下面六个例题， 需要数学软件， 请分六组完成
下面六个例题， 需要数学软件， 请分六组完成
例1、单摆是由一质量为的质点用长为 L的弦或者轻杆悬挂在点O构成的.假定弦 不能伸长，且质量可以忽略.研究单摆的运 动规律， 解：分析受力，得到运动方程为 径向：mg cos0-F=m(-L02) (1) mg 横向：-mg sin0=mL0 (2) 改写方程(2) +sin0=0 (3) 对于小角度，sin00,方程简化为 6+80=0 通解为0=Acos(ot+p,) 考虑初始条件0(t=0)=0,0(t=0)=0
例1、单摆是由一质量为m的质点用长为 L的弦或者轻杆悬挂在点O构成的. 假定弦 不能伸长,且质量可以忽略.研究单摆的运 动规律. O L FT mg 解: 分析受力, 得到运动方程为 径向: 横向: cos ( ) 2 mg − FT = m −L (1) mg mL − sin = (2) 改写方程(2) 对于小角度, sin~, 方程简化为 + = 0 L g 通解为 ( ) 0 = Acos t + 考虑初始条件 ( 0) , ( 0) 0 t = =0 t = = + sin = 0 L g (3)
得到解 0=日cos(@,),o-g 对于一般情况，方程(3)可积分一次得到 dodθ =sin0->0d0-sin Od0 do di L 6=2(os0-eos8】 完整的解需要特殊函数，我们作图可以看出：角度越 大，频率越低，不是固定频率的形式： 其实只要我们简单考虑(3) 0 =0 就可以看出频率随角度的变化
( ) 2 0 0 0 cos , g t L 得到解 = = 对于一般情况, 方程(3)可积分一次得到 ( ) 2 0 sin sin 2 cos cos d d g g d d d dt L L g L = = − → = − = − 完整的解需要特殊函数,我们作图可以看出:角度越 大, 频率越低,不是固定频率的形式. 其实只要我们简单考虑(3) 0 sin = + L g 就可以看出频率随角度的变化
DSo1ve[{u''[x]+Sin[u[x]]=s0,u[0]=π/2，u'[0]=:03,u[x],{x,0,50}]: P1ot[Eva1uate[u[x]/.%],{x,0,50}]: DSo1ve[{u''[x]+sin[u[x]]-=0,u[0]=19π/20，u'[0]=0,u[x],{x,0,50)]: P1ot[Evaluate[u[x]/.]，{x,0,503]:
例2、单摆是由一质量为m的质点用长为 的轻杆悬挂在某点构成的.假定弦不能 伸长，且质量可以忽略.(1)以角度为参数 做势能曲线，说明图上哪个范围是小球 能够达到的；(2)对于H=E/mgl=0.1,1,2, 3.5,试做角速度与角位移曲线，并讨论它 们各自对应的单摆运动情况；3)求小振 mg 幅时的周期. 解：(1)单摆的重力势能为 V(0)=mgl(1-cose) 曲线如图所示，它在0=0处有极小值，即这里是稳定平衡点 表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表 动能E,因为动能恒正，所以运动只能在势能曲线低于水 平线的范围内才能实现，则虚线的位置标示着振幅！
例2、单摆是由一质量为m的质点用长为 l的轻杆悬挂在某点构成的. 假定弦不能 伸长,且质量可以忽略.(1)以角度为参数 做势能曲线,说明图上哪个范围是小球 能够达到的; (2)对于H = E/mgl =0.1, 1, 2, 3.5, 试做角速度与角位移曲线, 并讨论它 们各自对应的单摆运动情况; (3) 求小振 幅时的周期. l mg 解: (1)单摆的重力势能为 V() = mgl(1− cos ) 曲线如图所示,它在 = 0处有极小值,即这里是稳定平衡点. 表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表 动能Ek . 因为动能恒正, 所以运动只能在势能曲线低于水 平线的范围内才能实现, 则虚线的位置标示着振幅
Mathenatica 4-[Untitled-1 * 当H=0.1时振幅很 File Edit Cell Format Input Kernel Find Window Help 小，曲线是一个椭圆； 播Untitled-1* H=2对应于振幅为元 P1ot[1-Cos[x],{x,-1.5Pi,1.5Pi] 的情况，曲线仍闭合， Plot [[10.1-1+Cos[x],-10.1-1+cos[x],1-1+Cos[x],I -√1-1+C0s[x],V2-1+Cos[xJ,-√2-1+C0s[x灯， 但两端凸出略呈尖 √3.5-1+cos[x],-V3.5-1+C0s[x]},{x,-1.5P1,1.5P1)] 角状；H=3.5时曲线 分裂成上下两支，分 别对应于摆锤顺时 针和逆时针的旋转； H=2是介于往复摆 动与单向旋转之间 的临界状态，它在两 端交叉成尖角，此处 对应于摆锤在正上 方的不稳定位置这 条把两种运动形式 分开的曲线称为 “相分界线
