移中的一个。 实位移:质点由于运动实际发生的位移, 用 表示。 rd K 虚位移 :设想的符合约束的、无限小的、即时的位置 变更。用 表示。 r K δ 5. 是微分, 是等时变分。 rd K r K δ
二、理想约 作用在质点上的力在虚位移中作的功叫虚功。在实位 移中作的功叫实功(简称功)。 如果作用在一力学系统上的诸约束力在任意位移中作 的功之和为零即 ∑r所,=0 i=1 则这种约束称为理想约束 引入虚位移的目的,就在于利用 R6,=0 来消去约束力。 i=1
二、理想约束 作用在质点上的力在虚位移中作的功叫虚功。在实位 移中作的功叫实功(简称功)。 如果作用在一力学系统上的诸约束力在任意位移中作 的功之和为零.即 0 1 ∑ =⋅ = i n i i rR K K δ 引入虚位移的目的,就在于利用 来消去约束力。 0 1 ∑ =⋅ = i n i i rR K K δ 则这种约束称为理想约束