第五章 分析力学
第五章 分析力学
为什么要学习分析力学？ 前面是按“牛顿方式”研究力学问题，它着重分析力、 动量、速度、加速度、角动量、力矩等矢量，称作”矢量力 学”.它运用牛顿运动定律处理力学问题，称作“牛顿力 学”. 实际力学系统往往存在限制（约束），而约束力又取决于运 动情况，它们作为未知量出现于运动方程中，牛顿方式对于 受约束的力学系统并不方便. 建立了运动方程，并不意味大功告成.因为还没有一般方法 求得运动微分方程的解，如何寻找方程的积分以及利用这些积 分，如何定性研究解的结构和定量地进行计算这些都是力学中 极为重要的课题牛顿方式在这些问题上会遇到困难
为什么要学习分析力学? 前面是按“牛顿方式”研究力学问题, 它着重分析力、 动量、速度、加速度、角动量、力矩等矢量, 称作“矢量力 学”. 它运用牛顿运动定律处理力学问题, 称作“牛顿力 学”. 建立了运动方程,并不意味大功告成.因为还没有一般方法 求得运动微分方程的解. 如何寻找方程的积分以及利用这些积 分,如何定性研究解的结构和定量地进行计算,这些都是力学中 极为重要的课题.牛顿方式在这些问题上会遇到困难． 实际力学系统往往存在限制(约束),而约束力又取决于运 动情况,它们作为未知量出现于运动方程中, 牛顿方式对于 受约束的力学系统并不方便
研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时，整个牛顿力学的基 本观念都受到了挑战.在人们不得不承认新的物理事实一相对 论效应，波粒二象性等之后就需要在古典力学理论中寻找这样一 种理论，它能较顺利地超越古典概念的束缚，自然地跳向非古典力 学一相对论力学、量子力学等. 分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取得的成 果的一部分，在一定程度上解决了上述问题（并末全部解决，有 关的研究现在还在继续).它给出了力学系统在完全一般性的广 义坐标下具有不变形式的动力学方程组，并突出了能量函数的 意义
研究光、电磁场、微观粒子等物理现象时,整个牛顿力学的基 本观念都受到了挑战.在人们不得不承认新的物理事实——相对 论效应,波粒二象性等之后,就需要在古典力学理论中寻找这样一 种理论,它能较顺利地超越古典概念的束缚,自然地跳向非古典力 学——相对论力学、量子力学等． 分析力学是数学、力学研究者为克服上述困难所取得的成 果的一部分, 在一定程度上解决了上述问题(并末全部解决,有 关的研究现在还在继续). 它给出了力学系统在完全一般性的广 义坐标下具有不变形式的动力学方程组，并突出了能量函数的 意义
分析力学代表作：1788年拉格朗日的《分析力学》，全书 没有一张图，是完全用数学分析来解决所有的力学问题. 1834年哈密顿：坐标和动量为独立变量，将微分方程的阶数 降为一.1843年引入变分法，提出了哈密顿方程，完善了分析力 学。 分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统，分析力学的 数学形式有着极好的性质，它不仅提供了解决天体力学及一系 列动力学问题的较佳途径，同时给量子力学的发展提供了启示， 最适于成为引向现代物理的跳板.其最小作用量原理提供了建 立相对论力学和量子力学最简练而富有概括性的出发点。 直到最近，分析力学在非线性非完整系统中的研究，非保守 系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌”现象的研究等等，正 在丰富分析力学的内容，且大大开阔它的应用范围
分析力学概括了比牛顿力学广泛得多的系统, 分析力学的 数学形式有着极好的性质, 它不仅提供了解决天体力学及一系 列动力学问题的较佳途径, 同时给量子力学的发展提供了启示, 最适于成为引向现代物理的跳板. 其最小作用量原理提供了建 立相对论力学和量子力学最简练而富有概括性的出发点. 分析力学代表作：1788年拉格朗日的《分析力学》. 全书 没有一张图, 是完全用数学分析来解决所有的力学问题. 1834年哈密顿：坐标和动量为独立变量, 将微分方程的阶数 降为一. 1843年引入变分法, 提出了哈密顿方程, 完善了分析力 学. 直到最近, 分析力学在非线性非完整系统中的研究, 非保守 系统中奇异吸引子的发现以及有关“浑沌”现象的研究等等, 正 在丰富分析力学的内容, 且大大开阔它的应用范围
§5.1约束与广义坐标 导读 ·约束的概念 约束方程 约束分类 约束力 •自由度 广义坐标
导读 • 约束的概念 •约束方程 •约束分类 •约束力 •自由度 •广义坐标 §5.1 约束与广义坐标
1约束的概念与分类 机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动，对 机械运动所加的强制性的限制条件叫作约束。 约束条件对运动的限制由一些力来体现，这些力一般 不是给定的，而是与运动状况有关的未知力.因此，对于动 力学问题，约束也应作为一个基本因素加以考虑. 一个质点可用矢径r或三个坐标表示，个质点组成的 系统，则由个矢径或3n个坐标描述，它们确定每一时刻 各质点的位置以及质点组的形状—确定系统的位形
