第二章 质点组力学
第二章 质点组力学
§2.7变质量物体的运动 导读 ·变质量物体动力学方程 ·火箭发射
§2.7 变质量物体的运动 • 变质量物体动力学方程 • 火箭发射 导 读
1变质量物体的运动方程 物体质量不为常数的情况,火箭、传送带、雨滴等。 设一物体在t时质量为m,速度是y,同时一微小质 量△m以速度u运动,并在△时间内与m相合并,合并后 共同速度是叶△v.如果作用在m及△m上的合外力为F, 则由动量定理,得 m+△m行+△-m-△mi=F1
物体质量不为常数的情况,火箭、传送带、雨滴等. 设一物体在t时质量为m,速度是v,同时一微小质 量m以速度u运动,并在t时间内与m相合并,合并后 共同速度是v+v. 如果作用在m及m上的合外力为F, 则由动量定理,得 m + m (v + v)− mv −mu = Ft ( ) 1 变质量物体的运动方程
只保留一阶小量,得 dm mv) u=F u是代表微质量△m未与m合并以前或自m分出后一刹 那的速度.如=0,则可以简化为 (mm)= 如果=y,则简化为牛顿运动方程的形式
只保留一阶小量, 得 u F t m mv t − = d d ( ) d d u是代表微质量m未与m合并以前或自m分出后一刹 那的速度. 如u = 0, 则可以简化为 mv F t ( ) = d d 如果 u = v, 则简化为牛顿运动方程的形式
例1、已知火箭从静止开始发射,质量为,=2.72×10°kg 火箭以 dn=-129×10kgS速率喷射气体.气体喷出 速度为y,g=5.50×10ms 求火箭在发射155秒的速度. 解:受力只有重力,所以 dt (m)- dm u=mg dt dm dt (i-)=m8 dt 选取向上为正向
例1、已知火箭从静止开始发射,质量为 2.72 10 kg 6 m0 = 火箭以 1.29 10 kg/s d d 3 = − t m 速率喷射气体. 气体喷出 速度为 5.50 10 m/s 4 vrel = 求火箭在发射155秒的速度. 解: 受力只有重力, 所以 选取向上为正向 ( ) ( ) u v mg dt dm v dt d m u mg dt dm mv dt d − − = − = ( )
dv dm =一8 dt m dt m vs Vo+vrd m -8t dm 从题已知,m,=dt =(2.72×10°-1.29×103×155)kg =2.52×10kg 所以 yr=2.68×103ms
g t m m v t v rel + = − d d d d + = − m t m rel v v g t m m v v f f 0 d d d 0 0 gt m m v v v f f rel − = + 0 0 ln 从题已知, ( ) 0 6 3 6 d d 2.72 10 1.29 10 155 kg 2.52 10 kg f m m m t t = − = − = 2.68 10 m/s 3 所以 vf =
例2有一链条其单位长度的质量为p。上端盘着放在平 台上的,下端沿着光滑的斜面下滑,如图所示。试求链 条沿斜面滑下的长度为x时,这段链条的速度是多少?斜 面与水平面的夹角为a是已知的。 解:这是一个变质量问题。取斜面 的一段链条为m,mxp。取平台 上即将下滑的微元段为dm=pdx, 所以dm的速度u=0,作用在dm上 的外力在这里也可忽略不计。因此 m+dm组成的系统所受的外力有这 段链条的重力mg,它作用在x这段 链条的质心上,即x2处。还有一 个斜面对它的约束的反作用力N, 垂直于斜面
例2 有一链条其单位长度的质量为ρ。上端盘着放在平 台上的,下端沿着光滑的斜面下滑,如图所示。试求链 条沿斜面滑下的长度为x时,这段链条的速度是多少?斜 面与水平面的夹角为α是已知的。 解: 这是一个变质量问题。取斜面 的一段链条为m,m=x。取平台 上即将下滑的微元段为dm=dx, 所以dm的速度u=0,作用在dm 上 的外力在这里也可忽略不计。因此 m+dm 组成的系统所受的外力有这 段链条的重力mg,它作用在x这段 链条的质心上,即x/2处。还有一 个斜面对它的约束的反作用力N, 垂直于斜面。
应用可变质量物体的动力学方程 (m)-血i=∑ -(mv)=mgsin a dt dt w))=mgma=d()=gna 此等式两边同乘以xx xxd(x)=xxxgsin adt =x2g sin aodt x2g sin adx 两边积分,并考虑到初始条件=0时,x=0,x=0,可得 2 8sncxx 3
应用可变质量物体的动力学方程 ( ) ( ) sin ( ) m v m g dt d u F dt dm mv dt d e − = i = xx x g d xx x g dt dt d m v dt d ( ) = ( ) = sin ( ) = sin 此等式两边同乘以 xx xxd(xx) xxx gsin dt x g sin xdt x g sin dx 2 2 = = = 两边积分,并考虑到初始条件t=0时,x=0, x =0,可得 2 2 3 sin 3 1 2 1 x x = g x x = g sin x 3 2 2
2火箭飞行原理 设: v+do t时刻:火箭的质量为m, 速度为v; t+dt时刻: 火箭的质量为tdm 速度为o+do 喷出气体的质量为-dm 相对于火箭的速度为u
2 火箭飞行原理 设: t 时刻:火箭的质量为m, 速度为v; t +dt 时刻: 火箭的质量为m+dm 速度为v + dv 喷出气体的质量为-dm 相对于火箭的速度为ur ur v +dv
m=(m+dmyo+dv)-dm(o+do-u,) 略去二阶无穷小量dmdw dm d0=-4 m 设:初始0,=0 火箭总质量0, 壳体本身的质量为m1,燃料耗尽时火箭的速度为) do=-u m dm mo m
( ) ( ) m = m+dm +d dm v+d v−ur v (v v)- 略去二阶无穷小量 dmdv m m u d d v = − r 设:初始 0 v0 = 火箭总质量 m0 , 壳体本身的质量为m1 ,燃料耗尽时火箭的速度为 v = − 1 0 d d r 0 m m m m v u v