V/mgl 当H = 0.1时振幅很 小,曲线是一个椭圆; H = 2对应于振幅为 的情况, 曲线仍闭合 , 但两端凸出略呈尖 角状; H = 3.5时曲线 分裂成上下两支, 分 别对应于摆锤顺时 针和逆时针的旋转; H = 2是介于往复摆 动与单向旋转之间 的临界状态, 它在两 端交叉成尖角 ,此处 对应于摆锤在正上 方的不稳定位置 . 这 条把两种运动形式 分开的曲线称为 “相分界线”
(2)摆锤的速度=10，故动能为E=2ml202,从而 E=Er+V=ml202+mgl(1-Cos0)=C 或者H=E_l mgl 2g +1-cs9所以0-23-1+cos 分别把给定的H值带入，则由每个值就可以画出角速度与它的 关系（见上图 (3)线位移x=l,计算势能在平衡点的二阶导数： d2V(x) 1d2V(0 mg dx 12d02 A=0 周期为： T=2π 2π
(2) 摆锤的速度 v = l , 故动能为 2 2 2 1 E ml k = , 从而 (1 cos ) C 2 2 2 1 E = Ek +V = ml + mgl − = 1 cos 2 2 = + − g l mgl E H 或者 所以 ( 1 cos ) 2 = H − + l g 分别把给定的H值带入, 则由每个值就可以画出角速度与它的 关系.(见上图) (3) 线位移x=l, 计算势能在平衡点的二阶导数: l V mg x l V x V = = = = =0 2 2 2 0 2 2 d 1 d ( ) d d ( ) ''(0) g l V m T 2 ''(0) 周期为: = 2 =
例3、弹簧振子一质量为的质点连接一个轻质弹簧，弹 簧振子的弹性系数为k.(1)做Vx)-x曲线，说明图上哪个范 围是振子能够达到的；(2)对于E,2E,3E,试做速度与位移 曲线，并讨论其对应的运动情况；（③）求弹簧振子的周期， 解：(1)振子的势能为：个八/ m V(x)=号kx-x)2 曲线是一条抛物线.在x=xo=0处有极小值，即这里是稳定 平衡点.表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高 度代表动能E,因为动能恒正，所以运动只能在势能曲线 低于水平线的范围内才能实现，虚线的位置为其振幅. (2)振子的总能量为E=E+V=m2+,x2=C 显然，无论能量（或者振幅）大小，轨迹总是椭圆
例3、弹簧振子一质量为m的质点连接一个轻质弹簧,弹 簧振子的弹性系数为k.(1)做V(x)-x曲线,说明图上哪个范 围是振子能够达到的; (2)对于E,2E,3E, 试做速度与位移 曲线, 并讨论其对应的运动情况; (3) 求弹簧振子的周期. x0 m x k 解: (1)振子的势能为: f m ( ) 2 2 0 1 V(x) = k x − x 曲线是一条抛物线. 在x=x0 = 0处有极小值,即这里是稳定 平衡点. 表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高 度代表动能Ek . 因为动能恒正, 所以运动只能在势能曲线 低于水平线的范围内才能实现, 虚线的位置为其振幅. (2) 振子的总能量为 C 2 2 2 1 2 1 E = Ek +V = mv + kx = 显然, 无论能量(或者振幅)大小, 轨迹总是椭圆
3)计算势能在平衡点的二阶导数： V"(0) d2V(x) dx 弹簧振子的周期为： T=2π p10,1-x-2-x,-2-x3-x-3-xk-2,2
(3) 计算势能在平衡点的二阶导数: k x V x V x = = =0 2 2 d d ( ) ''(0) k m V m T 2 ''(0) = 2 = 弹簧振子的周期为: -2 -1 1 2 -1 1 2 3 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , , 2,2 2 2 2 2 2 2 2 plot x − x − − x − x − − x − x − − x x −
例4、如图为一倒摆装置，螺旋弹簧把它支撑 在0=0的平衡位置上，摆锤在重力和弹性力 的共同下运动，试从它的势能曲线讨论其运 动的稳定性 解：弹簧服从胡克定律，即其弹 A 性势能为， (0=「k0=k2 ( 倒摆的重力势能为V,(0)=mg(cos0-1) 平衡位置对应于势能的极值 dr(O) k0-mgl sin0 =0 do
例4、如图为一倒摆装置,螺旋弹簧把它支撑 在=0的平衡位置上,摆锤在重力和弹性力 的共同下运动,试从它的势能曲线讨论其运 动的稳定性. 解: 弹簧服从胡克定律,即其弹 性势能为 2 0 1 2 1 ( ) d V = k = k 1 ( ) (cos 1) 倒摆的重力势能为 V2 = mgl − 平衡位置对应于势能的极值 sin 0 d d ( ) = − = k mgl V