同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 质点力学 §1.9 有心力

§1.9有心力 导读 。有心力的性质 ·比耐公式 ·开普勒定律 。 宇宙速度 。 圆形轨道的稳定性 ·粒子散射 ·引力场（补充）

导读 • 有心力的性质 • 比耐公式 • 开普勒定律 • 宇宙速度 • 圆形轨道的稳定性 • 粒子散射 • 引力场(补充) §1.9 有心力

Jupiter Saturn Uranus Mercury Earth Pluto ● Venus Mars Neptune SUN

1.有心力的性质 定义：如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一个 定点，这个质点所受的力是有心力.而这个定点则叫做 力心.凡力趋向定点的是引力，离开定点的是斥力 在有心力的作用下，质点始终在一平面内运动.因 力F与位矢r共线rF=0,L=恒矢量. F=F(r)

1. 有心力的性质 定义: 如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一个 定点, 这个质点所受的力是有心力. 而这个定点则叫做 力心. 凡力趋向定点的是引力，离开定点的是斥力． 在有心力的作用下，质点始终在一平面内运动. 因 力F与位矢 r 共线 r F＝0, L＝恒矢量． r r F F r   = ( )

在直角坐标系中，如以力心为原点，质点的运动平面 为xy平面，则质点的运动微分方程为 m成=F)2w=F0)月 )质点的动力学方程（极坐标）为： m(-r02)=F=F(r) m(r0+2r0)=F。=0 (2)

r y my F r r x mx = F(r) ,  = ( ) i) 质点的动力学方程(极坐标)为: ( 2 ) 0 ( ) ( ) 2 + = = − = =     m r r F m r r F F r r      (1) (2) 在直角坐标系中, 如以力心为原点, 质点的运动平面 为xy平面，则质点的运动微分方程为 m r v F O h

(2)式又可写为 m14)-0. r dt mr20 mh (3) (3)就是角动量守恒定律在极坐标中的表示. 的)极坐标系中，力做功表达式 B A=∫F,+F,ra0

(3)就是角动量守恒定律在极坐标中的表示. (2)式又可写为 ( ) 0, 1 2  =  r dt d r m mr  = mh  2 (3) ii) 极坐标系中, 力做功表达式 A F dr F rd B A =  r +

有心力时 d-jrdr-jrdr 极坐标系中，机械能守恒表达式： 有心力是保守力，必定有势能)存在 m02+r202+V(r)=E

m(r + r )+V(r) = E 2 2 2 2 1    有心力是保守力, 必定有势能V(r)存在 iii) 极坐标系中, 机械能守恒表达式: 有心力时   = = 2 1 d d r r r B A r A F r F r

2.轨道方程 比耐公式： 从动力学方程中消去时间变量，得 .r= dr dr de 9d1/u)d0 1d9=-h du dt de dt de dt u"d0 o dr de

r u m F u u h u 1 , d d 2 2 2 2 = − =         +  ( ) 2 2 2 2 2 d d d d d d d d d d d d d d d 1 d d d d d 1/ d d d d d d             u h u u h u h t t r r u h u t u u t r t r r  = −       = −      = = − = = = = − = −       从动力学方程中消去时间变量，得 2. 轨道方程——比耐公式:

3.平方反比引力 万有引力、电磁力（有引力、斥力），以引力为例： GMm k'm F=- 2 =-mk'u2 代入轨道方程，得 dPu k2 +u= d02 h k2 令 =5+ 则方程变为 +5=0 do2

3. 平方反比引力 万有引力、电磁力(有引力、斥力), 以引力为例： 2 2 2 2 2 mk u r k m r GMm F = − = − = − 2 2 2 2 d d h k u u + =  则方程变为 代入轨道方程，得 2 2 h k 令 u =  + 0 d d 2 2 + =  

这个微分方程和简谐振子方程一样，所以它的解 5=Acos(0-8) k 而 u=5+行=1cosB-）+月 h2/k2 r= u 1+Acos(0-0)h2/k2 式中A和0是两个积分常数，令A=0,轨道简化为 cos 0 与标准圆锥方程r= p 相比较，知轨道是原点 1+ecos0 在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上

( ) 2 2 0 2 2 1 cos / 1 / A h k h k u r +  − = = 式中A和0是两个积分常数，令0 ＝0，轨道简化为 ( ) 0  = Acos  − 这个微分方程和简谐振子方程一样，所以它的解 而 ( ) 2 2 2 0 2 cos h k A h k u =  + =  − + 1 ( / )cos / 2 2 2 2 Ah k h k r + = 与标准圆锥方程 1 e cos p r + = 相比较，知轨道是原点 在焦点上的圆锥曲线，力心位于焦点上