第五章 分析力学
第五章 分析力学
§5.8正则变换 导读 ·正则变换的条件 ·母函数正则变换的几种形式 ·泊松括号的变换不变性 ·无限小正则变换
导读 • 正则变换的条件 • 母函数 正则变换的几种形式 • 泊松括号的变换不变性 • 无限小正则变换 §5.8 正则变换
哈密顿正则方程的求解完全等价于求解拉格 朗日方程. 然而，它的功能并不是拉格朗日方程所能替代 的.例如刘维定理揭示了力学系统在相空间中的 运动规律，提供了从经典力学过渡到统计物理的 途径，而在拉格朗日动力学的位形空间中却不存 在类似的规律.力学规律的泊松括号形式，又揭 示了经典力学和量子力学的对应关系
哈密顿正则方程的求解完全等价于求解拉格 朗日方程. 然而, 它的功能并不是拉格朗日方程所能替代 的. 例如刘维定理揭示了力学系统在相空间中的 运动规律, 提供了从经典力学过渡到统计物理的 途径, 而在拉格朗日动力学的位形空间中却不存 在类似的规律. 力学规律的泊松括号形式, 又揭 示了经典力学和量子力学的对应关系
与拉格朗日方程相比，哈密顿方程非但在外观 形式上，而且在内在性质上具有更高的对称性， 哈密顿方程的独立变量（广义坐标和广义动量） 比拉格朗日方程的独立变量广义坐标)多一倍，从 表面看，这似乎是一种无谓的复杂化，其实正是出 于这种变量个数的增加，使哈密顿方程对于范围更 广的变换（正则变换）具有不变性.因而可以借助于 这种变换使哈密顿函数变得极简单（变为常数或 零)，以使求解变换后的哈密顿方程成为极为简单 的事
与拉格朗日方程相比, 哈密顿方程非但在外观 形式上, 而且在内在性质上具有更高的对称性. 哈密顿方程的独立变量(广义坐标和广义动量) 比拉格朗日方程的独立变量(广义坐标)多一倍, 从 表面看, 这似乎是一种无谓的复杂化, 其实正是出 于这种变量个数的增加, 使哈密顿方程对于范围更 广的变换(正则变换)具有不变性. 因而可以借助于 这种变换使哈密顿函数变得极简单(变为常数或 零), 以使求解变换后的哈密顿方程成为极为简单 的事
1正则变换 与循环坐标对应的广义动量守恒.循环坐标的个数 越多，求解哈密顿正则方程就越方便.但对同一个问题， 广义坐标选取不同，循环坐标出现的个数也将不同. 广义坐标之间的变换叫作点变换 哈密顿动力学中，广义坐标和广义动量处于对等的 地位，不必局限于点变换，可以考虑更为广义的变换 Pa=Pa(P,q,t) (a=1,2.,s） 2。=Q.(p,9,t) 当然，我们要求变换后的动力学方程仍然是哈密顿正则 方程，满足这一要求的变换叫作正则变换
与循环坐标对应的广义动量守恒. 循环坐标的个数 越多, 求解哈密顿正则方程就越方便. 但对同一个问题, 广义坐标选取不同, 循环坐标出现的个数也将不同. 1 正则变换 广义坐标之间的变换叫作点变换. 哈密顿动力学中, 广义坐标和广义动量处于对等的 地位, 不必局限于点变换,可以考虑更为广义的变换 当然, 我们要求变换后的动力学方程仍然是哈密顿正则 方程, 满足这一要求的变换叫作正则变换. ( s) Q Q p q t P P p q t 1,2, , ( , , ) ( , , ) = = =
注意：变换以后的两组变数P。与2。完全对等，不再 把它们区分为“坐标”和“动量”，这样，在哈密 顿动力学中，满足哈密顿正则方程的一对变数P。 与Q。就叫作一对正则变数或一对共轭变数，说不 上哪个是坐标，哪个是动量 变换前的p和q满足哈密顿正则方程，变换 后P,与Q也满足哈密顿正则方程.显然，作为同一 个力学问题，这两组正则方程是彼此等价的
注意: 变换以后的两组变数P与Q完全对等, 不再 把它们区分为“坐标”和“动量”. 这样, 在哈密 顿动力学中, 满足哈密顿正则方程的一对变数P 与Q就叫作一对正则变数或一对共轭变数, 说不 上哪个是坐标,哪个是动量. 变换前的p和q满足哈密顿正则方程,变换 后P与Q也满足哈密顿正则方程.显然,作为同一 个力学问题,这两组正则方程是彼此等价的
这就是说，变分原理 在-gsv-ud空re-rg0w-0 12 两者是等价的（这里H*代表变换后的哈密顿函数）. 借助于变换关系，可将上面两式视为含有相同的变 数；因此，二者被积函数之差应为任意函数对时间 的全导数 空4区0.-)
这就是说,变分原理 两者是等价的 (这里H*代表变换后的哈密顿函数). 借助于变换关系,可将上面两式视为含有相同的变 数;因此,二者被积函数之差应为任意函数U对时间 的全导数 t U p q H P Q H s s d * d 1 1 = − − − = = ( , , ) d 0, ( , , ) d 0 2 1 2 1 * 1 1 = = − − = = p q H p q t t P Q H P Q t t t t s t t s
即正则变换满足： ∑p.dq。-∑P.d0。+H-Hu=d0 Q= 相应地，变换后的正则方程为： aH ap =1,2,.s aH 80
即正则变换满足: 相应地,变换后的正则方程为: p q P Q (H H ) t U s s d d d d * 1 1 − + − = = = = 1,2, s . , * * Q H P P H Q = − =
反之，如果变换满足如下条件 ∑p.dg。-∑P.d。+(H-H=dU H*为新变量表示的哈密顿函数，则相应的变换是正则 变换。 证明：由上式可得 (p.-P0.)=U X= 之(p9.-BO.)+(H'-H)=0
反之,如果变换满足如下条件 H *为新变量表示的哈密顿函数,则相应的变换是正则 变换. 证明:由上式可得 p q P Q (H H ) U p q P Q U s s − + − = − = = = * 1 1 ( ) ( ) p q P Q (H H ) t U s s d d d d * 1 1 − + − = = =
等时变分时6与d/dt先后次序可换，对上述两式分 别对时间求导数及变分后可得： 等式的右边为 空)品空p9)=2.-n)-洲 O= Y- a)-d1=8-1=0
等时变分时δ与d/dt先后次序可换,对上述两式分 别对时间求导数及变分后可得: p q H dt d p q P Q H dt d P Q s s s s = − − − − = = = = 1 1 * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 等式的右边为 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 − = − = + = − − = − − = = = = q H H H q H p p H p q H q p p q H d t d p q s s s s