1 约束的概念与分类 机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动, 对 机械运动所加的强制性的限制条件叫作约束. 一个质点可用矢径r或三个坐标表示, n个质点组成的 系统, 则由n个矢径或3n个坐标描述, 它们确定每一时刻 各质点的位置以及质点组的形状——确定系统的位形. 约束条件对运动的限制由一些力来体现, 这些力一般 不是给定的, 而是与运动状况有关的未知力. 因此, 对于动 力学问题, 约束也应作为一个基本因素加以考虑
位形不能决定系统的“力学状态”，仅由某时刻的位 形不能预言在下一个时刻系统的位形.对于个质点的系 统，还需知道个速度矢量才能确定系统的状态. 给定了某一时刻的坐标和速度，由动力学方程原则上 单值地确定该时刻的加速度，因而能够唯一地确定下一 个时刻（或前一个时刻的坐标和速度，以此类推，当知道 某一时刻的状态，就知道了系统在任一时刻的状态
位形不能决定系统的“力学状态”, 仅由某时刻的位 形不能预言在下一个时刻系统的位形. 对于n个质点的系 统，还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态． 给定了某一时刻的坐标和速度, 由动力学方程原则上 单值地确定该时刻的加速度, 因而能够唯一地确定下一 个时刻(或前一个时刻)的坐标和速度, 以此类推, 当知道 某一时刻的状态, 就知道了系统在任一时刻的状态．
几乎所有的力学系统都存在着约束。例如，刚体 内任意两质点间距离不变，两个刚体用铰链连接，轮子 无滑动地滚动，两个质点用不可伸长的绳连接等等.对 状态的限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度 加以限制，其数学表示式是 f,万，万，万：元，i,方，.，方，t小=0 (5.1) 约束方程 坐标和速度必需满足的条件称为约束条件」
几乎所有的力学系统都存在着约束。 例如, 刚体 内任意两质点间距离不变, 两个刚体用铰链连接, 轮子 无滑动地滚动, 两个质点用不可伸长的绳连接等等. 对 状态的限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度 加以限制, 其数学表示式是 ( , , , , ; , , , , , ) 0 (5.1) f r1 r2 r3 rn r1 r2 r3 rn t = ——约束方程 坐标和速度必需满足的条件称为约束条件
某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制，而对 各质点的速度没有限制，这种约束称为几何约束，其数 学表示式是 fG,i2,3,.,in;t)=0 (5.2)） 例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几 何约束 -}-2=0 对于涉及力学系统运动情况的约束，即对速度也有 限制的，则称为运动约束，约束中显含速度
某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制, 而对 各质点的速度没有限制, 这种约束称为几何约束, 其数 学表示式是 ( , , , , ; ) 0 (5.2) f r1 r2 r3 rn t = 例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几 何约束. 对于涉及力学系统运动情况的约束, 即对速度也有 限制的, 则称为运动约束,约束中显含速度. ( ) 0 2 2 ri − rj − ri j =
例如：半径为R的圆柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动： 这意味着着地点的速度为零。 x。-R0=0 运动约束亦称为微分约束或速度 约束. 几何约束的约束方程虽然不显含速度项，但实际上它 在对位置限制的同时也对系统的速度给予了限制，事实 上，由式(5.2)对时间求全导数，得 d止+d业+0d止+=0 ox,dt ay,dt (5.3) "8z,dt Ot
例如: 半径为R的圆柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动. 这意味着着地点的速度为零. 0 x 0 − R = 运动约束亦称为微分约束或速度 约束． 几何约束的约束方程虽然不显含速度项, 但实际上它 在对位置限制的同时也对系统的速度给予了限制, 事实 上, 由式(5.2)对时间求全导数, 得 0 (5.3) d d d d d d 3 1 = + + + = t f t z z f t y y f t x x f i i i i n i i i C O y x vC R x C*